广西南宁市第三中学2023-2024学年高一下学期六月 数学测试卷【含答案】

南宁三中2023~2024学年度下学期高一周五测试题
一､单选题
1．已知集合{}
221|50M x x x =--≤，{}
|3x
N y y ==，则M N ⋂=（
）
A ．[]3,5
B ．[)3,+∞
C ．(]
0,5D ．(]
0,32．空间直角坐标系中，点()1,2,3P 关于xOz 平面的对称点是（）
A ．()
1,2,3--B ．()
1,2,3-C ．()
1,2,3-D ．()1,2,3-3．下列函数中，以π为周期，且其图象关于点π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
对称的是（
）
A ．tan y x =
B ．|sin |y x =
C ．22cos 1
y x =-D ．sin cos y x x
=-4．已知甲组数据由123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅这n 个数据构成，记这组数据的平均数为x 甲，方差为S 甲；乙组数据由123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，x 甲这1n +数据构成，记这组数据的平均数为x 乙，方差为S 乙，则（
）
A ．x x <甲乙，S S <甲乙
B ．x x <甲乙，S S >甲乙
C ．x x =乙甲，S S <甲乙
D ．x x =乙甲，S S >甲乙
5．已知复数z 满足1z =，且1i z z -=+，则2z =（）
A ．1
B ．1
-C ．i
D ．i
-6．已知向量()2,1,4=- a ，()1,5,b λ=- ，()1,4,c μ= ，若a ，b ，c
三个向量共面，则实数
λ，μ的取值可能分别为（）
A ．2-，2
B ．2，2
C ．5-，1
D ．1，5
7．如图,二面角α--βl 等于120︒,,A B 是棱l 上两点,,BD AC 分别在半平面α,β内,
AC l ⊥,BD l ⊥,且2,AB AC BD ===则CD 的长等于（
）
A ．4
B ．23
C ．22
D 7
8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1(01)DM DA λλ=<<
，
1(01)CN CD μμ=<<
，若//MN 平面11AA C C ，则线段MN 的长度的最小值为（
）
A ．
13
B ．1
2
C D 二､多选题
9．下列命题是真命题的是（）
A ．若ln ln a b >，则11
a b <B ．若0a b >>，则
b c b
a c a
+>+C ．若22a b +=，则244a b +≥D ．若正实数,a b 满足
111a b +=，则1411
a b +--的最小值为410．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为12,x x ，事件A =“13x =”，事件B =“26x =”，事件C =“129x x +=”，则（）
A ．A
B C
⊆B ．AC B
⊆C ．,B C 互斥
D ．,B C 独立
11．已知正方体1111ABCD A B C D -边长为2，动点M 满足
1AM xAB y AD z AA =++
()0,0,0x y z ≥≥≥，则下列说法正确的是（
）
A ．当1
1,2
x y z ===时，则直线AM ⊥平面1A BD B ．当[]1
,0,0,1
4
x z y =
=∈时，1B M MD +
C ．当[]1,0,1x y z +=∈时，AM 的取值范围为
D ．当1x y z ++=，且253AM =
时，则点M 的轨迹长度为42
3
三､填空题
12．已知()4,2a =- ，()6,b y = ，且//a b
，则y =
．
13．三棱锥-P ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为ABC 的心.
14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体
ABCD 体积为
，则模型中最大球的体积为
，模型中九个球的表面积之和
为
.
四､解答题
15．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，34，1
3
，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)三人中恰有两人合格的概率．
16．函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎝
⎭的一段图象如图所示．
(1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间；(2)求函数()f x 在ππ,3x ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦上的值域；
(3)若不等式2()20f x t tm +-≤对ππ,3x ⎡
⎤∀∈-⎢⎥⎣
⎦，[1,2]t ∃∈上恒成立，求实数m 的取值范围．
17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,,,BC CC M N P ==分别是11,,CC AB BB 的中点.
(1)若点E 为矩形11ABB A 内动点，使得//ME 面CPN ，求线段ME 的最小值;(2)求证:1AB ⊥面1A MB .1．C
【分析】利用解一元二次不等式及求指数函数值域将集合进行化简后再判断交集.
