刚体的转动

r r r L = r × mv = 恒矢量
r r r M = r ×F = 0
(1) F = 0 (2) F // r
(如有心力 如有心力) 如有心力
R O θ •A •B
如图所示,一半径为 例1.如图所示 一半径为 的光滑圆环置于 如图所示 一半径为R的光滑圆环置于 竖直平面内, 有一质量为m的小球穿在圆 竖直平面内 有一质量为 的小球穿在圆 环上, 并可在圆环上滑动. 环上 并可在圆环上滑动 小球开始静止 于圆环上的A点 该点通过环心 该点通过环心O的水平 于圆环上的 点(该点通过环心 的水平 面上), 然后从点A开始下滑 开始下滑.设小球与圆 面上 然后从点 开始下滑 设小球与圆 环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 求小球滑到点B时 环间的摩擦略去不计 求小球滑到点 时 对环心O的角动量和角速度 的角动量和角速度. 对环心 的角动量和角速度
2 质点系对轴的角动量定理
质元 i 对 z 轴的角动量 Li =∆mi vi ri =∆mi ri2ω (方向沿 轴) 方向沿z轴 方向沿 所有质元对z轴的角动量为 所有质元对 轴的角动量为
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z
O
ri • ∆ mi
L = ∑Li = ∑∆m r ω = Iω
2 i i
vi
其中
I = ∑∆mi ri2 称为转动惯量
L = Lxi + Ly j + Lz k
1、力矩 、 若外力F 作用在平面内某点P 若外力 作用在平面内某点
2.5.2 质点的角动量定理
O d
F 使物体产生转动,转点为 使物体产生转动 转点为O 转点为 OP = r , 力臂为 F对O点的 力臂为d. 对 点的 力矩为: 力矩为 M = Fd = Fr sinϕ 力矩的矢量表示: 力矩的矢量表示:
1 2 θ = θ0 + ω0t + β t 2 2 2 ω = ω0 + 2β (θ −θ0 )
r ω
•P
与质点匀变速直线运动类似. 与质点匀变速直线运动类似
考虑 v , r , ω 都是矢量
P的切向加速度 的切向加速度 dv dω at = = r = rβ
dt dt
矢量关系式
r r r v =ω ×r
得:
2π ω = 18000 × = 600πrad ⋅ s-1 60 2ω 2 × 600π π ∴ C= 2 = = 2 75 t 300
由条件 t=300s 时
1 ω = Ct 2 2
0
0
θ
积分 得
∫ dθ =
0
π
t
150 0
t 2dt ∫
θ=
π
450
t3
在0~300s内,转过的转数 内
θ π N= = × 3002 2π 2π × 450
§2.5 角动量 角动量守恒定律 2.5.1 质点的角动量 定义: 质点m对点 对点O的角动量 定义 质点 对点 的角动量 r
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大小: 大小 L = mvr sinϕ 方向为右手关系 ϕ 方向为右手关系. O 2·s-1 单位: 单位 kg·m x 在直角坐标中 r 强调: 强调 r r r
i
由角动量定理
dLi d Mi = = (∆mi ri2ω) dt dt 那么,对所有质元求和 对所有质元求和: 那么 对所有质元求和 ∑Mi = ∑Mi外 + ∑Mi内 = ∑Mi外
故
d M = ∑Mi外 = (∑Li ) = d (Iω) = dLz dt dt dt
即质点系对轴的角动量定理
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r • P ϕ
F
r r r M = r ×F
其大小为 M = Frsinϕ 方向满足右手法则 在直角坐标系中
r r r r M = Mxi + My j + Mz k 其中
力矩的单位: 牛顿米.符号 符号:N·m 力矩的单位 牛顿米 符号
Mx = yFz − zFy My = zFx − xFz Mz = xFy − yFx
d r r r r r r 对i 求和 ∑(ri × F外) + ∑∑ri × fij = ∑(ri × mvi ) i i dt
