第6章波函数和薛定谔方程
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f t Ce
只含有r的部分：
2 2m
2
V
r
r
E
r
定态薛定谔方程
说明：1，该方程中的ψ(r)表示粒子能量为E的态。能量E不变 的态，称为定态。
2，定态时粒子的宏观状态（几率密度w，几率流密度J）不随 时间改变。
w(r,t) r,t2 (r) 2
t
f
t
2 2 2m
V r,t r
把只含r，t的部分分别放在等式两边，则：
i f t
f t t
2 2m
2 V r
r
r
E
只含有t的部分：i df t Ef t
dt
i Et
J i * * i * *
2m
2m
定义：哈密顿算符
H
2
2
V r
2m
则定态薛定谔方程可以写成：H E
数学上，如果算符作用在函数上，等于某常数乘以该函数，即：
F
——本征方程，或特征方程，或固有方程。
λ称为本征值或特征值，φ称为本征函数或特征函数。由此：定 态薛定谔方程归结为一个本征值问题。
r, t
t
i
t
c p
p r,td 3 p
ic p p r,t d 3 p
t
c
p
2 2m
2
p
r,
t
d
3
p
2 2m
2
c
p
p
r
,
t
d
3
p
2 2r,t
2m
第5节 粒子流密度和粒子数守恒定律
解释：粒子的波函数ψp(r,t)，通常为复数，其强度为 |ψp(r,t)|2=ψp*(r,t)ψp(r,t)，为非负实数。在空间体积元dτ=dxdydz中， 找到粒子的概率与|ψp(r,t)|2成正比，与体积元dτ成正比：
dpr,t k | p r,t|2 d 取比例系数k=1 | p r,t|2 d
h
pn
p
h
2
2
2
E h
E
4，将由ψp(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础， 进而确定粒子的全部微观性质。
问题：自由粒子的波函数ψp(r,t)如何得到力学量？
波函数ψp(r,t)对x求偏导，再乘以 -iħ ，则：
p r,t
4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。
5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。
r1, r2 ,, rN ,t ——多粒子系统的波函数
i
t
r1, r2 ,, rN
,t
i
2 2mi
2 i
V
r1, r2
,, rN
, t r1 , r2
t 2m
i
wr,t i *2 2 * i * *
t 2m
2m
J
其中令：J i * *
2m
说明：
1，w(r,t)为物质在r处的密度，J(r,t)则是该处物质的流。
2，物质在空间任一处的粒子数守恒律
3，基态：当n=1，给出能量En最低的态称为基态（对于谐振子， n=0给出基态，详见下一节。）
4，考虑波函数中含有t的部分，则一维无限深势阱的波函数为：
n
x,t
n
x
e
i
Ent
r,
t
2：设波函数为Ψ(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几 率。
解：如Ψ(x,y,z,t)已归一化，则几率为：P'
dy
dz 2 dx
如未归一化，则几率为：
P
P' 2 dxdydz
3:已知t=0时自由粒子的波函数为：
T
p
r,t
2 — 拉普拉斯算符
说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。
2，任一算符与其对应力学量的关系为：A p r,t A p r,t
第2节 波函数的统计解释
因为粒子具有波粒二象性——引入波函数。波恩对波函数做 出如下解释：
根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。
第6节 定态薛定谔方程
考虑定态的情形，即：势能V(r,t)与时间t无关，可以写成V(r)的 形式，可以使用分离变量法简化薛定谔方程。设波函数Ψ(r,t)= ψ(r)f(t)，分为分别只和r，t有关的部分，则：
i
t
2 2m
2
V
r
i rf t
2m
动能算符：
T
1 2m
i
x
2
i
y
2
i
z
2
2 2m
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2 2 2m
则有：
2 2m
2
p
r,t
归一化波函数：
在全空间任一粒子出现几率为1，则：
r,t 2 d 1 ——归一化条件
dτ为空间体积元，3维情况下dτ=dxdydz（与相体积元区别）。
满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能