【详解】依题意，()(){}{}53035||M x x x x x =-+≤=-≤≤，{}|0N y y =>，故(]0,5M N ⋂=，
故选C ．2．B
【分析】根据对称的性质即可求解.
【详解】()1,2,3P 关于xOz 平面的对称点为()1,2,3-.故选：B 3．C
【分析】根据正切函数的性质判断A ，根据正弦函数的性质判断B ，利用二倍角公式化简函数解析式，再由余弦函数的性质判断C ，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦函数的性质判断D.
【详解】对于A ：tan y x =的最小正周期为π，对称中心为()π,0Z 2k k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，故A 错误；
对于B ：sin y x =的图象是由sin y x =将x 轴下方部分关于x 轴对称上去，x 轴上方及x 轴部分不变，
所以sin y x =的最小正周期为π，没有对称中心，故B 错误；对于C ：22cos 1cos 2y x x =-=，则最小正周期2π
π2
T =
=，
且当π
4x =
时πcos 204y ⎛⎫=⨯= ⎪⎝
⎭，所以函数图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确；
对于D ：πsin cos sin 4y x x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，最小正周期2πT =，故D 错误.
故选：C 4．D
【分析】利用平均数公式可得出,x x 甲乙的大小关系，由方差公式可得出,S S 甲乙的大小关系.【详解】由已知可得123n
x x x x x n
++++=
甲，
()()(
)
()
2
2
2
2
1
2
3n x x x
x x x x x S n
-+-+-++-= 甲
甲甲甲
甲，
12311
n x x x x x nx x x x n n ++++++=
==++ 甲
甲甲乙甲
，(
)(
)(
)
()(
)2
2
2
221231
1
n x x x x x x x x x x
nS S S n n -+-+-++-+-=
=
<++ 乙乙乙乙乙甲
乙
乙甲
，
所以ABC 错误，D 正确.故选：D.5．D
【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，然后由已知条件列方程组可求出0a b +=，21ab =-,从而可求出2
z 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则由1z =，得221a b +=，
由1i z z -=+，得i 1i i a b a b +-=++，即(1)i (1)i a b a b -+=++，所以2222(1)(1)a b a b -+=++，化简整理得0a b +=，得a b =-，所以2220a b ab ++=，得21ab =-，所以2222(i)2i i z a b a ab b =+=+-=-，故选：D 6．AD
【分析】利用空间向量共面的条件，设实数,x y ，满足a xb yc =+
，列出方程组求解即可.
【详解】因为(2,1,4),(1,5,),(1,4,)a b c λμ=-=-=
三向量共面，
所以存在实数,x y ，使得a xb yc =+
，
所以21544x y x y x y λμ=-+⎧⎪
-=+⎨⎪=+⎩，
解得114x y λμ=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩
，
故当15λμ==，或22λμ=-=，时满足条件.故选：AD.7．A
【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,120BD AC <>=︒ ,求DC
的模即为
CD 的长.
【详解】由二面角的平面角的定义知
,120BD AC <>=︒
,cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅=<>=⨯⨯︒=- ,
由AC l ⊥,BD l ⊥,得0AC BA ⋅= ,0BD BA ⋅= ,DC DB BA AC =++uuu r uuu r uur uuu r
,
22222()222DC DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC
=++=+++⋅+⋅+⋅ 2222222122(2)16BD AC =++-⋅=-⨯-=
,
所以4DC =
,即4CD =．
故选：A ．8．D
【分析】建系，求出相关点的坐标，用,λμ表示出MN
，证明BD ⊥平面11ACC A ，求得平面11AA C C 的法向量，由条件得到1λμ+=，将2||MN
的表达式整理成二次函数，利用其最小
值即得.【详解】
如图，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则有11(0,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0)D A C D B ,
依题意，1(1,0,1)(,0,)DM DA λλλλ===
，
1(0,1,0)(0,1,1)(0,1,)DN DC CN DC CD μμμμ+-=+=+==-
,
于是，(,1,)MN DN DM λμμλ-=---=
.
