置换定理.

2
Rx
用戴维南定理化简电路中的不变部分。
1
5A
1 I1 2 5A
(b)
(1) 求开路电压UOC。将RX支路断开时，电路如图(b)所示。
I2
1
U OC (1 I1 1 I 2 ) 1V
U OC
1
1
1
(2) 求等效电阻Ri。将电流源用开路代替，电路如图(c)所示。
I N1 U S＝U
O U
US U
U f1 ( I ) i I
N1
＋ U －
I
N2
(b) 置换定理图示
设N1和N2的端口电压、电流关系分 别为U=f1(I)和U=f2(I) ，则此时电路 的解为：
解不变
u U
置换定理的证明
（ a) 置换定理图示
U f 2( I )
N1
I S＝ I
＋ U －
第3章 电路定理
提要 本章介绍电路理论中的几个常用定理。首先介绍置换定理；然 后介绍齐性定理和叠加定理；它们是体现线性电路特点的重要定理，是 线性方程的齐次性和可加性在电路中的体现；其次介绍戴维南定理和诺 顿定理，它们是化简线性一端口电路的有效方法；最后介绍与基尔霍夫 定律同样适用的特勒根定理，并以此证明互易定理。
例题 3.1
I1 26 V 4 5 I2 R U2 (a)
图(a)所示电路，已知I2=2A，求电阻R和电流I1。
解
根据置换定理，用2A电流源置换电阻 R 得图(b)所示电路。 列节点电压方程：
( 1 1 26V )U 2 2A U 2 10V 4 5 4 U R 2 5 I2
2 叠加定理
I1
R1
US I1' I1''
' I2
I2
R2
IS
R1
US
R2 rI 1'
(b)
R1
R2 rI 1''
(c)
'' I2
IS
rI 1
(a)
叠加定理示例
I1 I 2 I S ( R1 r ) I1 R2 I 2 U S
R2 1 I IS US R1 R2 r R1 R2 r
（2）根据已知条件求开路电压；
Ri I U OC R
U OC ( Ri R) I (22 8) 1A 30V
（3）求改变后的R。
I
U OC 30V 0.5A R 38 Ri R 22 R
3.4
特勒根定理
基本要求：理解特勒根定理的内容、证明过程、物理意义和普遍适用性。
U 5 R4 I 4 R3 I 3 2.75A R5 R5
I3
U 3 R2 I 2 R1I1 1.25A R3 R3
I 4 I 2 I3 2.75A
U S R6 I 6 R5 I5 44V
I5
I 6 I 4 I5 5.5A
US = 66V 时是44V的1.5倍，所以电路中所有的电压、电流均应该增大1.5 倍，据此可以求出电路中其他各处电压电流。
叠加定理：在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应等于各 个独立电源单独作用时产生相应响应的代数叠加。 注：1 叠加作用可以是多个电源分别单个作用，也可以是多个电源分 成几组作用但每个电源只能作用一次；
2 也可以是一个电源被分成几个子电源作用，但作用总和应和原 电源的值保持一致；
3 功率不满足叠加定理。
U"
(5 7) || 12 10 V 6V (5 7) || 12 4
U U ' U " 8.1V
+
=
例题
3.5
0.5 I 2 US1 1 (a) US 2 IS I 1 U
已知当US1=3V时，电压U=4V。求当US1=3.6V， 其它条件不变时电压 U 的值。
3 6 2 Ri 3
(b)
3
I
6
4 1 U 2 Ri
(a)
Ri
1 3 26 2.25 1 3 26
1
2.25
6 2
Ri
(d)
Ri
(1 2) (3 6) 2.25 (1 2) (3 6)
1 Ri
(c)
3.3
等效电源定理
基本要求：理解等效电源定理的原理和内容，熟练应用等效电源定理。
I 0
线性 含源 U 网络
(a)
=
I
线性 含源 网络
(b)
U OC B0
+
线性 无独 立源 网络 (c)
A0 I
I

Ri A0