用上式归一化，例如前面介绍的
p
(r,t)
i
Ae
pr
Et
例：对于波函数Φ(r,t)，如果有 r,t 2 d N
对应于
A=0：
n
B cos n
2a
x
0
n为奇数
x a x a
合并为同一个式子： n
A' s in
n
2a
x
a
0
x a x a
说明：
1，其中 A' 称为归一化常数。
2 dx
1
A' 1 a
2，束缚态：当x→∞时，ψn(x)→0，这种波函数描写的状态称 为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。
第7节 一维无限深势阱
本节目标：1，解最简单的定态薛定谔方程；2，理解系统能量不 连续化，即量子化现象；3，进一步理解波函数概念。
考虑一维空间中运动的粒子，质量为μ，其势能满足：
U
x
0
x a x a
一维无限深势阱
写出薛定谔方程：
阱内： 2 2
d 2
dx2
E
阱外：
由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数， 则：
i x
i y
i z
i t
——对应力学量的算符。
其他算符：
利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获 得所有的力学量算符。
例：动能的定义式：
T
p2
p
2 x
p
2 y
p
2 z
2m
单位体积内找到粒子的几率为：
dpr,t d
w(r, t )
|
p
r,t
|2
w(r,t)——几率密度函数。
第3节 态的迭加原理
态的迭加原理：如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加Φ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。 说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。 2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。
r,t p
Ae Aei
2
rn
t
i prEt
——自由粒子的波函数
说明：
1，用ψp(r,t)可以表示出粒子的ν和λ特征。这是一个猜想，其 有效性需要后面的推论来验证。
2，ψp(r,t)的物理意义，下一节介绍。
3，相关公式
2
n
2
则其归一化波函数为： r,t 1 r,t
N
1 N
——归一化常数
对波函数的说明：
1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化 波函数；
2：如Φ(r,t)为描述某一状态的波函数，则Φ(r,t)eiδ（其中δ为实常 数）描述同一状态。因为：
| r,tei |2 *ei ei * r,t 2
i
x
p
r
,
t
i
ipx
p
r
,
t
xp
类似的方法，可得到py和pz。
波函数ψp(r,t)对t求偏导，再乘以 iħ ，则：
E i
t
p
r
,
t
p
r,t
以上计算的共同点：计算过程
i x
i y
i z
i t
这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示 对函数的操作过程。
Hale Waihona Puke ,rN,t——多粒子系统的薛定谔方程
例：若已知ψp(x,t)满足
i p
2
2 p
t
2m x2
试证明任意波函数 r,t cp p r,td 3 p
也满足
i
t
2 2m
2 x 2
d 3 p dpxdpydpz
证明：
i
第六章 波函数和薛定谔方程
用波函数描述粒子的状态——量子力学的一个基本假设。
第1节 波函数和算符
经典理论：坐标，动量——轨道 量子理论：波函数——粒子具有波动的性质（ν和λ）
例：考虑自由粒子，E，p，德布罗意关系可算出频率和波长：
E
h
h p
猜想：可用具有波动性质的平面单色波来表示此粒子的状态：
2
半整数
从而得到：a n
2
1
代入
2E
2
2
n 1,2,
En
22n2 8a 2
n 1,2,
阱中的粒子，并不能取任意能量，只能取分立的En值；
而波函数：
对应于
B=0：
n
A s in
n
2a
x
0
n为偶数
x a x a
对比：质量守恒律
w t
J
0
w J 0 t
电荷守恒律
we t
Je
0
考虑到w的物理意义（w为物质在r处的密度）,则波函数必须满 足（波函数的标准条件）：
1，连续性：Ψ不能有跃变，否则会导致w不连续； 2，有限性：w=|Ψ|2才能为有限，满足几率密度的物理意义； 3，单值性：空间任一点r，只有一个w。则要求Ψ使w为单值。
考虑到波函数的连续性，在x=± a 处，ψ=0，即：