可证明，一对内力对任一点的力矩矢量和为零， 可证明，一对内力对任一点的力矩矢量和为零，而 内力以成对出现，故上式第二项为零。 内力以成对出现，故上式第二项为零。 d r r r r ∑ri × Fi外 = dt ∑(ri ×mvi ) 于是有 i 即作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量 对时间的变化率,这就是质点系对固定点的角动量定理 这就是质点系对固定点的角动量定理. 对时间的变化率 这就是质点系对固定点的角动量定理
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•刚体：在外力作用下形状和大小不发 刚体： 刚体 生变化的物体. 生变化的物体 •刚体的平动 当刚体运动时 刚体中所有 刚体的平动:当刚体运动时 刚体的平动 当刚体运动时,刚体中所有 点的运动轨迹完全相同.或说刚体内任意 点的运动轨迹完全相同 或说刚体内任意 一条直线总是平行运动. 一条直线总是平行运动 •刚体的转动：刚体中所有的点都绕同 刚体的转动： 刚体的转动 一直线作圆周运动. 一直线作圆周运动 •刚体的定轴转动：刚体绕固定轴的转动。 刚体的定轴转动： 固定轴的 刚体的定轴转动 刚体绕固定轴 转动。
o
r •P θ x ω ω>0
方向用右手法则确定. 角速度矢量 ω 方向用右手法则确定 刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向 只需用正负来表示方向. 刚体定轴转动时 只需用正负来表示方向
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3.角加速度 角加速度 ω1 ω2 dω 定义角加速度为: 定义角加速度为 β= dt 单位: 单位 rad·s-2 也可引入角加速度矢量 β ω1 ω2 定轴转动时其方向只需用正负表示. 定轴转动时其方向只需用正负表示 β >0 β >0时, 刚体作加速转动 反之减速 ω2 > ω1 时 刚体作加速转动. 反之减速. 4.匀变速转动公式 4.匀变速转动公式 5.角量与线量的关系 角量与线量的关系 为常量时有: 当β为常量时有 对点P有 对点 有 ω v ω = ω0 + β t v = rω
例1.续 续
受力分析如下. 解:受力分析如下 受力分析如下 小球受重力P,支持力 支持力T 小球受重力 支持力 作用 方向向里) 重力矩为: 重力矩为 M = mgR cosθ (方向向里 θ 方向向里
R O θ •A •B
r r dL dL mgRcosθ = 由 M= 有 dt dt dθ dθ mR2 又 ω= L = mR2ω dθ ∴dt = = ω L dt
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2.6.1 描述刚体转动的物理量 对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进行 研究. 点P(r,θ)的转动可代表整个刚体的转动 研究 的转动可代表整个刚体的转动. θ 的转动可代表整个刚体的转动 描述点P转动的物理量为 描述点 转动的物理量为: 转动的物理量为 1. 角坐标 θ(t) 一般规定逆时针转动为正. 一般规定逆时针转动为正. 2.角速度 角速度 dθ 定义: 定义 ω = 单位: dt 单位 rad/s 一般规定逆时针转动时 ω > 0 顺时针转动时 ω < 0
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关于外力矩的两点说明 1. 多个外力作用于质点系上。 多个外力作用于质点系上。 r r r r M = M1 + M2 +L+ Mn 如果是定轴转动: 如果是定轴转动
F3 r F1 F2
M = M1 + M2 +L+ Mn
是各分力产生的力矩的代数和. 是各分力产生的力矩的代数和 2. 一对内力对任意点的力矩 一对内力对任意点的力矩. 由于成对内力大小相等,方向相反 由于成对内力大小相等 方向相反 则其力臂必相同.故力矩大小相等 故力矩大小相等. 则其力臂必相同 故力矩大小相等
法向加速度 an = rω2
例1.
