高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题N 选修4系列 文

高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题N 选修4系列
文
N1 选修4-1 几何证明选讲
22．N1[2012·辽宁卷]
如图1－8，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：
(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .
22．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得 ∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，
所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD
， 即AC ·BD ＝AD ·AB .
(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得 ∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而
AE AB ＝AD BD
， 即AE ·BD ＝AD ·AB .
结合(1)的结论，得AC ＝AE .
22．N1[2012·课标全国卷]如图1－5，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：
(1)CD ＝BC ；
(2)△BCD ∽△GBD .
22．证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以DE ∥BC .
又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .
因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故
(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .
而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .
12．N1[2012·全国卷] 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝1
3
.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于
入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．3 12．B [解析] 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P 的位置．
结合点E 、F 的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点P 回到E 点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.
15．N1[2012·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.
图1－3
15.mn [解析] 本题考查弦切角定理以及三角形相似知识，解决本题的突破口是利用弦切角定理得到∠PBA ＝∠ACB ，再利用三角形相似求出．因为PB 是圆的切线，所以∠PBA ＝∠ACB .又因为∠PBA ＝∠DBA ，所以∠DBA ＝∠ACB .又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AB AC ＝AD AB
，所以AB 2
＝AD ×AC ＝mn ，所以AB ＝mn .
21 A ．N1 [2012·江苏卷]如图1－7，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .
求证：∠E ＝∠C .
21A.证明：如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .
因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，
故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .
15 B. N1[2012·陕西卷]如图1－6，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝
________.
图1－6
15B ：5 [解析] 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射
影定理．连接AD ，在Rt △ABD 中，DE ⊥AB ，所以DE 2
＝AE ×EB ＝5，在Rt △EBD 中，EF ⊥DB ，
所以DE 2
＝DF ×DB ＝5.
13．N1[2012·天津卷] 如图1－3所示，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF
＝3，FB ＝1，EF ＝3
2
，则线段CD 的长为________．
13.4
3
[解析] 由相交弦的性质可得AF ×FB ＝EF ×FC ， ∴FC ＝AF ×FB EF ＝3×13
2
＝2，
又∵FC ∥BD ，∴AC AD ＝FC BD ＝AF AB ＝34，即BD ＝8
3
，
由切割线定理得BD 2＝DA ×DC ＝4DC 2
，解之得DC ＝43
.
N2 选修4-2 矩阵
21 B ．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A 的逆矩阵A －1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－14
3412 －12，求矩阵A 的特征值．
21 B ．解：因为A
－1
A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.
因为A －1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－1434
12
－12，所以A ＝(A －1)－1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
32
1，
于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2
－3λ－4.
令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
sin x 2－1 cos x 的最小正周期是________．
3．π [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．
f (x )＝sin x cos x ＋2＝12sin2x ＋2，由三角函数周期公式得，T ＝2π
2
＝π.
N3 选修4-4 参数与参数方程
23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2
＋y 2
＝4，圆C 2：(x －2)2
＋y 2
＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解⎩⎪⎨
⎪
⎧
ρ＝2，ρ＝4cos θ
得ρ＝2，θ＝±π
3
，
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.
注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一) 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.
(或参数方程写成⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝y ，
－3≤y ≤3)
(解法二)
在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为 x ＝1(－3≤y ≤3)．
将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，
从而ρ＝1
cos θ
.
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝tan θ，
－π3≤θ≤π
3
. 23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos φ，y ＝3sin φ
(φ为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形
ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2
的取值范围． 23．解：(1)由已知可得
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，
C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，
D ⎝
⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，
即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．
(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2
，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16
＝32＋20sin 2
φ.
因为0≤sin 2
φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．
21 C ．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ－π3
＝－
3
2
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 21C ．解：在ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝
2
2
＋12
－2×1×2cos π4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
10．N3[2012·湖南卷] 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.
10.2
2
[解析] 本题考查直线与圆的极坐标方程，具体的解题思路和过程：把直线与
圆的极坐标方程转化为普通方程，求出直线与坐标轴的交点代入圆方程求解．
直线方程为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，0，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2
，把交点
⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入得⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＋02＝a 2
，又a >0，所以a ＝22. [易错点] 本题易错一：不会转化，无法把极坐标方程转化为普通方程；易错二：直线与圆的交点实为直线与x 轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．
14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1
和C 2的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θy ＝5sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2
2t
y ＝－2
2
t (t
为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
14．(2,1) [解析] 利用方程思想解决，C 1化为一般方程为：x 2＋y 2
＝5，C 2化为直角坐标方程为：y ＝x －1，联立方程组得：⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝x －1，x 2
＋y 2
＝5，
即x 2
－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝
2.又由C 1中θ的取值范围可知，交点在第一象限，所以交点为(2,1)．
15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15C ： 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角
坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2
＝2x ②，联
立①②得y ＝±3
2
，所以弦长为 3.
