上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

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上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期
中数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ） A.4
x x
+
的最小值是4 +
的最小值是2
C.如果a b >，c d >，那么a c b d ->-
D.如果22ac bc >，那么a b >
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】
选项A 中，若0x <，则无最小值，所以错误； 选项B 中，2
t ≥，则函数y =1
y t t
=+，在
[)2,+∞上单调递增，所以最小值为
5
2
，所以错误； 选项C 中，若,a c b d ==，则a c b d -=-，所以错误；
选项D 中，如果22ac bc >，则0c ≠，所以20c >，所以可得a b >. 故选：D.
试卷第2页，总18页
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
【点睛】
本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.
2．设甲为“05x <<”，乙为“|2|3x -<”，那么甲是乙的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分
C.充要
D.既非充分又非必
要 【答案】A 【解析】 【分析】
对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案. 【详解】
命题乙：|2|3x -<，解得15x -<<； 命题甲：05x <<；
显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，
故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲， 所以甲是乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题.
3．非空集合A 、B 满足，A B =∅I ，{|}P x x A =⊆，{|Q x x =}B ，则下列关
系一定成立的是（ ） A.A B P Q =U U B.P Q =∅I
C.{}P Q =∅I
D.A B
U P Q U
【答案】B 【解析】 【分析】
根据集合P 是集合A 的子集所构成的集合，集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合，以及非空集合A 、B 满足A B =∅I ，从而可以得到集合P 与集合Q 没有相同元素，从而得到答案. 【详解】
因为{|}P x x A =⊆，{|Q x x
=}B
所以可得集合P 是集合A 的子集所构成的集合， 集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合 而非空集合A 、B 满足，A B =∅I ， 可知集合A 与集合B 中没有相同元素， 则其各自的子集或真子集也不会由相同的集合， 所以可得P Q =∅I ， 故选：B. 【点睛】
本题考查元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，属于简单题. 4．已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ） A.()()f x f x =- B.(1)(1)f x f x +=-+ C.(1)(1)f x f x +=-- D.(1)()f x f x -+=
【答案】B 【解析】 【分析】
函数(1)y f x =+为偶函数，可得函数()y f x =的图像关于1x =对称，在四个选项中选择能表示函数()y f x =的图像关于1x =对称的，得到答案. 【详解】
函数(1)y f x =+为偶函数，
可得()y f x =的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称， 所以()y f x =的图像关于1x =对称，
在所给四个选项中，只有选项B. (1)(1)f x f x +=-+也表示()y f x =的图像关于
1x =对称，
故选：B. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.
试卷第4页，总18页
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
5．函数y =
的定义域为 . 【答案】()0,+∞ 【解析】
试题分析：函数y =
的定义域为0{0x x ≥≠所以0x >
考点：函数定义域的求法．
6．已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =I ________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】
对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】
集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ， 而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2) 【点睛】
本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 7．当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】
根据基本不等式，求出当0x >时，函数1
()2f x x x
-=+≥，得到答案.
【详解】 因为0x >，
所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1
()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】
本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.
8．设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，
{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__ 【答案】{5} 【解析】 【分析】
先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】
集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =--- 集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，
集合{}
{}2
|21503,5A x x x =--==-,
所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5. 【点睛】
本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.
9．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________
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【答案】{0,1,2}- 【解析】 【分析】
由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分为B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案. 【详解】
因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，
当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
所以有
2
2a =-或21a
=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}- 【点睛】
本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.
10．满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16 【解析】 【分析】
先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案. 【详解】
因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ， 所以可得集合A 中一定有元素9，
所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16.
故答案为：16. 【点睛】
本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.
11．已知不等式2202x x x a
+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是
________ 【答案】3
[,1)2
-- 【解析】 【分析】
由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围. 【详解】
因为不等式2202x x
x a
+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，
所以可得代入2x =，不等式成立，
即2022222a
≤+⨯+，解得1a <-，
代入3x =，不等式不成立，
即2323
032a
+⨯>+，解得32a >-，
且当3
2
a =-
时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫
-
-⎪⎢⎣⎭
， 故答案为：3,12⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题. 12．若函数()f x =a 的取值范围为
________ 【答案】1a >
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【解析】 【分析】
首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案. 【详解】 由函数()
f x =
0a ≥，
函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，
22
10
0x a x ⎧-
≥⎨-≥⎩，解得11
x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
或 1≥，即1a ≥ 当1a =时，函数
()0f x =。

