河南省周口市中英文学校2012-2013学年高二上学期第三次月考数学试题

周口中英文学校2012—2013学年高二 第三次月考数学试题
一 、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、命题：“∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0”的否定是( )
A ．∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1≤0
B ．∃x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0
C ．∃x ∈R ，都有x 2－x ＋1≤0．
D ．以上选项均不正确
2 下面给出四个点中位于1010x y x y +-<⎧⎨
-+>⎩，表示的平面区域内的点是
（ ）
A ．(02)，
B ．(20)-，
C ． (02)-，
D ．(20)， 3. 在等差数列{}n a 中，公差为d ，且1054S S =，则
1
a d
等于 （ ） A.
1
4
B. 8
C.
1
2
D. 4 4．“
22
2a b ab
+≤-”是“a>0且b<o”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则ABC ∆的形状是 （ ）
.A 等腰三角形 .B 直角三角形
.C 等腰直角三角形 .D 等腰三角形或直角三角形
6．已知y x y x 222log log )(log +=+，则y x +的取值范围是 （ ）
A ．]1,0(
B ．),2[+∞
C ．]4,0(
D ．),4[+∞
7．若
00x y x y y a -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知0a b <<，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是 （ ）
A ．
2log 0
a > B ．
122a b -<
C ．
12
2a b b a
+<
D ．
22log log 2
a b +<-
9．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且
156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于 （ ） A ．15
B ．10
C ．40
D ．20
10 若直线m x y +-=与曲线
2415x
y -
=只有一个公共点，则m 的取值范围是( ）
A. 22m -≤< B ．5252≤≤-m C ．522=<≤-m m 或 D ．55252=<≤-m m 或
11．已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23
，则这个三角形的周长是 （ ） A ．18 B ．21 C ．24 D ．15
12．设数列
{}
n a 的前n 项和为n S
,
*11,2(1),()n
n s a a n n N n ==
+-∈,若
3
2123
n
s s s s n +
+++
-2
(1)2013n -=，则n 的值为 （ ）
A ．1007
B ．1006
C ．2012
D ．2013
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
13．等差数列
{}n a 中,
10110,0,
a a <>且
1110
a a >，若
{}n a 的前n 项和0,n S <则n 的
最大值是 ．
14．14.已知椭圆122
22=+b
y a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为
B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。

15．若在△ABC 中，
60,1,ABC A b S ∆∠==则△ABC 外接圆的半径R= 16. 当)2,1(∈x 时，不等式042
<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17已知p ：不等式mx 2
＋1>0的解集是R ；q ：f (x )＝log m x 是减函数．若p ∨q 为真，
p ∧q 为假，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知向量(,),(,),0=+=--⋅=m a c b n a c b a m n 且，其中,,A B C
是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.
（1）求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的取值范围.
19（本题满分12）已知21,F F 是椭圆
120
452
2=+y x 的两个焦点，M 是椭圆上的点，且21MF MF ⊥．
（1）求21F MF ∆的周长； （2）求点M 的坐标．
20．甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：
某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克
的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B. （1）用x 、y 表示混合物成本C. （2）确定x 、y 、z 的值，使成本最低。

21．数列
}
{n a 的前n 项和记为
n S ,t a =1,点1(,)
n n S a +在直线21y x =+上,N n *∈．
（1）当实数t 为何值时,数列
}
{n a 是等比数列？
（2）在（1）的结论下,设31log n n b a +=,且n T 是数列11
{
}
n n b b +⋅的前n 项和,求2012T 的
值．
22．已知数列{}n a 的首项123a =，121n
n n a a a +=+，1,2,3,n =…．
（Ⅰ）证明：数列
1
{1}
n
a
是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}
n
n
a
的前n项和n
S
．
周口中英文学校2011—2012学年高二第三次月考
数学试题答案
一 、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13. 19 , 1415.。

16. (],5-∞-
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
解：因为不等式mx 2＋1>0的解集是R ， 所以⎩⎨⎧m >0Δ<0
或m ＝0，
解得m ≥0，即p ：m ≥0. 3分
又f (x )＝log m x 是减函数，
所以0<m <1，即q ：0<m <1， 6分
又p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假． 即p 为真，q 为假；或p 为假，q 为真．
∴⎩
⎨⎧m ≥0m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <00<m <1，得m ≥1.m 的取值范围是m ≥1.
18. （本小题12分）
由0⋅=m n 得
222
()()()0a c a c b b a a b c ab +-+-=⇒+-=， ……2分 由余弦定理得
2221
cos 222a b c ab C ab ab +-===。

……………………4分
0πC <<，
π3C ∴=。

………………6分 （2）
π3C =
，2π3A B ∴+=，2πsin sin sin sin()3∴+=+-A B A A
2π2π
sin sin
cos cos sin 33=+-A A A
31
sin cos )22A A A A ==+π
)6A =+ ………8分
2π03A <<
，ππ5π666A ∴<+<，1π
sin()126A ∴<+≤，
π
)6A <+≤，即sin sin A B <+≤…………10分
19.（本小题12分）
解：椭圆
120
452
2=+y x 中，长半轴a =210c ==
（1）根据椭圆定义，122MF MF a +==
所以，21F MF ∆的周长为121210F F MF MF ++= （2）设点M 坐标为00(,)x y 由21MF MF ⊥得，2
2
2
212
1210100MF MF F F +===
又2
212()180MF MF +== ∴22
221212121[()()]402MF MF MF MF MF MF =+-+= ∵12
MF F S ∆1212011
22
MF MF F F y == ∴04y =，则03x =
∴点M 坐标为(3,4)或(3,4)-或(3,4)-或(3,4)-- 20 解：（1）依题意：x 、
y 、z 满足y x z z y x --=⇒=++100100
∴ 成本
400574911++=++=y x z y x C （元）
（2）依题意⎩
⎨
⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x
∵ y x z --=100 ∴⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≥-≥+00130316032y x y x y x ，
作出不等式组所对应的可行域，如图所示．
联立
()⎩⎨
⎧⇒=+=-205016032130
3，
交点A y x y x
作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过()2050，A 时，
直线在
y 轴截距最小，从而C 最小，此时C =7×50＋5×
20＋400＝850元
∴ 50=x 千克，y=20千克，30=z 千克时成本最低．
21.解： (Ⅰ)由题意得121
n n a S +=+，
121n n a S -=+(2)
n ≥ ……1分
两式相减得
)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，……4分
所以当2≥n 时，
}{n a 是等比数列，
要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需3
1212=+=t t a a ，从而1=t ． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知1
3n n a -=，31log n n b a n +==，……9分
11111
(1)1+∴
==-
⋅++n n b b n n n n ……10分
20121220122013111111112012(1)()()=1=2232012201320132013=
+⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+--T b b b b
22. 解：（Ⅰ）由已知：
121
n
n n a a a +=
+，∴ 111
111222n n n n a a a a ++==+⋅，
∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =
，∴11112a -=，
∴数列1{
1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
n
n n a 21
2121111
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=--，
即1112n n a =+， ∴2n n n n n a =+．
设
23123222n T =
+++…2n
n
+， ①
则231122
22n T =++ (1)
122n n n n +-++，② 由①-②得：
2111222n T =++…
111
11
(1)
1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---，
∴
11222n n n n T -=-
-．又123+++…(1)2n n n ++=．
∴数列{}n n a 的前n 项和：
n
n n n n n n n n S 22242)1(2222+-++=+++-=。