又因,DB AC ⊥1CC ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ,则1CC BD ⊥,又1CC AC C =I ,1,⊂CC AC 平面11ACC A ，故BD ⊥平面11ACC A ,
故平面11AA C C 的法向量可取为(1,1,0)n DB ==
，
因//MN 平面11AA C C ，故10MN n λμ⋅=-+-=
，即1λμ+=.
则222222
(|1|())2(12)MN λμμλλλ+-+-=+-= 2211
6416()33
λλλ=-+=-+，
因01λ<<，故当13λ=时，min 3
||3
MN = .
故选：D.9．ACD
【分析】对于A ，由ln ln a b >，得0a b >>即可；对于B ，将不等式b c b
a c a
+>+化简为ac bc >即可；对于C ，利用基本不等式求解即可；对于D ，将111a b +=变形为1
b a b =-，代入144
1111
b a b b +=-+---并使用基本不等式求解即可.【详解】对于A ，由ln ln a b >，得0a b >>，所以11
0a b
<
<，故A 正确；
对于B ，要证
b c b
a c a
+>+成立，只需证ab ac ab bc +>+，即证ac bc >．因为0a b >>，当0c <时，显然ac bc <，故B 不正确；
对于C ，因为22a b +=，所以244a b +≥===，当且仅当24a b =，即1
1,2
a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，由111a b +=，可得1
b a b =-，所以
1441111
b a b b +=-+---．由,a b 为正实数且11
1a b
+=，可得1,1a b >>，
所以
14414111b a b b +=-+≥---，当且仅当411b b -=-，即3
3,2
b a ==时等号成立，故D 正确．
故选：ACD ．10．ABD
【分析】根据事件的运算及包含关系即可判断AB ；根据互斥事件的定义即可判断C ；根据相互独立事件概率的乘法公式即可判断D.【详解】AB =“13x =且26x =”，
事件C 的基本事件有121212121,8;2,7;3,6;4,5;x x x x x x x x ========，121212125,4;6,3;7,2;8,1x x x x x x x x ========共8个，
所以AB C ⊆，故A 正确；
AC =“13x =且129x x +=”=“13x =且26x =”，
所以AC B ⊆，故B 正确；
对于C ，当13x =且26x =时，事件,B C 同时发生，所以,B C 不互斥，故C 错误；
对于D ，()()181
,8888
P B P C ==
=⨯，而BC =“13x =且26x =”，则()1
64
P BC =
，所以()()()P BC P B P C =，所以,B C 独立，故D 正确.
故选：ABD.11．BC
【分析】由1
1,2
x y z ===
时，得到M 为1CC 的中点，可判定A 错误；在DC 上取点K ，得到求得M 点在HK 上，将平面11B HKC 与平面AHKD 沿着HK 展开到同一平面内，可判定B 正确；证得AC ⊥平面11BDD B ，求得AM 的最大值与最小值，可判定C 正确；求得点M 的轨迹在1A BD 内，根据题意得到M 点轨迹是以P 为圆心，22
3
为半径的圆的一部分，且π
3
EPF ∠=
，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由于1
1,2x y z ===时，则111122
AM AB AD AA AC CC =++=+ ，此时M
为1CC 的中点，
在正方体1111ABCD A B C D -中，由1AC ⊥平面1A BD ，所以直线AM 不会垂直平面1A BD ，所以A 错误；
对于B 中，在AB 上取点H ，使14AH AB = ，在DC 上取点K ，使14
DK DC =
，
因为[]1
,0,0,14x z y ==∈，即14
AM AB y AD =+ ，可得M 点在HK 上，
将平面11B HKC 与平面AHKD 沿着HK 展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，连接1B D 交HK 于P ，此时,,B P D 三点共线，1B M MD +取到最小值即1B D 的长，
由于1142AH AB == ，所以32BH =，则152B H ==，
所以151
322
AB =
+=，所以1B D ==，
即此时1B M MD +B 正确；
对于C 中，当[]1,0,1x y z +=∈时，可得点M 的轨迹在平面11BDD B 内（包括边界），在正方形ABCD 中，可得AC BD ⊥，
因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，
又因为1BD BB B ⋂=，且1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，
所以()min 1
2
AM AC =
=，又由()1max AM AB ==，
所以AM
的取值范围为，所以C 正确；
对于D 中，当1x y z ++=时，可得点M 的轨迹在1A BD 内（包括边界），由于1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥，
