{3套试卷汇总}2018年东莞市九年级上学期期末考前验收数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．将抛物线y=3x 2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A ．y=3（x ﹣3）2﹣3
B ．y=3x 2
C ．y=3（x+3）2﹣3
D ．y=3x 2﹣6
【答案】A
【解析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.
【详解】抛物线233y x =-向右平移3个单位, 得到的抛物线的解析式是()233 3.y x =--
故选A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点B （﹣1，﹣1），C 在x 轴正半轴上，A 在第二象限双曲线y ＝﹣4x
上，过D 作DE ∥x 轴交双曲线于E ，连接CE ，则△CDE 的面积为（ ）
A ．3
B ．72
C ．4
D ．92
【答案】B 【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A 作GH ⊥x 轴，过B 作BG ⊥GH ，过C 作CM ⊥ED 于M ，证明△AHD ≌△DMC ≌△BGA ，设A (x ，﹣4x
)，结合点B 的坐标表示：BG ＝AH ＝DM ＝﹣1﹣x ，由HQ ＝CM ，列方程，可得x 的值，进而根据三角形面积公式可得结论．
【详解】过A 作GH ⊥x 轴，过B 作BG ⊥GH ，过C 作CM ⊥ED 于M ，
设A (x ，﹣4x
)， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ＝AB ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，
∴∠BAG=∠ADH=∠DCM ，
∴△AHD ≌△DMC ≌△BGA （AAS ），
∴BG ＝AH ＝DM ＝﹣1﹣x ，
∴AG＝CM＝DH＝1﹣4
x
，
∵AH+AQ＝CM，
∴1﹣4
x
＝﹣
4
x
﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2，
∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣4
2
＝3，
∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1，∴点E的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝﹣4
x
得：x＝﹣
4
3
，
∴E(﹣4
3
，3)，
∴EH＝2﹣4
3
＝
2
3
，
∴DE＝DH﹣HE＝3﹣2
3
＝
7
3
，
∴S△CDE＝1
2
DE•CM＝
1
2
×
7
3
×3＝
7
2
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象和性质与几何图形的综合，掌握“一线三垂直”模型是解题的关键．3．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()
A．60°B．75°C．87°D．120°
【答案】C
【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.
4．若(),A a b ，()2,B a c -两点均在函数()2
12019y x =--的图象上，且12a ≤<，则b 与c 的大小关系为（ ）
A ．b c <
B ．b c ≤
C ．b c >
D ．b c ≥
【答案】A
【分析】将点A （a-1，b ），B （a-2，c ）代入()212019y x =--得出方程组，根据方程组中两个方程相减可得出b-c=2a-1，结合12a ≤<可得到b-c 的正负情况，本题得以解决．
【详解】解：∵点A （a-1，b ），B （a-2，c ）在二次函数()212019y x =--的图象上， ∴22(2)2019(3)2019a b a c ⎧--=⎨--=⎩
， ∴b-c=2a-1，
又12a ≤<，∴b-c=2a-1＜0，
∴b ＜c ，
故选：A ．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点以及不等式的性质，解答本题的关键是将已知点的坐标代入二次函数解析式，得出b-c=2a-1．
5．在下列命题中，正确的是( )
A ．对角线相等的四边形是平行四边形
B ．有一个角是直角的四边形是矩形
C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析解答即可.
【详解】解：A 、∵等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形，∴应对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故不正确；
B 、∵有一个角是直角的四边形可能是矩形、直角梯形，∴有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故不正确；
C 、∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
D 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法的理解，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法的判定方法是解答本题的关键.
