解直角三角形

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC, ∠D=90° ∠B=30°,CD= 9 3 ,对角线CA⊥AB.求AD和 BC的长。
解：在Rt△ABC中，∠B=30° ∴∠BCA=60° 30° ∴∠ACD=30° 在Rt△ACD中，∠ACD=30° CD AD cos 30 tan 30 AC CD 9 3 18 3 AC AD 9 3 9 3 3 2 ∴ BC=2AC=36
3
●
30°
●
在Rt△ACD中， ∠CAD=30° cos 30 AD AD 3 40 3 20(海里) AC 2 3 ∵ 20>19 ∴ 无触礁危险
C
D 东
做一做
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D， 且CD=4, sinB 3 ,求斜边AB的长。 C 5 3 CD AB ，CD 4，sinB 解： 5 4 CD 3 sinB A B BC 5 D 5 20 BC 4 3 3
解直角三角形
一、解直角三角形的概念
根据已知直角三角形的边和角，求出未知的边和角 的过程，叫解直角三角形。
例如：
在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c。若c=8 3 ,∠A=60°。解此直角三角形。 B 解：∵∠C=90°,∠A=60°,c=8 3
sin A a c a sin 60 c 3 8 3 12 2
3
sin A 2 ， D为 在Rt△ABC中，∠C=90°， 5
AC上一点，∠BDC=45°,CD=6,求AB的长。 解：∵ ∠C=90°, ∠BDC=45° ∴ ∠BDC=∠DBC=45° ∴ BC=DC=6
2 sin A ∵ ∠C=90°, 5 BC 2 AB 5
AB 6 5 15 2
E
F
解①： 过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F 3 1 i tan B 3 3 ∴∠ B=30°
点评： 正确理解坡度的含义是解题的
关键。同时把梯形问题分割为 12 直角三角形和矩形问题求解。
4
i 1:1
E F
解②：
∵ 四边形AEFD是矩形 ∴ EF=AD=4 AE=DF ∵ ∠B=30°∠AEB=90° ∴ AE=6 ∴ DF=6
A●
60°
100
●B
30°D●来自C解：过点B作BD⊥AC于点D 由题意得： 100 ∠ABC=120° 60° ∠BAC=∠BCA=30° AB=100海里 ∴BC=AB=100海里 ∴ AC=2CD ∵ ∠BDC=90°, ∠C=30°
cosC CD BC
30°
CD cos30 100 50 3(海里)
cos B BE AB
∵CD的坡度为 i 1 : 1 DF 1 CF 1 ∴ CF=DF=6 ∴ BC=BE+EF+CF (10 6 3 ) m 答：
BE cos 60 12 6 3
2、如图，一长为30米的防洪坝，坝面宽3m,迎水坡 BC的坡度为1:3，背水坡AD 的坡度为1:2，完成水坝用去 土方2325m3,求坝高。 解： E F 过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F ∴ AE=2x,BF=3x ∴四边形DECF是矩形 ∴ AB=5x+3 ∴ EF=CD=3m ( DC AB) DE ∴ 设DE=CF=xm 30 2325 2 ∵AD的坡度为1:2， ( 3 5 x 3) x BC的坡度为1:3 30 2325 2 CF DE 1 1 , AE 2 BF 3 x1 5, x2 31 ( 舍去 ) 5
二、解直角三角形在测量中的运用
(一)、俯角、仰角问题 如图： 铅垂线 视线 水平线 视线 从上往下看，视线与水平线的夹角，叫俯角 从下往上看，视线与水平线的夹角，叫仰角
例题选讲
1、为测量河岸一铁塔AB的高，先在C处测得塔顶A 的仰角为30°，然后正对铁塔前进20米至D处，在点D 测得塔顶A的仰角为45°。求塔高AB. 解： 由题意得： A ∠B=90°,∠ADB=∠BAD=45° ∠C=30°,CD=2米 ∴设AB=BD=x米
E
AB tan 30 15 5 3
AC AB 2 BC 2 14
(2012陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的 迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处 测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后， 他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得 湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东 45°方向（点A、B、C 在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据， 求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭 A处之间的距离 （结果精确到1米）．
0
③已知B=45°，a=10 3
A
A 45 ，b 10 3，c 10 6
0
做一做 在Rt△ABC中，∠C=90°,AC= 3 ,BC=1. 解这个直角三角形。
解：∵ ∠C=90°,AC= 3 ,BC=1
AB AC BC 2
2 2
1
tan B AC 3 BC
∴ ∠B=60° ∴ ∠A=90°-60°=30°
?
25° 45°
解： 由题意得： ∠CAD=25°,∠CBD=45° AB=100米
∴设CD=BD=x米
CD sinCAD AC AD cosCAD AC
x 100 AC cos250 100 AC cos250 - sin250
∴
x AC sin250
100
∴ AC≈211(米) 答：迎宾槐C处与湖岸上的凉亭 A处之间的距离为211米。
∴∠B=300
b b 1 cosB c 8 3 2
8
3
a C
A
b?
b 4 3
试一试
根据下列条件解直角三角形，∠C=90°
①已知c=10,A=60°
B 30 ，a 5 3, b 5
0
B c
0
②已知a=4 6 ,b=12 2
