2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换一课件新人教A版必修第

【解析】在△ ABC 中，A＋B＋C＝π，
所以 sin C＝sin (A＋B)＝cos A＋cos B，利用和差化积公式，得 cos A＋cos B＝2cos
A＋B 2
cos
A－B 2
，
所以 2sin
A＋B 2
cos
A＋B 2
＝2cos
A＋B 2
cos
A－B 2
，
显然 cos
A＋B 2
≠0，故 sin
所以△ ABC 是直角三角形．
学情诊断·课堂测评
1．下列各式与 tan α 相等的是( )
A.
1－cos 2α 1＋cos 2α
B．1＋sincoαs α
C．1－sicnosα2α
D．1－sinco2sα2α
【解析】选
1－cos 2α D. sin 2α
＝2si2nsαinc2oαs α
＝csoins
2＋2cos 8 ＋2 1－sin 8 的化简结果是( ) A．4cos 4－2sin 4 B．2sin 4 C．2sin 4－4cos 4 D．－2sin 4
【解析】选 D.原式＝ 4cos24 ＋2 （sin4－cos 4）2 ＝|2cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.
＝14
－
3 2
sin 100°＋
3 2
sin 100°＝41
.
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消 除角之间的差异，合理选择联系它们的公式； (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为 切； (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配 方、开方等．
【加固训练】
化简：
（1＋sin α＋cos α）sin
2＋2cos α
α2－cos
α 2
(180°<α<360°).
【解析】原式＝
2cos2α2＋2sinα2cos
α 2sin
α2－cos
α 2
2·2cos2α2
＝2cosα2cos
α2＋sin
α 2sin
α
α2－cos
α 2
2cos
2
cos ＝
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan
α 2
＝1＋sincoαs α
＝1－sincoαs α
，其优
点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
常先利用 sin2α2 ＝1－2cosα ，cos2α2 ＝1＋2cosα 计算．
基础类型二 化简问题(数学运算)
θ 2 θ 2
＋
2cos22θ＋2sinθ2cos 2sin22θ＋2sin2θcos
θ 2 θ 2
sin ＝
cos
θ 2 θ 2
＋
θ cos 2
θ sin 2
＝
1 θ
θ ＝sin2 θ ＝右边．所以原式成立．
cos 2sin 2
方法二：左边＝
（1＋sin θ－cos θ）2＋（1＋sin θ＋cos θ）2 （1＋sin θ＋cos θ）（1＋sin θ－cos θ）
【典例】已知
π
＜
α
＜
3π 2
，化简：
1＋sin α
＋
1＋cos α－ 1－cos α
1－sin α 1＋cos α＋ 1－cos α .
【解析】原式＝
sin
2cos
α2＋cos
α2 2
α2－
2sin
α 2
＋
sin
2cos
α2－cos
α2 2
α2＋
2sin
α 2
，
因为 π＜α＜32π
，所以π2
积化和差公式 (1)sin αcos β＝21 [sin (α＋β)＋sin (α－β)]； (2)cos αsin β＝21 [sin (α＋β)－sin (α－β)]； (3)cos αcos β＝12 [cos (α＋β)＋cos (α－β)]； (4)sin αsin β＝－21 [cos (α＋β)－cos (α－β)].
【解析】选 A.因为 α∈32π，2π ，
所以α2
∈34π，π
，sin
α 2
＝
1－cos α 2
＝
10 5
.
能力形成·合作探究
基础类型一 求值问题(数学运算)
1．已知 α∈－π2，0
，cos α＝45
，则 tan
α 2
＝(
)
A．3 B．－3 C．13
D．－31
【解析】1.选 D.因为 α∈－π2，0 ，且 cos α＝45 ，
所以α2
∈－π4，0
，tan
α 2
＝－
1－cos α 1＋cos α
＝－
1－45 1＋45
＝－13
.