此时()f x 既是奇函数，又是偶函数，不符合题意， 所以可得1a >，
此时函数()f x 定义域为(1⎤⎡-⎦⎣U ，
()()()f x f x f x -==≠-，
故()f x 为偶函数且非奇函数. 所以a 的取值范围为1a >. 故答案为：1a >. 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求参数的范围，属于简单题.
13．已知a 、b 是常数，且0ab ≠，若函数3()3f x ax =++的最大值为10，则()f x 的最小值为_____ 【答案】4- 【解析】 【分析】
设函数()()3g x f x =-，则可得到()g x 为奇函数，且()max 7g x =，从而得到
()min 7g x =-，从而得到()min 4f x =-.
【详解】
函数3()3f x ax =+，
设()()33g x f x ax =-=+，其定义域[1,1]-， 则()()3g x ax g x -=--=- 所以()g x 为奇函数，
可得()g x 的最大值点和最小值点关于原点对称，
()()max max 31037g x f x =-=-=，
所以()()min max 7g x g x =-=-， 所以()()min min 3734f x g x =+=-+=-. 故答案为：4-. 【点睛】
本题考查利用函数奇偶性的性质求函数的最值，属于中档题. 14．设正实数a 、b 满足324a ab b ++=，那么
1
ab
的最小值为________ 【答案】
112
【解析】 【分析】
由324a ab b ++=，可得243ab a b -=+≥ab 的范围，进而得到答案. 【详解】
因为324a ab b ++=，
所以243ab a b -=+≥当且仅当3a b =时，即2,6a b ==时，等号成立. 整理得
2
024≤+，
解得≤≤-，所以0≤<
即120ab ≤<，
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所以可得
1112
ab ≥. 故答案为：112
. 【点睛】
本题考查基本不等式求和的最小值，解二次不等式，属于中档题.
15．已知函数()2()04
30
x a x f x x a x x ⎧-≤⎪
=⎨++⎪⎩
，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[0，4] 【解析】 【分析】
若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2
为减函数，当x ＞0时，函数f （x ）4
3x a x
=++的最小值4+3a ≥f （0），进而得到实数a 的取值范围． 【详解】
若f （0）为f （x ）的最小值，
则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2
为减函数， 则a ≥0，
当x ＞0时，函数f （x ）4
3x a x
=++的最小值4+3a ≥f （0）， 即4+3a ≥a 2， 解得：﹣1≤a ≤4，
综上所述实数a 的取值范围是[0，4]， 故答案为：[0，4] 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．
16．若方程22(4)20ax a x --+=在(0,2)内恰有一解，则实数a 的取值范围为________ 【答案】(3,1]- 【解析】 【分析】
当0a =时，判断是否符合题意，当0a ≠时，设()22
(4)2f x ax a x =--+，可知
()020f =>，则要求()20f <，从而得到关于a 的不等式，解得a 的范围，再单独
研究当()20f =时的a 的值是否满足题意，从而得到答案. 【详解】
当0a =时，方程为420x -+=，解得()1
0,22
x =
∈，满足题意； 当0a ≠时，设()22
(4)2f x ax a x =--+
则()020f =>
要使函数()f x 在()0,2内恰有一个零点，则需满足()20f < 即(
)2
42420a a
--+<，
解得31a -<<，
当()20f =时，解得3a =-或1a =，
当3a =-时，()2
352f x x x =-++，零点为2,1x x ==-，不满足题意，
当1a =时，()2
32f x x x =-+，零点为1,2x x ==，其中()10,2x =∈，满足题意，
综上所述，符合要求的a 的取值范围为(3,1]-. 故答案为：(3,1]-. 【点睛】
本题考查二次函数根的分布求参数的范围，属于中档题. 三、解答题
17．已知集合21
{|1,}1
x A x x x -=≤∈+R ，集合22{|210,}B x x ax a x =-+-≤∈R . （1）求集合A ；
（2）若集合U =R ，()