又因为11,,,BD AC AC CC C AC CC ⊥=⊂ 平面1ACC ，故BD ⊥平面1ACC ，因为1AC ⊂平面1ACC ，可得1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，又因为11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，设1AC 与平面1A BD 交于点P ，由于11114
222323A A BD A ABD V V --==⨯⨯⨯⨯=，
1A BD
为边长为则点A 到平面1A BD
的距离为43
AP =
若253AM =
，
则223MP =，即M 点落在以P 为圆心，22
3
为半径的圆上，此时P 点到1A BD
三边的距离均为3
1323⨯=<
，即M 点轨迹是以P
为半径的圆的一部分，又由π3EPF ∠=，其轨迹长度为3倍的弧长 22π3
EF =，所以D 错误．故选：
BC.
【点睛】方法点睛：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛
盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.12．3
-【分析】根据共线向量的坐标公式计算即得.
【详解】由//a b 可得426y =-⨯，解得，=3y -.
故答案为：3-.
13．垂
【分析】先用反证法证明AP ⊥平面PBC ，再由面面垂直和线面垂直的判定和性质定理证明BC AH ⊥，同理可证AC BH ⊥，BC AH ⊥，即可判断.【详解】如图：
首先证明AP ⊥平面PBC .若不然，在平面PAB 中，过A 作AM PB ⊥于M ，
因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AM ⊂平面PAB ，
所以AM ⊥平面PBC .（AM 不同于AP ）
在平面PAC 中，过A 作AN PC ⊥于N ，
因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，AN ⊂平面PAC ，
所以AN ⊥平面PBC .（AN 不同于AP ）
这样，过点A 有两条不同直线AM ，AN 垂直于平面PBC ，这是不可能的.
所以假设不成立，AP ⊥平面PBC 得证.
同理，由三个侧面两两垂直，得BP ⊥平面PAC ，⊥CP 平面PAB ，
因为PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥．①
因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC ．②
由①②及AP PH P ⋂=，AP ，PH ⊂平面APH ，所以BC ⊥平面APH ．
又AH ⊂平面APH ，所以BC AH ⊥.
同理可证AC BH ⊥，AB CH ⊥，所以H 为ABC 的垂心.
故答案为：垂
14．43π##43π9π
【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，
则2sin 60x r ︒=，得r =，又h x ，
所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =
如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则
CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，
所以DF EF ==4AF ===，
点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，
设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，
因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OM
AE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3
OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，
则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，
又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，
又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12
b =
，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.
故答案为：4π3
；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
15．(1)
110(2)
110(3)23
60
【分析】（1）设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立，设恰有k 人合格的概率为()0,1,2,3k P k =，则三人都合格的概率为()3P P ABC =求解；
（2）三人都不合格的概率，由()0P P ABC =求解；
（3）三人中恰有两人合格的概率，由()()()
2P P ABC P ABC P ABC =++求解.