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一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时它的角 一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动 开始时它的角 速度ω 经过300秒后 角速度ω 秒后,角速度 已知其角加速度β 速度ω0=0,经过 秒后 角速度ω=18000转/分.已知其角加速度β与 经过 转 分 已知其角加速度 时间成正比.问在这段时间内 转子转过多少转? 问在这段时间内,转子转过多少转 时间成正比 问在这段时间内 转子转过多少转 dθ dω 解: 已知 β = Ct 即: = Ct 再由 再由: ω = dt dt π 2 或 dω = Ctdt dθ = ω dt = t dt t ω 150 积分: 积分 ∫ dω = C∫ tdt
k(l − l0 )2 m2 2 v2 = v0 − (m + M)2 m+ M
1 1 1 2 2 (m + M)v1 = (m + M)v2 + k(l − l0 )2 mv0
2 l m2v0 − k(l − l0 )(m + M)
θ = arcsin
2.6 刚体的定轴转动
角速度为
ω=
π
150
t2
= 3×104 转 ×
2.6.2 质点系的角动量定理
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1. 质点系对固定点的角动量定理 r r 设质点系有n个质点 个质点， 个质点受力为 设质点系有 个质点，第i个质点受力为 Fi外 + ∑ fij r d r r r r ri ×(Fi外 + ∑ fij ) = (ri × mvi ) 由质点的角动量定理 i dt
故
L
LdL = m gR cosθdθ
2 3
2 3
O T
由条件: 由条件 t=0, θ0= 0, L0= 0
θ
θ •
•A
1 2 L = m2 gR3 sinθ LdL = m gR ∫ cosθdθ ∫ v 2 0 0 1/ 2 2g 1 2 4 2 2 3 得 ω = sinθ 或 m R ω = m gR sinθ 2 R
P
用牛顿定律也能方便解出同一结果. 用牛顿定律也能方便解出同一结果
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例2
P60
O
如图， 如图，子弹击中木块并 嵌在木块内运动。 嵌在木块内运动。 击中瞬间， 解：击中瞬间，v0方向 动量守恒
l
B
θ
v2
v0
m
l0
A M
v1
mv0 = (m + M)v1
A→B过程，子弹、木块系统机械能守恒 → 过程 子弹、 过程， A→B过程，水平面内角动量守恒 → 过程 过程， l0 (m + M)v1 = l(m + M)v2 sinθ
r r r r L = r × p = mr × v
z r d
v ϕ •m
y
(1) L 是矢量 是矢量. (2) 质点的角动量是对参考 Lx = ypz − zpy 而言的. 点O而言的 而言的 其中 L = zp − xp y x z (3)其大小可以表达为 mvd 其大小可以表达为 Lz = xpy − ypx 特例 质点在平面上作圆周运动 特例:质点在平面上作圆周运动 质点对圆心O的角动量大小为 质点对圆心 的角动量大小为 L = rmv = m r2ω
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3. 质点的角动量守恒
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若 M = 0, 则 即当质点所受对参考点O的合力矩为零时 的合力矩为零时,质点对该参考 即当质点所受对参考点 的合力矩为零时 质点对该参考 的角动量为一恒矢量.——质点的角动量守恒定律 质点的角动量守恒定律 点O的角动量为一恒矢量 的角动量为一恒矢量 质点的 注意： 注意：
r 2. 质点的角动量定理 r dL M= 设质量为m的质点 在合力F 的质点,在合力 设质量为 的质点 在合力 故 dt 的作用下,其运动方程为 的作用下 其运动方程为 r r d(mv ) 作用于质点的合力对参考点O 作用于质点的合力对参考点 F= dt 的力矩,等于质点对该点 等于质点对该点O的角 的力矩 等于质点对该点 的角 用r 叉乘上式两边 动量对时间的变化率. 动量对时间的变化率r r r r d r r r × F = r × (mv ) 上式还可写为 Mdt = dL dt 由于 r M dt 叫冲量矩 d r r v r d r dr (r × mv) = r × (mv) + × mv 积分形式 积分形式: t2 r dt dt dt r r r dr r r r ∫ Mdt = L2 − L1 ×v = v ×v = 0 且 t1 dt r d r r r 质点所受的冲量矩等于 则 r × F = (r × mv ) dt 质点角动量的增量. r r r r r r 质点角动量的增量 而 M = r × F L = r × mv ——质点的角动量定理 质点的角动量定理