6．如图，PA、PB、CD是O的切线，A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点.如40
APB
∠=︒，则COD
∠的度数为（）
A．50︒B．60︒C．70︒D．75︒
【答案】C
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= 1
2
∠AOB，
可求得答案．
【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=1
2
∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
【点睛】
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
7．下列说法正确的是（）
A．可能性很大的事情是必然发生的
B．可能性很小的事情是不可能发生的
C ．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件
D ．“任意画一个三角形，其内角和是180︒”
【答案】D
【分析】了解事件发生的可能性与必然事件、不可能事件、可能事件之间的关系．
【详解】解：A 错误．可能性很大的事件并非必然发生，必然发生的事件的概率为1；
B 错误．可能性很小的事件指事件发生的概率很小，不可能事件的概率为0；
C 错误．掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好点数“6”朝上的概率为
16．为可能事件． D 正确．三角形内角和是180°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查事件发生的可能性，注意可能性较小的事件也有可能发生；可能性很大的事也有可能不发生． 8．若点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在反比例函数()0k y k x =
<的图象上，且1230y y y >>>，则下列各式正确的是（ ）
A ．123x x x <<
B ．213x x x <<
C ．132x x x <<
D ．321x x x << 【答案】C
【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数为()0k y k x =<，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，
又1230y y y >>>，10x ∴<，230x x >>，132x x x ∴<<．
故选C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 9．已知二次函数的解析式为2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠），且20a ab ac ++<，下列说法：①240b ac -<；②0ab ac +<；③方程20ax bx c ++=有两个不同根1x 、2x ，且
()()12110x x -->；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（ ）
． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】根据a 的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一分析，找出所有情况下都正确的结论即可．
【详解】解：当a ＞0时，即抛物线的开口向上
∵20a ab ac ++<
∴0a b c ++<，2ab ac a +<-
即当x=1时，y=0a b c ++<
∴此时抛物线与x 轴有两个交点，如图所示
∴240b ac ->，故①错误；
∵20a -<
∴0ab ac +<，故此时②正确；
由图象可知：x 1＜1，x 2＞1
∴1210,10x x -<-<
∴()()12110x x -->，故此时③正确；
当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；
当a ＜0时，即抛物线的开口向下
∵20a ab ac ++<
∴0a b c ++>，2ab ac a +<-
即当x=1时，y=0a b c ++>
∴此时抛物线与x 轴有两个交点，如图所示
∴240b ac ->，故①错误；
∵20a -<
∴0ab ac +<，故此时②正确；
由图象可知：x 1＜1，x 2＞1
∴1210,10x x -<-<
∴()()12110x x -->，故此时③正确；
当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；
综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个
故选B ．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
10．如图所示，在矩形ABCD 中，点F 是 BC 的中点，DF 的延长线与AB 的延长线相交于点E ，DE 与AC 相交于点O ，若2COD S ∆=，则AOE S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C 【解析】由矩形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，∠ABC=∠BCD=90°，由ASA 证明△BEF ≌△CDF ，得出BE=CD=AB ，则AE=2AB=2CD ，再根据
AOE ~COD,面积比等于相似比的平方即可。

【详解】∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBF=90°，
∵F 为BC 的中点，
∴BF=CF ，
在△BEF 和△CDF 中， EBF DCF BF CF
BFE CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BEF ≌△CDF （ASA ），
∴BE=CD=AB ，
∴AE=2AB=2CD ，
∵AB ∥CD ， ∴AOE ~COD,
∴()2:AE CD AOE COD S S ：∆∆==4:1
∵2COD S ∆=
∴AOE S ∆=8
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握有关的性质与判定是解决问题的关键．
11．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．
【详解】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
12．二次函数y＝x2+4x+3，当0≤x≤1
2
时，y的最大值为（）
A．3 B．7 C．19
4
D．
21
4
【答案】D
【解析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【详解】解：y＝x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1，
则当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1
2
时，y的最大值为（
1
2
）2+4×
1
2
+3＝
21
4
，
故选：D．
【点睛】
本题考查配方法把二次函数解析式化为顶点式根据二次函数性质解答的运用二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，
3
cos
5
B=，则AC的长为_______ .
【答案】8
【解析】在Rt△ABC中，cosB=
3
5
BC
AB
=，AB=10，可求得BC，再利用勾股定理即可求AC的长.
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10
∴cosB=
3
5
BC
AB
=，得BC=6
由勾股定理得BC=2222
106
==8
AB BC
--
故答案为8.
【点睛】
此题主要考查锐角三角函数在直角三形中的应用及勾股定理．
14．已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是.
【答案】15.6
【解析】试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
考点：折线统计图；中位数
15．数据﹣3，6，0，5的极差为_____．
【答案】1
【分析】根据极差的定义直接得出结论．
【详解】∵数据﹣3，6，0，5的最大值为6，最小值为﹣3，
∴数据﹣3，6，0，5的极差为6﹣（﹣3）＝1，
故答案为1．
【点睛】
此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
16．ABC ∆中，若6AB =，8BC =，120B ∠=︒，则ABC ∆的面积为________. 【答案】123
【分析】过点A 作BC 边上的高交BC 的延长线于点D ，在Rt ABD △中，利用三角函数求出AD 长，再根据三角形面积公式求解即可.
【详解】解：如图，作AD BC ⊥于点D ，则90ADB ︒∠=，
120ABC ︒∠=
18012060ABD ︒︒︒∴∠=-=
在Rt ABD △中，3sin 606332
AD AB ︒==⨯=1183312322
ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=所以ABC ∆的面积为123 故答案为：123【点睛】
本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.