2．设 α 是第二象限的角，tan α＝－43
，且 sin
α 2
<cos
α 2
，则 cos
α 2
＝________．
2．因为 α 是第二象限的角，
所以 2kπ＋π2 <α<2kπ＋π(k∈Z)，
kπ＋π4
α
α
α
提示：tan
α 2
sin ＝
cos
2 α 2
sin ＝
cos
2·2cos α 2·2cos
2 α 2
＝1＋sincoαs α
，
α
αα
tan
பைடு நூலகம்α 2
sin ＝
2 α
sin ＝
2·2sin α
2 α
＝1－sincoαs α
.
cos 2 cos 2·2sin 2
1．若 cos α＝32
，α∈(0，π)，则 cos
α <2
<kπ＋π2
(k∈Z)，
又 sin
α 2
<cos
α 2
，所以α2
为第三象限的角，
所以 cos
α 2
<0，
因为 tan α＝－43 ，所以 cos α＝－35 ，
所以 cos
α 2
＝－
1＋cos α 2
＝－
5 5
.
答案：－
5 5
利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常 常借助半角公式求解； (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围， 求出相应半角的范围；
【解析】sin220°＋cos280°＋ 3 sin20°cos 80°
＝1－co2s 40° ＋1＋co2s 160° ＋ 3 sin 20°cos 80°
＝1＋12
(cos
160°－cos
40°)＋
3 2
(sin 100°－sin 60°)
＝1－sin 100°·sin 60°＋
3 2
sin 100°－34
α 2
＝±
1＋cos α 2
吗？
2．对任意 α∈R，sin
α 2
＝21
cos α 都不成立吗？
3．存在 α∈R，使得 cos
α 2
＝12
cos α 成立吗？
4．若 α 是第一象限角，则 tan
α 2
＝
1－cos α 1＋cos α
吗？
提示：1.不是；2.不是；3.是；4.是．
教材 P225 你还能得到半角正切公式的其他表达式吗？
sin 2 2sin2cos 2
所以原等式成立．
证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简、左右归一．
【加固训练】
求证：11＋＋ssiinn
θ－cos θ＋cos
θ θ
＋11＋ ＋ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ
＝sin2 θ
.
【
证
明】方
法
一：
左
边＝
2sin22θ＋2sin2θcos 2cos22θ＋2sin2θcos
和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sin
θ＋φ 2
cos
θ－φ 2
，
(2)sin θ－sin φ＝2cos
θ＋φ 2
sin
θ－φ 2
，
(3)cos θ＋cos φ＝2cos
θ＋φ 2
cos
θ－φ 2
，
(4)cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2
sin
θ－φ 2
.
【加固训练】 在△ABC 中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC 是直角三角形．
A＋B 2
＝cos
A－B 2
，
两边平方，得 sin2A＋2 B ＝cos2A－2 B ，即
1－cos（A＋B） 2
＝1＋cos
（A－B） 2
，所以 cos (A＋B)＋cos (A－B)＝0，所以
2cos A cos B＝0，即 cos A＝0 或 cos B＝0.
因为 A，B 是三角形的内角，故必有一个为直角，
【证明】因为 3sinβ＝sin (2α＋β)， 即 3sin (α＋β－α)＝sin (α＋β＋α)， 所以 3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α ＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α， 所以 2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α， 所以 tan (α＋β)＝2tan α.
＝2（（11＋＋ssiinnθθ））22－＋c2ocso2sθ2θ ＝2si4n＋θ＋4s2insθin2θ ＝si2nθ ＝右边．所以原式成立．
条件恒等式的证明
【典例】已知 0＜α＜π4
，0＜β＜π4
，且 3sin β＝sin (2α＋β)，4tan
α 2
＝1－tan2α2
.
证明：α＋β＝π4 .