Asina Bcosa 0 Asina Bcosa 0
两式相加，得： Bcosa 0
两式相减，得： Asina 0
A,B不能同时等于0，否则得到平庸解ψ=0（无物理意义）
则：
A
0时，有cosa 0 a 整数 B 0时，有sina 0 整数
其中 eiδ 称为相因子。 3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率 是否相同。
波函数都归一化后，判断是否 1 2 2 2
练习：1，判断波函数Φ(r,t)和 - iΦ(r,t)是否描述同一状态？
| r,t|2 | ir,t|2
ir,
t
i
e
3 2
波函数为Ψ(r,t)，则粒子在dr出现的几率为：
w(r,t) r,t2 *r,tr,t
则几率随时间的变化率为：
wr,t * *
t
t t
Ψ和Ψ*分别满足薛定谔方程：
i 2 1 V r
t 2m
i
* i 2 * 1 V r *
r,0
2
e 3 2
i
p0
r
p0为已知动量矢量，求Ψ(r,t)。
解：p0对应能量为
E0
p02 2m
则设
(r,t)
Ae i
p0
r
E0t
代入t=0时的波函数，确定
A
2
3 2
第4节 薛定谔方程
问题：如何确定任意一个系统的波函数？
要找到一个作用在Ψ(r,t)上的普遍方程——薛定谔方程。
2
2
d 2
dx2
U 0
E
U0
经分析知，在阱外，只有ψ=0，薛定谔方程才成立，则只需求解 阱内方程。
1
引入符号：
2E
2
2
阱内薛定谔方程可简写为：
d 2
dx2
2
0
x a
二阶常系数常微分方程，其形式解为：
Asinx Bcosx x a
薛定谔方程：
考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：
E p2 V r,t
2m
对应的算符为：H 2 2 V r,t
2m
i Hˆ t
——薛定谔方程
对薛定谔方程的说明：
1，1926年最早由薛定谔提出；
2，是量子力学的另一个基本假设； 3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出；
只含有r的部分：
2 2m
2
V
r
r
E
r
定态薛定谔方程
说明：1，该方程中的ψ(r)表示粒子能量为E的态。能量E不变 的态，称为定态。
2，定态时粒子的宏观状态（几率密度w，几率流密度J）不随 时间改变。
w(r,t) r,t2 (r) 2
t
f
t
2 2 2m
V r,t r
把只含r，t的部分分别放在等式两边，则：
i f t
f t t
2 2m
2 V r
r
r
E
只含有t的部分：i df t Ef t
dt
i Et
J i * * i * *
2m
2m
定义：哈密顿算符
H
2
2
V r
2m
则定态薛定谔方程可以写成：H E
数学上，如果算符作用在函数上，等于某常数乘以该函数，即：
F
——本征方程，或特征方程，或固有方程。
λ称为本征值或特征值，φ称为本征函数或特征函数。由此：定 态薛定谔方程归结为一个本征值问题。
r, t
t
i
t
c p
p r,td 3 p
ic p p r,t d 3 p
t
c
p
2 2m
2
p
r,
t
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p
2 2m
2
c
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r
,
t
d
3
p
2 2r,t
2m
第5节 粒子流密度和粒子数守恒定律
解释：粒子的波函数ψp(r,t)，通常为复数，其强度为 |ψp(r,t)|2=ψp*(r,t)ψp(r,t)，为非负实数。在空间体积元dτ=dxdydz中， 找到粒子的概率与|ψp(r,t)|2成正比，与体积元dτ成正比：
dpr,t k | p r,t|2 d 取比例系数k=1 | p r,t|2 d
h
pn
p
h
2
2
2
E h
E
4，将由ψp(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础， 进而确定粒子的全部微观性质。
问题：自由粒子的波函数ψp(r,t)如何得到力学量？
波函数ψp(r,t)对x求偏导，再乘以 -iħ ，则：
p r,t
4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。
5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。
r1, r2 ,, rN ,t ——多粒子系统的波函数
i
t
r1, r2 ,, rN
,t
i
2 2mi
2 i
V
r1, r2
,, rN