17．二次函数216+212y x x =
-的顶点坐标___________． 【答案】 (6，3)
【分析】利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式即可得出答案．
【详解】2211621(12)2122
y x x x x =-+=-+ 21(6)36212x ⎡⎤=
--+⎣
⎦ 21(6)18212
x =--+ 21(6)32x =-+ 由此可得，二次函数的顶点式为21(6)32y x =-+
则顶点坐标为(6,3) 故答案为：(6,3)． 【点睛】
本题考查了顶点式二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的性质是解题关键． 18．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC=_____．
【答案】90°﹣α．
【分析】首先连接OC ，由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC 的度数．
【详解】连接OC ．
∵∠BOC=2∠BAC ，∠BAC=α， ∴∠BOC=2α． ∵OB=OC ， ∴∠OBC ()()11
180********
BOC αα=
︒∠=︒=︒﹣﹣﹣． 故答案为：90α︒-． 【点睛】
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题（本题包括8个小题） 19．已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤4时，求y 的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣3
4
（x﹣2）2+1；（2）﹣
11
4
≤y≤1．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣2）2+1，然后把（0,1）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）分别计算自变量为﹣1和1对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
把（0,1）代入得1a+1＝1，解得a＝﹣3
4
，
所以抛物线解析式为y＝-3
4
（x﹣2）2+1．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣3
4
（﹣1﹣2）2+1＝﹣
11
4
；
当x＝1时，y＝﹣3
4
（1﹣2）2+1＝1，
∴ 当-1≤x≤2时，﹣11
4
≤y≤1；
当2≤x≤1时，1≤y≤1
所以当﹣1≤x≤1时，y的取值范围为﹣11
4
≤y≤1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出函数关系式，从而代入数值求解．
20．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字.小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜.
（1）画树状图或列表求出各人获胜的概率。

（2）这个游戏公平吗？说说你的理由 【答案】（1）小力获胜的概率为
712，小明获胜的概率5
12
；（2）不公平，理由见解析 【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可求出所有等可能结果以及小力获胜和小明获胜的情况，由此可求得两人获胜的概率；
（2）比较两人获胜的概率，即可知游戏是否公平. 【详解】解：（1）列表得： 转盘A
两个数字之积 转盘B 1-
0 2 1
1
1-
0 2 1
2- 2 0 4-
2-
1- 1
2-
1-
∵由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个， ∴(
)
712P =小力获胜，()5
12
P =
小明获胜. （2）
()712P =小力获胜≠()512
P =小明获胜. ∴这个游戏对双方不公平. 【点睛】
本题考查了概率在游戏公平性中的应用，熟练掌握列表格或树状图法求概率是解题的关键. 21．如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣3
x
的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求△ABC 的面积．
【答案】（1）A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）；
（2）S△ABC=1．
【解析】试题分析：（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组，然后解方程组即可得到A、B两点的坐标；
（2）先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算．
试题解析：（1）根据题意得
2
{3
y x
y
x
=-+
=-
，解方程组得
1
{
3
x
y
=-
=
或
3
{
1
x
y
=
=-
，
所以A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）；（2）把y=0代入y=﹣x+2得﹣x+2=0，解得x=2，
所以D点坐标为（2，0），
因为C、D两点关于y轴对称，
所以C点坐标为（﹣2，0），
所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=1
2
×（2+2）×3+
1
2
×（2+2）×1=1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
22．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1）必然，不可能；（2）3
5
；（3）此游戏不公平．
【解析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；（2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【详解】（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；
故答案为必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：3
5
； 故答案为
35
； （3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82205
=； 则选择乙的概率为：35
， 故此游戏不公平． 【点睛】
此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．
23．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE 与支架CB 所在直线相交于点O ，且OB OE =；支架BC 与水平线AD 垂直．40cm AC =，30ADE ∠=︒，190cm DE =，另一支架AB 与水平线夹角65BAD ∠=︒，求OB 的长度（结果精确到1cm ；温馨提示：sin650.91︒≈，
cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈）
【答案】OB 19cm ≈.
【分析】设OE OB 2x ==，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】设OE OB 2x ==， ∴OD DE OE 1902x =+=+， ∵ADE 30∠=︒ ， ∴1
OC OD 95x 2
=
=+， ∴BC OC OB 95x 2x 95x =-=+-=-， ∵BC
tan BAD AC
∠= ， ∴95x
2.1440
-=
，
解得：x=9.4，
∴OB2x18
==.8≈19 cm
【点睛】
本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键.
24．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4的四个球，这些球除标号数字外都相同．
(1)从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的球的概率；
(2)甲、乙两人用这四个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
【答案】(1)1
2
；(2) 这个游戏对甲、乙两人公平，理由见解析.