N4 选修4-5 不等式选讲
15 A ．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．
15．A ：－2≤a ≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.||x －a ＋||x －1≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.
24．N4[2012·辽宁卷]已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值； (2)若⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．
24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．
当a >0时，－4a ≤x ≤2
a
，得
a ＝2.
(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， x ≤－1，
－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－1
2
，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
21 D ．N4 [2012·江苏卷]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜1
6，求证：|y |
＜5
18
. 21D ．证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，
由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝5
6
，
所以|y |<5
18
.
24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．
24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2<x <3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |
⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
N5 选修4-7 优选法与试验设计
11．N5[2012·湖南卷] 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29℃～63℃，精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．
11．7 [解析] 本题考查优选法中的分数法，以及对斐波那契数列的了解，意在考查考生在分数法中寻找最佳点的次数．具体的解题思路和过程：先由区间的间距，确定等分区间的份数，再对应斐波那契数列找出对应的次数．
试验范围定为29℃～63℃ ，间距是63－29＝34，故应分成34份，刚好对应斐波那契数列的F 8＝34，所以保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为8－1＝7.
[易错点] 本题易错一：对分数法的等分份数不理解，导致无法等分；易错二：对斐波那契数列的不了解，导致无法找到对应的点，求不出要做的试验次数．
2012模拟题
1．[2012·郑州模拟] 如图Z7－1，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．
(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆； (2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．
1．解：(1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ， 得IE ⊥AE ，
结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°. 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．
(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆， 得∠IEH ＝∠HAI ， 在△HIA 中，
∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠B ＋12∠A ＝12(∠B ＋∠A )＝12(180°－∠C )＝90°－1
2
∠C .
结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝1
2
∠C ，
所以∠IEH ＝1
2
∠C ，
由∠C ＝50°，得∠IEH ＝25°.
2．[2012·辽宁两校联考] 如图Z7－2，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD .
(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；
(2)若tan ∠CED ＝1
2
，⊙O 的半径为3，求OA 的长．
2．解：(1)证明：连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ， ∴OC ⊥AB ，又∵OC 是圆的半径，∴AB 是圆的切线． (2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°. ∴∠EDC ＋∠E ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠ODC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ，
∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BD BC ＝CD EC ⇒BC 2
＝BD ·BE ，
又tan ∠CED ＝CD EC ＝12，∴BD BC ＝CD EC ＝1
2
.
设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2
＝BD ·BE ，
∴(2x )2
＝x (x ＋6)，∴BD ＝2， ∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.
3．[2012·唐山一模] 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐
标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎝
⎛
x ＝12
＋t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数，
0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ
sin 2
θ
. (1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．
3．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2
θ
，得(ρsin θ)2
＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝2x .
(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2
α－2t cos α－1＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则
t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1
sin 2
α
， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝
t 1＋t 2
2
－4t 1t 2＝
4cos 2
αsin 4
α＋4sin 2α＝2
sin 2α
， 当α＝π
2时，|AB |的最小值为2.
4．[2012·辽宁两校联考] 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数
方程是
⎝ ⎛
x ＝－35t ＋2，y ＝45
t (t 为参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN |的最大值．
4．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为：ρ2
＝2ρsin θ，
又x 2＋y 2＝ρ2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. 所以，曲线C 的直角坐标方程为： x 2＋y 2－2y ＝0.
(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：
y ＝－4
3
(x －2)，
令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)， 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)， 半径r ＝1，则|MC |＝5，
∴|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.∴|MN |的最大值为5＋1.
5．[2012·唐山一模] 设f (x )＝2|x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤7的解集S ：
(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．
5．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ＋3，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，
x －3，x >0，
如图，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点，
由此得S ＝[－4,10]．
(2)由(1)知，f (x )的最小值为－3，
则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0,3]．
6．已知函数f (x )＝|x －a |－2|x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝3时，求函数f (x )的最大值； (2)解关于x 的不等式f (x )≥0.
6．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1x ≤1，－3x ＋51<x <3，
－x －1x ≥3，
所以，当x ＝1时，函数f (x )取得最大值2.
(2)由f (x )≥0得|x －a |≥2|x －1|，
两边平方得：(x －a )2≥4(x －1)2
，
即3x 2＋2(a －4)x ＋4－a 2
≤0， 得[x －(2－a )][3x －(2＋a )]≤0.
所以，①当a >1时，不等式的解集为⎝
⎛⎭
⎪⎫
2－a ，a ＋23； ②当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}；
③当a <1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋23，2－a .。