, t r1 , r2
t 2m
i
wr,t i *2 2 * i * *
t 2m
2m
J
其中令：J i * *
2m
说明：
1，w(r,t)为物质在r处的密度，J(r,t)则是该处物质的流。
2，物质在空间任一处的粒子数守恒律
3，基态：当n=1，给出能量En最低的态称为基态（对于谐振子， n=0给出基态，详见下一节。）
4，考虑波函数中含有t的部分，则一维无限深势阱的波函数为：
n
x,t
n
x
e
i
Ent
r,
t
2：设波函数为Ψ(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几 率。
解：如Ψ(x,y,z,t)已归一化，则几率为：P'
dy
dz 2 dx
如未归一化，则几率为：
P
P' 2 dxdydz
3:已知t=0时自由粒子的波函数为：
T
p
r,t
2 — 拉普拉斯算符
说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。
2，任一算符与其对应力学量的关系为：A p r,t A p r,t
第2节 波函数的统计解释
因为粒子具有波粒二象性——引入波函数。波恩对波函数做 出如下解释：
根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。
第6节 定态薛定谔方程
考虑定态的情形，即：势能V(r,t)与时间t无关，可以写成V(r)的 形式，可以使用分离变量法简化薛定谔方程。设波函数Ψ(r,t)= ψ(r)f(t)，分为分别只和r，t有关的部分，则：
i
t
2 2m
2
V
r
i rf t
2m
动能算符：
T
1 2m
i
x
2
i
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2
i
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2
2 2m
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2 2 2m
则有：
2 2m
2
p
r,t
归一化波函数：
在全空间任一粒子出现几率为1，则：
r,t 2 d 1 ——归一化条件
dτ为空间体积元，3维情况下dτ=dxdydz（与相体积元区别）。
满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能
用上式归一化，例如前面介绍的
p
(r,t)
i
Ae
pr
Et
例：对于波函数Φ(r,t)，如果有 r,t 2 d N
对应于
A=0：
n
B cos n
2a
x
0
n为奇数
x a x a
合并为同一个式子： n
A' s in
n
2a
x
a
0
x a x a
说明：
1，其中 A' 称为归一化常数。
2 dx
1
A' 1 a
2，束缚态：当x→∞时，ψn(x)→0，这种波函数描写的状态称 为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。
第7节 一维无限深势阱
本节目标：1，解最简单的定态薛定谔方程；2，理解系统能量不 连续化，即量子化现象；3，进一步理解波函数概念。
考虑一维空间中运动的粒子，质量为μ，其势能满足：
U
x
0
x a x a
一维无限深势阱
写出薛定谔方程：
阱内： 2 2
d 2
dx2
E
阱外：
由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数， 则：
i x
i y
i z
i t
——对应力学量的算符。
其他算符：
利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获 得所有的力学量算符。
例：动能的定义式：
T
p2
p
2 x
p
2 y
p
2 z
2m
单位体积内找到粒子的几率为：
dpr,t d
w(r, t )
|
p
r,t
|2
w(r,t)——几率密度函数。
第3节 态的迭加原理
态的迭加原理：如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加Φ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。 说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。 2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。
r,t p
Ae Aei
2
rn
t
i prEt
——自由粒子的波函数
说明：