α
第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限
α 2 第一、 三象限 第一、 三象限 第二、 四象限 第二、 四象限
α sin 2
α cos 2
α tan 2
＋、－ ＋、－
＋
＋、－ ＋、－
＋
＋、－ －、＋
－
＋、－ －、＋
－
半角公式中的正负号是根据什么确定的？ 提示：角 α 的范围．
1．sin
α
又因为
4tan
α 2
＝1－tan2α2
，所以
tanα＝12－tatnan22α2
＝12
，所以
tan(α＋β)＝2tan
α
＝1.
因为 α＋β∈0，π2 ，所以 α＋β＝π4 .
条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适 当途径化简证明．
素养发展·创新应用
创新拓展 积化和差与和差化积公式
α 2
的值为(
)
A．
6 6
B．－
6 6
C．
30 6
D．－
30 6
【解析】选 C.由题意知α2 ∈0，π2 ，
所以 cos
α 2
>0，cos
α 2
＝
1＋cos α 2
＝
30 6
.
2．已知 cos α＝15
，α∈32π，2π
，则 sin
α 2
等于(
)
A．
10 5
B．－
10 5
C．2 5 6
D．25 5
cos
α 2
，tan
α 2
.
2．混淆：半角正切公式要求 α≠(2k＋1)π，k∈Z.
3．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则： (1)若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号； (2)若给出 α 的具体范围(即某一区间)时，则先求α2 所在范围，然后根据α2 所在范 围选用符号； (3)若给出的 α 是某一象限的角时，则根据下表决定符号．
在解三角形中的应用(数学抽象)
【典例】在△ABC 中，已知 sin A sin B＝cos2C2 ，则△ABC 是(
)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【解析】选 B.在△ ABC 中，A＋B＋C＝π，由 sinA sin B＝cos2C2 得，－12 [cos(A ＋B)－cos (A－B)]＝1＋c2os C ， 所以21 cos C＋21 cos (A－B)＝1＋c2os C ，所以 cos (A－B)＝1，所以 A＝B，即 △ ABC 是等腰三角形．
5． 简单的三角恒等变换(一)
基础认知·自主学习
倍角余弦公式 cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1
【问题 1】若以 α 代替 2α，以α2 代替 α，能得到什么结论？
【问题 2】在上述结论中，能否用 cosα 表示 sin
α 2
，cos
α 2
，tan
α 2
？
【问题 3】其符号该如何确定？
α2（－cos α） α
.
cos
2
因为
180°<α<360°，所以
α 90°<2
<180°，
所以 cos
α 2
<0，
cos 所以原式＝
α2（－cos α）
－cos
α 2
＝cos α.
综合类型 恒等式的证明问题(逻辑推理)
绝对恒等式的证明
【典例】求证：
2sin x cos x （sin x＋cos x－1）（sin x－cos x＋1）
＝1＋sincoxs x
.
【证明】左边＝
2sin x cos x
2sin
x 2cos
x2－2sin2x22sinx2cos
x2＋2sin2x2
＝4sin22x2sicnoxs2cx2o－s xsin2x2 ＝2ssiinnx2x2
x
＝
cos2 x
＝
2cos2x2 x
x
＝1＋sincoxs x
＝右边．
＜α2
＜34π
，所以 cos
α 2
＜0，sin
α 2
＞0.
所以原式＝－si2nsα2in＋α2c＋oscoα2s2α2
＋
sin
α2－cos
α2 2
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos 2
α 2
sin ＋
α2－cos 2
α 2
＝－
2
cos
α 2.
【备选例题】 求值：sin220°＋cos280°＋ 3 sin20°cos 80°.
半角公式
sin
α 2
＝±
1－cos α 2
，cos
α 2
＝±
1＋cos α 2
，tan
α 2
＝±
1－cos α 1＋cos α .
1．本质：半角公式实际上是由倍角公式变形得到的，它给出了求α2 的正弦、余
弦、正切的另一种方法，即只需知道 cos α 的值及相应 α 的条件，便可求出 sin
α 2
，