2020-2021东莞市高中三年级数学下期末第一次模拟试题附答案

2020-2021东莞市高中三年级数学下期末第一次模拟试题附答案
一、选择题
1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
2．123{
3
x x >>是12126{
9
x x x x +>>成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
3．设集合2
{|20,}M x x x x R =+=∈，2
{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0
B ．{}0,2
C ．{}2,0-
D ．{}2,0,2-
4．函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
5．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
6．已知()3
sin 30,601505
αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A 310
B ．310
C ．
33
10
- D 343
-7．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A ．
12
B ．
512
C ．
14
D ．
16
8．已知函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在
(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,)e +∞
B ．2(,2)e e
C ．2(2,)e +∞
D ．22(,2)(2,)e e e +∞U
9．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是
，若
0cAC aPA bPB ++=r
u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形但不是等边三角形. 10．函数()()sin 2
2f x x πϕϕ⎛⎫
=+< ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为（） A ．32
-
B ．
3
2
C ．
12
D ．12
-
11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．72
B ．64
C ．48
D ．32
12．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．
B ．
C ．0
D ．4
π-
二、填空题
13．设函数()21
2
log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
__________．
14．若三点1
(2,3),(3,2),(
,)2
A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．若过点()2,0M 3()2
:0C y ax a =>的准线l 相交于点
B ，与
C 的一个交点为A ，若BM MA =u u u u v u u u v
，则a =____．
16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
17．在平行四边形ABCD 中，3A π
∠=
，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是
边BC ，CD 上的点,且满足CN CD
BM BC =u u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AM AN ⋅u u u u v u u u v 的取值范围是_________． 18．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r
=______．
19．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r 0OA OB •=u u u r u u u r
，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设
OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则m
n
=__________．
20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.
22．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r
，()1,d k =u r
(),x R k R ∈∈
（1）若,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，且()
//a b c +r r r ，求x 的值.
（2）若函数()f x a b =⋅r r
，求()f x 的最小值.
（3）是否存在实数k ，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
23．已知()ln x
e f x a x ax x
=+-.
（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1()()0x
f x bx b e x x
+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．
24．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =的焦点，离心率为
25
. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若
1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r
，求12λλ+的值.
25．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y t ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）.在以
坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲
线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.
26．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2
~,X N
μσ，则①
()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③
(33)0.9973P X μσμσ-<+=….
（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (
)2
,N μσ
，其
中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：
（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?
（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
求得基本事件的总数为222
422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为222
42222
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n ==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2．A
解析：A
试题分析：因为123{
3
x x >>12126{
9
x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{
1
x x ==满足12126{
9
x x x x +>>，但
不满足123{
3
x x >>，必要性不成立，所以选A.
考点：充要关系
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以
M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】
由题得()2
1ln 2=ln 2201
f =-
-<， ()2
2ln3=ln3102
f =-->，
所以(1)(2)0,f f <
所以函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】
本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
6．D
解析：D 【解析】
分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为0
cos[(30)30]α+-，再利用差角的
余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-
4
5
， ∵c os α=00
cos[(30)30]α+-,
∴c os α=-453152⨯=， 故选D.
点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本
题主要利用了看角变角，00
(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题
目标.
7．B
解析：B 【解析】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，
即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512
故选B.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
求得函数的导数()(2)()x xe a
f x x x
-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x
g x xe =，利用奥数求得函数的单
调性，得到()1a g e >=且()2
22a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到
()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在
(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+，
可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x
x
x
a xe a f x e x e a x e x x x x
-'=+-+-=--=-⋅，
又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
则()0f x '=，即(2)()0x xe a
x x
--⋅=在(1,)+∞上有两解，
即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，
令()x
g x xe =，则()(1)0,(1)x
g x x e x '=+>>，
所以函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，
所以()1a g e >=且()2
22a g e ≠=，
又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，
即(2)()0x xe a
x x
--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，
即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，
又由函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2
(2)2a g e >=，
综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2
(2,)a e ∈+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得
；
根据共面向量基本定理得：
∴△ABC 为等边三角形。

故答案为：等边三角形。

10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得
3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ
<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】
函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+< ⎪⎝
⎭
的图象向右平移6π
个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3
π
φk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<
，∴3π
ϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
由题意,02x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，
∴323πsin x ⎡⎛
⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
∴函数()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3 故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求
最值，属于基础题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为1445443643
V V V =-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B 。