1，用ψp(r,t)可以表示出粒子的ν和λ特征。这是一个猜想，其 有效性需要后面的推论来验证。
2，ψp(r,t)的物理意义，下一节介绍。
3，相关公式
2
n
2
则其归一化波函数为： r,t 1 r,t
N
1 N
——归一化常数
对波函数的说明：
1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化 波函数；
2：如Φ(r,t)为描述某一状态的波函数，则Φ(r,t)eiδ（其中δ为实常 数）描述同一状态。因为：
| r,tei |2 *ei ei * r,t 2
i
x
p
r
,
t
i
ipx
p
r
,
t
xp
类似的方法，可得到py和pz。
波函数ψp(r,t)对t求偏导，再乘以 iħ ，则：
E i
t
p
r
,
t
p
r,t
以上计算的共同点：计算过程
i x
i y
i z
i t
这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示 对函数的操作过程。
Hale Waihona Puke ,rN,t——多粒子系统的薛定谔方程
例：若已知ψp(x,t)满足
i p
2
2 p
t
2m x2
试证明任意波函数 r,t cp p r,td 3 p
也满足
i
t
2 2m
2 x 2
d 3 p dpxdpydpz
证明：
i
第六章 波函数和薛定谔方程
用波函数描述粒子的状态——量子力学的一个基本假设。
第1节 波函数和算符
经典理论：坐标，动量——轨道 量子理论：波函数——粒子具有波动的性质（ν和λ）
例：考虑自由粒子，E，p，德布罗意关系可算出频率和波长：
E
h
h p
猜想：可用具有波动性质的平面单色波来表示此粒子的状态：
2
半整数
从而得到：a n
2
1
代入
2E
2
2
n 1,2,
En
22n2 8a 2
n 1,2,
阱中的粒子，并不能取任意能量，只能取分立的En值；
而波函数：
对应于
B=0：
n
A s in
n
2a
x
0
n为偶数
x a x a
对比：质量守恒律
w t
J
0
w J 0 t
电荷守恒律
we t
Je
0
考虑到w的物理意义（w为物质在r处的密度）,则波函数必须满 足（波函数的标准条件）：
1，连续性：Ψ不能有跃变，否则会导致w不连续； 2，有限性：w=|Ψ|2才能为有限，满足几率密度的物理意义； 3，单值性：空间任一点r，只有一个w。则要求Ψ使w为单值。
考虑到波函数的连续性，在x=± a 处，ψ=0，即：
Asina Bcosa 0 Asina Bcosa 0
两式相加，得： Bcosa 0
两式相减，得： Asina 0
A,B不能同时等于0，否则得到平庸解ψ=0（无物理意义）
则：
A
0时，有cosa 0 a 整数 B 0时，有sina 0 整数
其中 eiδ 称为相因子。 3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率 是否相同。
波函数都归一化后，判断是否 1 2 2 2
练习：1，判断波函数Φ(r,t)和 - iΦ(r,t)是否描述同一状态？
| r,t|2 | ir,t|2
ir,
t
i
e
3 2
波函数为Ψ(r,t)，则粒子在dr出现的几率为：
w(r,t) r,t2 *r,tr,t
则几率随时间的变化率为：
wr,t * *
t
t t
Ψ和Ψ*分别满足薛定谔方程：
i 2 1 V r
t 2m
i
* i 2 * 1 V r *
r,0
2
e 3 2
i
p0
r
p0为已知动量矢量，求Ψ(r,t)。
解：p0对应能量为
E0
p02 2m
则设
(r,t)
Ae i
p0
r
E0t
代入t=0时的波函数，确定
A
2
3 2
第4节 薛定谔方程
问题：如何确定任意一个系统的波函数？
要找到一个作用在Ψ(r,t)上的普遍方程——薛定谔方程。
2
2
d 2
dx2
U 0
E
U0
经分析知，在阱外，只有ψ=0，薛定谔方程才成立，则只需求解 阱内方程。
1
引入符号：
2E
2
2
阱内薛定谔方程可简写为：
d 2
dx2
2
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x a
二阶常系数常微分方程，其形式解为：
Asinx Bcosx x a
薛定谔方程：
考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：
E p2 V r,t
2m
对应的算符为：H 2 2 V r,t
2m
i Hˆ t
——薛定谔方程
对薛定谔方程的说明：
1，1926年最早由薛定谔提出；
2，是量子力学的另一个基本假设； 3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出；