U B A B =I ð，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）(1,2]-；（2）(,2](3,)-∞-+∞U . 【解析】 【分析】
（1）解集合A 的分式不等式，从而得到集合A ；（2）根据（1）得到U A ð，解集合B 内
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的不等式，得到集合B ，再由()U B A B =ðI ，可得U B A ⊆ð
，从而得到关于a 的不等式，解出a 的取值范围. 【详解】 （1）集合21|
1,1x A x x x -⎧
⎫
=≤∈⎨⎬+⎩⎭
R ， 解不等式
2111
x x -≤+，即
02
1x x ≤-+， 解得12x -<≤， 所以集合(]1,2A =-.
（2）由（1）知集合(]1,2A =-，集合U =R 所以(](),12,U A =-∞-+∞U ð， 集合22{|210,}B x x ax a x =-+-≤∈R
解不等式22210x ax a -+-≤，即()()011x a x a ≤---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 解得11a x a -≤≤+ 所以集合[]1,1B a a =-+
因为()U B A B =ðI ，所以可得U B A ⊆ð， 所以11a ≤-+或12a ->，解得2a ≤-或3a > 所以a 的范围为(,2](3,)-∞-+∞U . 【点睛】
本题考查解分式不等式，解二次不等式，根据集合的运算结果和集合包含关系求参数范围，属于简单题.
18．己知函数()||||f x x a x b =-++
（1）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解；
（2）对任意0a >，0b >，试确定函数()y f x =的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足42a b ab +=，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.
【答案】（1）[3,2]-；（2）3a =，3
2b =
，M 最小值为92
.
【解析】 【分析】
（1）根据题意，解不等式125x x -++≤，按2x -≤，21x -<<，1x ≥进行讨论，判断出绝对值的正负，解相应的不等式，得到答案；（2）按b x ≤-，b x a -<<，x a ≥，
进行讨论，得到函数()f x 的最小值M ，再将42a b ab +=转化为14112a b ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，利
用基本不等式求出M 的最小值，并求出此时a 、b 的值. 【详解】
（1）函数()||||f x x a x b =-++，代入1a =，2b =， 由()5f x ≤得125x x -++≤
当2x -≤时，512x x ≤-+--，解得3x ≥-，所以32x --≤≤， 当21x -<<时，512x x ≤-+++，解得x ∈R ，所以21x -<<， 当1x ≥时，512x x ≤-++，解得2x ≤，所以12x ≤≤， 综上，不等式的解集为[]
3,2-. （2）因为0a >，0b >，
所以当b x ≤-时，()2f x x a x b x a b =-+--=-+-， 此时()f x 单调递减，所以()()min f x f b a b =-=+， 当b x a -<<时，()f x x a x b a b =-+++=+， 此时()f x 为常函数，所以()min f x a b =+， 当x a ≥时，()2f x x a x b x a b =-++=-+， 此时()f x 单调递增，所以()()min f x f a a b ==+ 综上可得，()f x 的最小值M a b =+， 又因为0a >，0b >，且42a b ab +=，即
14112a b ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以()1412M a b a b a b ⎛⎫
=+=
++ ⎪⎝⎭
14141522b a a b ⎛⎛⎫=++++ ⎪ ⎝⎭⎝≥
试卷第14页，总18页
92
=
， 当且仅当
4b a
a b =时，即3,32
a b ==时，等号成立. 故当3a =，3
2b =，M 最小值为92
. 【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，求分段函数的最小值，基本不等式1的妙用求和的最小值，属于中档题.
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
(010),35
k
x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