U
=
Σ AkXk
戴维南定理的证明 +
A0I
是一个确定的电压值， 与电流I无关，大小等 于此含源一端口网络 的开路电压值（I=0）
本章目次 1 置换定理 2 齐性和叠加定理 3 等效电源定理 4 特勒根定理 5 互易定理 6 对偶原理
3.1
置换定理
基本要求：理解置换定理的原理和内容，并能正确应用置换定理。 置换定理： 在任意线性和非线性电路中，若某一端口的电压和电流为U和I，则 可用US＝U的电压源或IS＝I的电流源来置换此一端口，而不影响电路中其它部 u 分的电流和电压。
U f1 ( I ) i O I
置换定理的证明
(c) 置换定理图示
说明：
(1)置换定理要求置换后的电路有惟一解； (2)除被置换部分发生变化外，其余部分在置换前后必须保持完全相同；
(3)若电路中某两点间电压为零，则可将量值为零的电压源接于该两点间， 相当于将该两点短路；若电路中某支路电流为零，则可将量值为零的电流 源串接于该支路，相当于将该支路断开。
齐性定理示例
' ( R1 R3 ) I1' ( R3 r ) I 2 0 ' R3 I1' ( R2 R3 ) I 2 KU S
( R1 R3 )( KI1 ) ( R3 r )( KI 2 ) 0 R3 ( KI1 ) ( R2 R3 )( KI 2 ) KU S
I1' KI1
' I2 KI 2
齐性定理（homogeneity theorem）：在只有一个激励X作用的线性电路中， 设任一响应为Y，记作Y=f (X)，若将该激励乘以常数K，则对应的响应Y’也 等于原来响应乘以同一常数， 即Y’=f (KX)=Kf(X)=KY。
A1与电源无关，由电路的结构和参数决定，与 电源呈线性关系
3.2
齐性定理和叠加定理
基本要求：透彻理解并熟练应用齐性定理和叠加定理。
1 齐性定理
I1 rI 2 R1 I1 I3 R2 R3 I 2 I2 US
I’ 1 rI’ 2
R1 I’ 1 I’ 3
R2 R3 I’ 2
I’ 2 KUS
齐性定理示例
( R1 R3 ) I1 ( R3 r ) I 2 0 R3 I1 ( R2 R3 ) I 2 U S
例题
3.4
用叠加定理计算电压 U 。
5 7 1.5A 12
(a)
4 U 10V 7
5 I ' 1.5A
4 U' 7
5
4 10V
12 U ''
(c)
12
(b)
7 1.5A 0.7A (4 ||12) (5 7) U ' (4 ||12) I ' 2.1V I'
0.5' I 2 U 'S 1 US2 1 IS (b)
I' 1 U'
0.5" I 2
I" 1 U"
3.0V
0.6V
U ''S 1
1 (c)
(1 2 1) I " 2 0.5 I " 0.6V
U=
U ' 4V
+
I " 0.2A U " 1 I " 0.2V
' 1
I1 ' I 2 ' 0 ( R1 r ) I1 ' R2 I 2 ' U S
I1'
I1" I 2 " I S ( R1 r ) I1" R2 I 2 " 0
I1'
R1 r 1 I IS US R1 R2 r R1 R2 r
uk ik
线性 含源 网络
(a) 诺顿定理图示
I
U
I SC
I
U
Gi
(b)
注：1
Gi 1 / Ri I SC / U OC
Ri=0时只存在戴维南等效电路。
2 Gi=0时只存在诺顿等效电路；
例题
3.6
I
1
计算电桥中Rx分别等于0Ω、0.8Ω、1.6Ω时， 该支路的电流和功率。
解
1
1
图3.6所示电路中电阻R0=R2=R4=R6=4Ω， R1=R3=R5=8Ω。(1)若使I0 = 1A，求 US的 值。(2)若 US = 66V，求各支路电流。
解
R6 R4 U 5 R5 U 3 I5
I0
I 0 1A
I1
U1 R0 I 0 0.5A R1 R1
I 2 I1 I 0 1.5A
' 2
=
1 US R1 R2 r
1 ' I2 US R1 R2 r