【解析】（1）根据四个球中奇数的个数，除以总个数得到所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出标号数字同为奇数或偶数的情况数，以及一奇一偶的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可．
【详解】(1)∵标号分别为1，2，3，4的四个球中奇数为1，3，共2个，∴P（摸到标号数字为奇数）=
2 4=
1
2
(2)列表如下：
所有等可能的情况数有16中，其中同为偶数或奇数的情况有：（1，1），（3，1），（2，2），（4，2），（1，3）（3，3），（2，4），（4，4），共8种情况；一奇一偶的情况有：（2，1），（4，1），（1，2），（3，2），（2，3），（4，3），（1，4），（3，4），共8种，
∴P（甲获胜）=P（乙获胜）= 8
16=
1
2
，
则这个游戏对甲、乙两人公平.
【点睛】
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（问题呈现）阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA 的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是ABC的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
①，
②，
③；
（理解运用）如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；
（变式探究）如图3，若点M是AC的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等
的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）12或2．【分析】（问题呈现）根据圆的性质即可求解；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；
（变式探究）证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解；
（实践应用）已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝1
2
（6+2）
＝1．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝2．
【详解】（问题呈现）
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
（变式探究）DB＝CD+BA．
证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB
∴△MAB≌△MGB（SAS）
∴MA＝MG
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
AB+DC＝BG+DG，
即DB＝CD+BA；
（实践应用）
如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝2．
已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，
所以AG1＝1
2
（6+2）＝1．
所以AD1＝12．
如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝2．
所以AD的长为12或2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧.
26．“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为
度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【答案】(1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人
【解析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基
本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：15
60
×360°=90°；
故答案为60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×155
60
=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.
27．实践：如图△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O.
（2）以O为圆心，OC为半径作圆.
综合运用：在你所作的图中，
（1）AB与⊙O的位置关系是_____ .（直接写出答案）
（2）若AC=5，BC=12，求⊙O 的半径.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）⊙O 的半径为10 3
.
【解析】综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB与⊙O的位置关系是相切；（2）首先根据勾股定理计算出AB的长，再设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）再次利用勾股定理可得方程x2+82=（12-x）2，再解方程即可．
【详解】（1）①作∠BAC的平分线，交BC于点O；
②以O为圆心，OC为半径作圆．AB与⊙O的位置关系是相切．
（2）相切；
∵AC=5，BC=12，
∴AD=5，22
512
=13，
∴DB=AB-AD=13-5=8，
设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）
x2+82=（12-x）2，
解得：x=10
3
．
答：⊙O的半径为10
3
．
【点睛】
本题考查了1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．切线的判定．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得解．
【详解】A 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误
B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误
C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误
D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．若()2723m
y m x -=-+是二次函数，且开口向下，则m 的值是（ ） A ．3±
B ．3
C ．3-
D ．2- 【答案】C
【分析】根据二次函数的定义和开口方向得到关于m 的关系式，求m 即可．
【详解】解：∵()2723m
y m x -=-+是二次函数，且开口向下，
∴272,20m m -=-＜，
∴3,2m m =±＜，
∴3m =-．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题关键． 3．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名
读 听 写 小莹 92 80 90 若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）
A ．86
B ．87
C ．88
D ．89
【答案】C 【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】根据题意得： 92580390288532
⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
4．抛物线y ＝3x 2向右平移一个单位得到的抛物线是（ ）
A ．y ＝3x 2+1
B ．y ＝3x 2﹣1
C ．y ＝3（x+1）2
D ．y ＝3（x ﹣1）2
【答案】D
【解析】先确定抛物线y ＝3x 1的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】y ＝3x 1的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y ＝3（x ﹣1）1．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．如图，已知，M ，N 分别为锐角∠AOB 的边OA ，OB 上的点，ON=6，把△OMN 沿MN 折叠，点O 落在点C 处，MC 与OB 交于点P ，若MN=MP=5，则PN=( )
A ．2
B ．3
C ．83
D ．103
【答案】D 【分析】根据等边对等角，得出∠MNP=∠MPN ，由外角的性质和折叠的性质，进一步证明△CPN ∽△CNM ，通过三角形相似对应边成比例计算出CP ，再次利用相似比即可计算出结果．
【详解】解：∵MN=MP ，
∴∠MNP=∠MPN ，
∴∠CPN=∠ONM，
由折叠可得，∠ONM=∠CNM，CN=ON=6，∴∠CPN=∠CNM，
又∵∠C=∠C，
∴△CPN∽△CNM，
CP CN
CN CM
=，即CN2=CP×CM，
∴62=CP×(CP+5)，
解得：CP=4，
又∵PN CP NM CN
=，
∴
4 56 PN
=，
∴PN=10
3
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则O的半径是（）
A．3 B．2 C．22D．23
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出∠AOB=60°即可求出O的半径．
【详解】解：如图，连结OA,OB,。