【详解】（1）解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，且()()()231,,543
P A P B P C ===，设恰有k 人合格的概率为()0,1,2,3k P k =．则三人都合格的概率：()()()()3231154310
P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=；（2）三人都不合格的概率：()()()()
0312154310P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=；（3）三人中恰有两人合格的概率：()()()2P P ABC P ABC P ABC =++，
2322113312354354354360
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.16．(1)()1π3cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为8π2π4π,4,33k k k π⎡⎤--+∈⎢⎥⎣
⎦Z .(2)[]
0,3
(3))
+∞【分析】（1）由图象直接得到A ，求出函数的周期，即可求出ω，利用图象经过π(,0)3
，结合ϕ的范围求出ϕ的值，得解析式1π()3cos(23
f x x =+，最后求单调递增区间即可；（2）根据π[π,]3x ∈-，得1πππ[,]2362
x +∈-，再通过整体法计算函数值域即可；（3）由（2）得函数()f x 在区间π[π,]3
-的最大值为3，即2max ()2f x t tm ≤-+，进一步将不等式转化为3[1,2],22t t m t
∃∈≥+能成立，使用基本不等式求解即可．【详解】（1）由图象可知，7ππ3,
2π233T A ==-=,所以2π14π2T ωω
==⇒=,将图象上点π(,0)3代入函数()f x 中得，1π3cos()023
ϕ⨯+=，结合图象知
ππ2π,62k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π,3
k k ϕ=+∈Z ，又因为π
||2ϕ<，所以π3
ϕ=，故1π()3cos(23
f x x =+.由1π2ππ2π,23k x k k -≤
+≤∈Z ，解得8π2π4π4π,33
k x k k -≤≤-+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为8π2π[4π,4π],33k k k -
-+∈Z .（2）因为π[π,]3
x ∈-，
所以1πππ[,2362
x +∈-，当1π2π0,233
x x +==-时，函数()f x 最大值为3，当1πππ,2323
x x +==时，函数()f x 最小值为0，所以1π()3cos()[0,3]23
f x x =+∈，故函数()f x 在区间π[π,3
-的值域为[0,3].（3）因为对π[π,][1,2]3
x t ∀∈-∃∈，，不等式2()20f x t tm +-≤恒成立，所以2max ()2f x t tm ≤-+，
由（2）知，函数()f x 在区间π[π,3
-的值域为[0,3]，所以223t tm -+≥，即3[1,2],22t t m t
∃∈≥+能成立，所以min 3(22t m t
≥+，
又因为322t t +≥，
当且仅当322t t
=，即t =时取等号，
所以m ≥
故实数m 的取值范围为)+∞.
17．
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定有1//MB 面CPN ，1//AB 面CPN ，又结合面面平行的判定可证面1//AMB 面CPN ，由题意可知1ME AB ⊥时，ME 最小，在1AMB △中，即可求；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）连接11,,MB MA AB ，
在正方形11BCC B 中，,M P 分别为1CC ，1BB 的中点，
所以1//MC B P 且1=MC B P ，
所以四边形1CMB P 为平行四边形，
所以1//MB CP ，
因为1MB ⊂/面,CPN CP ⊂面CPN ，
所以1//MB 面CPN ，
在1ABB 中，因为,N P 分别为AB ，1BB 的中点，所以1//AB PN ，
因为1AB ⊂/面CPN ，PN ⊂面CPN ，
所以1//AB 面CPN .
因为111AB MB B ⋂=，1AB ⊂面1AMB ，1MB ⊂面1AMB ，所以面1//AMB 面CPN .
所以当1E AB ∈，ME ⊂面1AMB ，此时//ME 面CPN ，所以当1ME AB ⊥时，ME 最小，
在1AMB △中，11AM B M AB ===
所以ME =（2）在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，设11AB A B D = ，则D 为1AB 中点，连接MD 、DN ，
因为,N D 分别为AB ，1AB 的中点，
所以1//DN BB 且11=2
DN BB ，又因为M 为1CC 中点，11//BB CC 且11=BB CC ，所以//MC DN 且=MC DN ，
又因为1CC ⊥面ABC ，
所以四边形MCND 为矩形，
所以//,CN MD CN DN ⊥，
又CN AB ⊥，DN AB N ⋂=，AB ⊂面11ABB A ，DN ⊂面11ABB A ，所以CN ⊥面11ABB A ，
所以MD ⊥面11ABB A ，
又1AB ⊂面11ABB A ，
所以1MD AB ⊥，又1MD A B D ⋂=，1A B ⊂面1A MB ，MD ⊂面1A MB ，所以1AB ⊥面1A MB .。