a b C
c 8 6，A 30 ，B 60
(二)、方位角问题：
如图：
北 海上航行
西
东
南
东北方向、西南方向、东南方向、西北方向
例1、某货船在海上A处，测得灯塔B在北偏西45° 的方向上，货船沿南偏西45°的方向以18海里/时的速度 航行了20分钟到达C处，这时观测灯塔B正好在船的正北 方向。求C到灯塔B的距离.(精确到0.1海里)
解：如图，由题意得
B
∠B=∠C=45°,∠BAC=90°
20 AC 18 6 （海里） 60
∴AB=AC=6(海里)
C
北 45° A 45°
AB AC 2 AB 2 6 2 8.5( 海里)
答：C到灯塔B的距离是8.5海里
例2、一只船以20海里/时的速度向正北方向航行，出发 前，从点A观测灯塔C的方位角为北偏东30°，经过2小时后 航行到达B处，观测灯塔C的方位角为北偏东45°. 求出发点A与灯塔C之间的距离。（精确到0.1) 解：如图，作CD⊥AB于D 由题意得：∠A=30°,∠CBD=45° 北
9 3
某海岛四周19海里内有暗礁，一货轮由西向东航行 见此岛在北偏东60°，航行 40 3 海里后，见此岛在
3
北偏东30°货轮沿原方向继续航行，有无触礁危险？
北 解：由题意得： ∠ABC=30° ∠BAD=60° ∠CAD=30° ∴∠ABC=∠BAC=30° 60° 40 3 40 3 ∴ BC=AC= 3 ●
30° ● 45°
解：过点D作DC⊥AE于点C 由题意得：∠ADC=30°, ∠CDE=∠CED=45° 设CD=x米 ∴ CE=CD=x
tan ADC AC CD
甲楼
乙楼
AC tan 30 x 3 x 3
x 3 x 18 3
x 27 9 3
答：甲、乙两楼的水平距离是 (27 9 3 ) 米。
∴ BC=2x=18 >16
∴点B不在暗礁区域内
(2)CD 3x 9 3＜16 ∴继续向东航行有触礁危险
例5、如图，四边形ABCD中，∠BAD=60°, ∠B=∠D=90° BC=11,CD=2,求对角线AC的长。
解：延长AD,BC交于点E
∵∠BAD=60°, ∠B=90° ∴∠E=30° ∴ CE=2CD=4 ∴ BE=BC+CE=15 tan E AB BE
45°
30°
B
500米
tan DBC DC D BC DC tan 60 x 3 x
∴ DC=AC
C
又∵∠DAC=∠ADC=45°
3 x x 500
答：
x 250 3 250
3、如图，AE是挂在甲楼上的宣传条幅， 且长度是18m,现在一楼的顶部点D测得 条幅的上端A的仰角是30°，条幅的下 端E的俯角是45°，求甲乙两楼的水平 C 距离是多少米？
sin25°≈0.4226 cos25°≈0.9063 cos65°≈0.4226 tan65°≈2.1445 tan25°≈0.4663 sin65°≈0.9063
?
25° 45°
100
sin25°≈0.4226 cos25°≈0.9063 cos65°≈0.4226 tan65°≈2.1445 tan25°≈0.4663 sin65°≈0.9063
cosB 1 - sin 2 B 4 5
0
BC 4 又 C 90 ，cosB AB 5 5 20 25 AB 4 3 3
典例选讲
如图，在△ABC中，AD=DB,AC⊥CD, ∠ACB=135°,求sinA. C E 4 解： 作DE∥BC交AC于E B ∴△ADE∽△ADC A D 又∵AD=DB 2 2 AE AD 1 AD AC CD 5k AC AE 2 CD k 5 sinA ∴AE=EC AD 5k 5 又∵ AD=DB,AC⊥CD, ∠ACB=135° ∴∠2=∠3= ∠ 4=45° ∴CD=CE 设CD=CE=AE=k,则AC=2k
AB=40海里 设CD=x海里 则BD=x， AC=2x
D B 40
C
AD AC 2 BD 2 3 x
3 x x 40
x 20 3 20
AC 40 3 40 109.3(海里) A
答：出发点A与灯塔C之间的距离为109.3海里
例3、台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上救援中心立即 通知位于A,B两处的上海救捞局所属的专业救助轮“华意”轮 和“沪救12轮”前往出事地点C展开搜救，接通知后，“华意” 轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12轮”测得出事 地点C在B的南偏东30°，已知B点在A的正东方向，且相距 100海里，分别求出两船到达出事地点的距离。 北 北
AC 100 3(海里)
答：
例4、如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向 航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行 半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知 该岛周围16海里内有暗礁。 C ①说明点B是否在暗礁区域外？ ②若继续向东航行有无触礁危险？ 说明理由。 A B D 解：①做CD⊥AB于D 由题意得：∠CAB=30°,∠CBD=60°,AB=18海里 ∴设BD=x海里，则BC=2x海里，CD= 3 x海里 CD 3x 3 tanCAD ∴x=9 AD 18 x 3
三、修路、筑坝问题
如图，是设计图纸上标注的量
A
h i tan l
AB叫坡面
B

h
l

C
BC是坡面的水平宽度 AC是坡面的铅垂高度 坡面与水平面的夹角叫坡角 常写成i=1:m的形式
铅垂高度与水平宽度的比叫坡度
h i l
例题选讲
1、如图，某海堤的横断面是梯形， 上底AD为4m,近水面(斜坡AB)的 坡度 i 1 : 3 ，斜坡AB的长度 为12m,背水面(斜坡CD)的 坡度 i 1 : 1 ，求： ① 斜坡AB的坡角。 ② 坡底宽BC和斜坡CD的长。
AB 又 tanC BC
3 x 3 x 20
B
45°
D
30° 20米
C
x 10 10 3
答：塔高AB为 (10 10 3 )米。
2、如图，飞机在空中A处测得地面目标D的俯角为450， 下降500米后在B处测得D的俯角为300，求此时飞机的 高度BC是多少米？ A
解： 由题意得： ∠C=90°, ∠DBC=60°, ∠DAC=∠ADC=45° AB=500米 设BC=x米