+
' I2
R2 IS R1 R2 r R1 r IS R1 R2 r
注：电路中各处电压、电流为独立电源的线性组合，而系数与独立电源无 关，所以I，U 等于K1US+K2IS，其中系数Ki由电路的结构和参数决定。
uk , ik
N
(a)



~ ,~ u k ik ~ N

二者结构相同
(b)
~ ~ 特勒根定理: 电路N中各支路电压uk与电路N 中对应支路电流 ik 的乘积之和等于零，即
~ u k ik 0
k 1
b
~i u
k 1
b
k k
0
证明： 根据图示电路：
~ ~ ~ uk ik (un un ) ik (un un ) i
Ri
Ri [(1 2) || (1 1)] 1.2
(3) 根据(1)、(2)求得戴维南等效电路如图(d)所示。
Ri
2
(c)
I
Rx
I
U OC 1V Ri R x 1.2 Rx
U OC
(d)
（4）根据（3）求 得RX相应的电流和 功率。
P I 2 Rx
例题
3.7
I1 26 V 4 5
U2 2A (b) 来自26V U 2 I1 4A 4
例题
3.2
求图(a)所示电路的等效电阻Ri。 分析：图(a)电路满足电桥平衡条件， 所以4Ω电阻电流和电压均为零。根 据置换定理，可用量值为零的电压源 (即短路线)或者用量值为零的电流源(即 断路)置换该电阻。做上述置换后，便 可容易求出等效电阻。
线性 含源 网络
(a) I Ri I UO C
当网络内部全部独 立电源置零时，从 端口处看进去的等 效电阻的负值 ,记 作：-Ri
U
(b)
U U OC Ri I
U
戴维南定理图示
1 戴维南定理
定理：线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电压源串联电阻的电路来 等效代替。其中电压源的电压等于此一端口网络的开路电压，而电阻等于此 一端口网络内部各独立电源置零后所得无独立源一端口网络的等效电阻。
4 6 I1 3I1
US
如图所示电路。已知R=8Ω时，I＝1A。 求R为何值时I＝0.5A？ （1）为求该电路的戴维南等效电路，首先求 该电路的等效内阻；
4 4 I1 I1 6 I1 3I 1 Ri
U1
I R
IS
(4 6) I1 4 3I1 U1 Ri
U1 22 I1
I1 I2
R3 r U S AU 1 S R1 R2 R3 ( R1 R3 r )
R1 R3 U S A2U S R1 R2 R3 ( R1 R3 r )
A2与电源无关，由电路的结构和参数决定，与 电源呈线性关系
例题
3.3
I6 US I4 I2 R2 R0 R3 U1 R1 I 3 I1
在只有一个激励x作用的线性电路中设任一响应为y记作yfx若将该激励乘以常数k则对应的响应y也等于原来响应乘以同一常数即yfkxkfxky31112313132212313ssssrriuaurrrrrrrriuaurrrrrr?????????????a1与电源无关由电路的结构和参数决定与电源呈线性关系a2与电源无关由电路的结构和参数决定与电源呈线性关系su??0i1i2i3i4i5i6i1r0r2r3r4r5r6r1u??3u??5u??图36所示电路中电阻r0r2r4r64r1r3r58
2 诺顿定理
Ri U OC (a) I
U
含源支路等效
I SC
I Gi (b)
U
短路电流
I SC
U OC Ri
Gi
1 Ri
线性 含源 网络
ISC
Ri U OC I SC
U OC Ri
I SC
I SC Gi
诺顿等效电路源电流的计算
定理：线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电流源并联电导的电 路来等效代替，其中电流源的源电流等于此一端口网络的短路电流,而电 导等于此一端口网络内部各独立源置零后所得无独立源一端口网络的等 效电导。这一定理称为诺顿定理，所得电路称为诺顿等效电路。