2019年江苏省扬州市第三高级中学高一数学文下学期期末试题含解析

2019年江苏省扬州市第三高级中学高一数学文下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设A=｛x|x-2a=0｝,B=｛x|ax-2=0｝,且A∩B=B,则实数a的值为﹙﹚
A.1
B.-1
C.1或-1
D.1,-1或0
参考答案：
D
2. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF 平行的直线（）
A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在
参考答案：
A
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由已知中E，F分别为棱AB，CC1的中点，结合正方体的结构特征易得平面ADD1A1与平面D1EF相交，由公理3，可得两个平面必有交线l，由线面平行的判定定理在平面ADD1A1内，只要与l平行的直线均满足条件，进而得到答案
【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，
由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，
在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，
由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行；
故选A
3. （4分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
C
考点：异面直线及其所成的角．
专题：计算题；转化思想．
分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可
解答：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z 轴，建立空间坐标系，
∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1
∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）
∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）
∴cosθ==
故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．
故选C
点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．
4. 已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则
的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为
角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.
【详解】
，
因为为锐角三角形，所以，
，
，故,选B.
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
5. 已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈z}，则A∩B=（）
A．{0} B．[﹣1，1] C．{﹣1，0，1，2} D．D=[﹣2，3]
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，
∴A∩B={0}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6. 下列各组函数是同一函数的是（）
A．与B．与
C．与D．与
参考答案：
D
考点：函数及其表示
试题解析：因为的定义域为的定义域为R，故A错；
的定义域为R，的定义域为故B错；
与不同，故C错。

故答案为：D
7. （4分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）
A． 2 B．﹣C． 3 D．
参考答案：
考点：循环结构．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题意，本程序框图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论．解答：根据题意，本程序框图为求S的值
第一次进入循环体后，i=1，S=；
第二次进入循环体后，i=2，S=﹣；
第三次进入循环体后，i=3，S=3
第四次进入循环体后，i=4，S=；
退出循环
故选D．
点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．
8. 已知函数，正实数、满足，且，若在区间[]上的最大值为，则、的值分别为( )
A．、2 B．、4 C．、 D．、2
参考答案：
B
9. 某林业局为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么估计在这片经济林中，底部周长不小于110 cm林木所占百分比为（）
.
A. 70%
B. 60%
C. 40%
D. 30%
参考答案：
D
10. 已知函数对任意时都有意义，则实数a的范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初相是2，则它的解析式为________
参考答案：
【分析】
根据函数的性质求出，即得函数的解析式.
【详解】因为函数（，）的振幅是3，所以A=3.
因为函数的最小正周期是，所以.
因为函数的初相是2，所以.
所以函数的解析式为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12. sin75°的值为．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】把75°变为45°+30°，然后利用两角和的正弦函数公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
【解答】解：sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=．
故答案为：
13. 函数的反函数是．
参考答案：
4﹣x2（x≥0）
【考点】反函数．
【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用．
【分析】先确定原函数的值域[0，+∞），这是其反函数的定义域，再从原式中分离x，最后交换x，y得到函数的反函数f﹣1（x）．
【解答】解：根据求反函数的步骤，先求函数的值域，
显然函数的值域为y∈[0，+∞），这是其反函数的定义域，
再将函数式两边同时平方，y2=4﹣x，
即x=4﹣y2，
再交换x，y得到函数的反函数f﹣1（x）=4﹣x2（x≥0），
故答案为：4﹣x2（x≥0）．
【点评】本题主要考查了反函数的求法，涉及函数值域的确定以及原函数与反函数定义域与值域间的关系，属于基础题．
14. （5分）函数f（x）=a（x+1）+2（a＞0且a≠1），必经过定点．
参考答案：
（﹣1，3）
考点：指数函数的单调性与特殊点．
专题：函数的性质及应用．
分析：令x+1=0，由函数的解析式求得x和y的值，可得函数f（x）=a（x+1）+2的图象恒过的定点的坐标．
解答：令x+1=0，由函数的解析式求得x=﹣1且y=3，
故函数f（x）=a（x+1）+2的图象恒过定点（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）
点评：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
15. 已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣
x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）= ．
参考答案：
2
【考点】函数的值．
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2；
故答案为：2
16. 已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，则lg x·lg y的最大值是________．
参考答案：
4
17. 设数列{a n}是等差数列，，，则此数列{a n}前20项和等于
______.
参考答案：
180
【分析】
根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果
【详解】因为，，所以
，
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：
①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围.
参考答案：
.解：（1）由题意，在[]上递减，则解得
所以，所求的区间为[-1，1]
（2）取则，即不是上的减函数
取，
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数
的值域为[]，即，为方程的两个实数根，
略
19. 已知都是锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
参考答案：
解：因为都是锐角，
所以，且，
所以，
（1）
；（2）
．
20. （本小题共12分）已知函数，[－1，1].
⑴求的最小值（用a表示）；
⑵记,如果函数有零点，求实数的取值范围.
参考答案：
⑴解
令在上单调递增
∴，此时 ----------2分
当时，
当时，
当时，.----------6分
⑵即方程有解，即方程在上有解，而
∴，可证明在上单调递减，上单调递增.
f(t) =为奇函数，∴当时
∴的取值范围是.----------12分
略
21. 已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）
（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．
【专题】直线与圆．
【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；
（Ⅱ）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）BC中点D的坐标为（2，0），
∴直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；
（Ⅱ）∵，BH⊥AC，
∴，
∴直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．
【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．
22. 已知函数.
（1）若函数的最大值是最小值的4倍，求实数a的值；
（2）若函数存在零点，求函数的零点.
参考答案：
（1）或或或.（2）当时，零点为；当时，零点为
【分析】
（1）将整理为，换元可得，；根据对称轴位置的不同，分别在，，和四种情况下构造最大值和最小值关系的方程，解方程求得结果；（2）根据（1）中最值的取值范围可知若存在零点，必有或，从而可知的取值，进而得到零点.
【详解】（1）
当时，，令，
①当时，，；
有，解得：或
由得：
②当时，，；
有，解得：或
由得：
③当时，，；
有，解得：
由得：
④当时，，
有，解得：
由得：
综上所述：或或或
（2）由（1）知，，，
若函数存在零点，则必有：或
①当时，，此时函数的零点为：；
②当时，，此时函数的零点为：
【点睛】本题考查余弦型函数的最值、零点的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转变为二次函数图象的讨论问题，从而根据对称轴位置确定最值取得的点；同时求解零点时，根据最值的取值范围可确定余弦的取值.。