【答案】40k =，因此40
()35
C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元。

【解析】
解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35
k
C x x =+. 再由(0)8C =，得40k =，因此40
()35
C x x =+. 而建造费用为1()6C x x =
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
140800
()20()()2066(010)3535
f x C x C x x x x x x =+=⨯
+=+≤≤++ （Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-
+，令'()0f x =，即2
2400
6(35)x =+. 解得5x =，25
3
x =-
（舍去）. 当05x p p 时，'()0f x p ，当510x p p 时，'()0f x f ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800
(5)6570155
f =⨯+
=+。

当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元。

20．已知函数||
()x a f x x -=
(0)a >，且满足1()12
f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f x
g x x =
，求()g x 在区间1
[,4]2
上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1
(0,)16
【解析】
试题分析：（1）根据112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2
220f
x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程
方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围.
试题解析：(1) 由112
=1122
a
f -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，得1a =或0.
因为0a >，所以1a =，所以()|1|
x f x x
-=. 当1x >时，()11
=1x f x x x
-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()()()1221
121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=
- ()()12212212
11=x x x x x x --- 12
12
=
x x x x -， 因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<， 所以()f x 在()1,+∞上为增函数；
（2）()()2
221
,14
1==11,12
x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩，
试卷第16页，总18页
当14x ≤≤时，()2
22111111=24
x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭， 因为
1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1
=4
g x ； 当112x ≤<时，()2
22111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭， 因为
112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1
=2x
时，()max =2g x ； 综上，当1=2x 即1
=2
x 时，()max =2g x .
（3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1
=10,1f x x
-∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1
=
10,f x x
-∈+∞. 方程()2
2
21120x x x mx ---+=可化为22
1
|1|220x x m x x
---+=， 即()()2
220f
x f x m -+=.
设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，
则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，
则有21160
2021120
m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩
，解得1
016m <<，
所以实数m 的取值范围为10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
. 21．已知函数()()2
f x mx 3,
g x 2x x m =+=++ (1)求证：函数f(x)-g(x)必有零点； (2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1
①若函数G(x)有两相异零点且()G x 在[]
1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围。

②是否存在整数a,b 使得()a G X b ≤≤的解集恰好为[]
,,a b 若存在，求出a,b 的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）详见解析；（2）①（﹣∞，0]∪[2，+∞）；②1,1a b =-=或2,4a b ==. 【解析】
【分析】
（1）判断对应方程的△与0的关系，易得结论；
（2）由函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m，我们易给出函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1，①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，根据对折变换函数图象的特征，我们分△≤0和△＞0两种情况进行讨论，可得到满足条件的m的取值范围；②若a≤G（x）≤b的解
集恰好是[a，b]，则
()
()
()2
42(2)
4
G a a
G b b
m m
a b
⎧
⎪=
⎪⎪
=
⎨
⎪-+-
⎪≤≤
⎪⎩
将a，b代入消去m，可以求出a，b
的值．
【详解】
证明：（1）f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．
令f（x）﹣g（x）＝0．
则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立．所以方程f（x）﹣g（x）＝0有解．
所以函数f（x）﹣g（x）必有零点．
（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m．
①令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．
当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，所以|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．
因为|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，所以
2
2
m-
≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|＝|x2﹣（m﹣2）x+m﹣2|．
因为|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，
所以方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x
2
2
m-
=≤-1．
所以
20
2
2
m
m
-
⎧
⎪
⎨-
⎪⎩
＞
＞
或
20
2
1
2
m
m
＜
-
⎧
⎪
⎨-
≤-
⎪⎩
解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
综上可得，实数m的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
试卷第18页，总18页
②因为a ≤G （x ）≤b 的解集恰好是[a ，b ]， 所以()()
G a a G b a ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
由()()222222a m a m a b m b m a ⎧-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩
消去m ，得ab ﹣2a ﹣b ＝0，显然b ≠2． 所以a 2b b =
=-12
2
b +-． 因为a ，b 均为整数，所以b ﹣2＝±1或b ﹣2＝±
2． 解得33a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩因为a ＜b ，且a ()()24224
m m -+-≤≤b 所以11a b =-⎧⎨
=⎩或2
4
a b =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查的知识点是函数的零点，函数图象的对折变换，函数的单调性，函数的值域，（1）中解答的关键是“三个二次”之间的辩证关系，即函数有零点，则对应的方程有根；（2）中①的切入点是函数图象对折变换后的函数图象特征；②中消参思想是解答的关键．。