【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。

求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

12．B
解析：B 【解析】
得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，
sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤
⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦转化为余弦函数
是考查的最终目的. 二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??
【解析】 【分析】 【详解】
由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220
log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪
⇒⎨>⎪⎩
或
0 11
a a a a
<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.
14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：
1
2
【解析】
试题分析：依题意有AB AC k k =，即
53
152
2
m --=
+，解得12m =. 考点：三点共线．
15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8
【解析】 【分析】
由直线方程为2)y x =-与准线:a
l x 4
=-
得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.
【详解】
解：抛物线()2
:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4
=-
过点()2,0M
2)y x =-，
联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得，交点B
坐标为)
(,)a a 844
+-
， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v
=，
所以点M 为线段AB 的中点，
所以00()4428)402a x a y ⎧+-⎪=⎪
⎪⎨+⎪+⎪=⎪⎩
，解得(a A 44+，
将)
()a a 8A 444
++代入抛物线方程，
即))()2a 8a
a 444
+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小
解析：8 【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
17．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
[2]5, 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，
12D ⎛ ⎝⎭
，设||||||||BM CN BC CD λ==u u u u r u u u r
u u u r u u u r ，[]
0,1λ∈，则(22M λ+
)，5
(22N λ-
， 所以(22AM AN λ=+u u u u r u u u r g
5)(22λ-g
2253
542544
λλλλλλ=-+-+=--+，
因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2
252,5λλ--+∈．
故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
18．2【解析】【分析】过点C 作CD⊥AB 于D 可得Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt△ACD 中可得cosA==2故答
解析：2 【解析】 【分析】
过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1
AD AB 12
=
=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1cos A AC
=
，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅u u u v u u u v
的值． 【详解】
过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．
Rt △ACD 中，1
AD AB 12
==， 可得cosA=
1
1,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC
=∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v =2． 故答案为2 【点睛】
本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．
19．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以
则
解析：3 【解析】
因为30AOC ∠=o
，所以cos cos30OC OA AOC OC OA
⋅∠===⋅o
u u u r u u u r u u u r u u u r
，从而有
22=u u u r u u u r u u u r
．因为1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
2=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则
3m
n
= 20．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为
解析：660 【解析】 【分析】 【详解】
第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有22
6215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2
412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故
答案为660.
三、解答题
21．(1) ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减.
（2）()0,1. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由()1
f x a x
'=
-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
因此
122ln 10f a a a a ⎛⎫
>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.
试题解析：
（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1
f x a x
'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,
x a ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1
x a
=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-=-+-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此122ln 10f a a a a ⎛⎫
>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是
()0,1.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 22．（1）6
x π
=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--
【解析】 【分析】
（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；
（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．
【详解】
（1）()sin 1,1b c x +=--r r
Q ，()
//a b c +r r r ，
()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，6x π∴=-.
（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r
.
x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟
，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r
， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()
0a d b c +⋅+=r u r r r
，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，
()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，
∴存在[]5,1k ∈--，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 23．（1）见解析；（2）1[,)e
+∞. 【解析】 【分析】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2
1x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即
可；
（2）由题意可知()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情
况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()2
1x x e ax f x x --'=
，0a <，
∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--
- ⎪⎝⎭
()1x
b x e lnx =-- 由题意，()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立
①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x
b x e lnx --≤恒成立；不符题意.
②若0b >，记()()1x
h x b x e lnx =--，则()1x
h x bxe x
'=-
, 显然()h x '在[
)1,+∞单调递增， （i ）当1
b e
≥
时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[
)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥=
（ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1
110b h e b e b ⎛
⎫=-> ⎝'->⎪⎭
∴存在01x >，使()0h x '=.
当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24．（Ⅰ）2
215
x y +=（Ⅱ）-10
【解析】 【分析】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，
得到1b =，又c a ==C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程
2215
x y +=，得()2222
15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为()0,1
则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，
由c e a ===
，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2
215
x y +=
（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2
215
x y +=，
∴椭圆C 的右焦点()2,0F
设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2
215
x y +=，
并整理，得(
)2
2
2215202050k
x
k x k +-+-=，
∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k
-=+， 又()110,MA x y y =-u u u r ，()220,MB x y y =-u u u r ，()112,AF x y =--u u u r ，()222,BF x y =--u u u r
，
而1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ，
即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=
-，2
22
2x x λ=-，
∴()()12121212121212
22102242x x x x x x
x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
25．（1
10y --=，2
2
(1)(1)2x y -+-=；（2
）1. 【解析】 【分析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】
（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l
10y --=. 将曲线C
的极坐标方程化为2
ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭
. 即2
2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.
故曲线C 的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()2
2
112x y -+-=中，得
2
2
11222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
化简，得(2
130t t -++=.
∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.
由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,
12121PA PB t t t t +=+=+=.
【点睛】
本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参
数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 26．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827
()0.50.84142
P X μσ>-=+
≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】
（1）由频率分布直方图可得：
120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；
（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827
()0.50.84142
P X μσ>-=+
≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；
（ii ）0.9545
(12.14)(2)0.50.97732
P X P X μσ≥=≥-=+
≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
()()
100010000.997310.9973k
k
k P X k C -==-
()()()()
10010.97731
110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=，
所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，
()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有
可能是978位. 【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.。