二次函数与线段、周长的最值(解析版)

九年级数学下册解法技巧思维培优
专题07 二次函数与线段、周长的最值
【典例1】（2019•永州）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
【点拨】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG 的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y＝﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m＝2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m＝2代入计算即可．
【解析】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴QN
MN =
AB
BD
，
∴−m 2+4m−3MN
=2√52， ∴MN =−
√55（m ﹣2）2+√55， ∵−√55＜0，
∴当m ＝2时，MN 有最大值；
过N 作NG ⊥y 轴于G ，
∵∠GPN ＝∠ABD ，∠NGP ＝∠ADB ＝90°，
∴△NGP ∽△ADB ，
∴PG NG =
BD AD =24=12， ∴PG =12NG =12m ，
∴OP ＝OG ﹣PG ＝﹣m 2+2m +3−12m ＝﹣m 2+32m +3，
∴S △PON =12OP •GN =12（﹣m 2+32m +3）•m ，
当m ＝2时，S △PON =12×2（﹣4+3+3）＝2．
（方法2：根据m 的值计算N 的坐标为（2，3），与E 是对称点，连接EN ，同理得：EP =12EN ＝1，则OP ＝2，根据面积公式可得结论）．
【典例2】（2019•福田区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，﹣3）在直线l上，动点Q（m，0）在x 轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．
【点拨】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；
（2）过点A作AN∥BC交抛物线于点N，则有S△BCN＝S△ABC，求出直线AN的解析式，构建方程组求出交点坐标即可；
（3）将顶点M（1，﹣4）向下平移3个单位得到点M′（1，﹣1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN＝M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′
E＝6、NE＝3、M′N＝3√5，即M′Q+QN＝3√5，据此知m=3
2时，PM+PQ+QN的最小值为3√5+3；
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴{a−b+c=0
9a+3b+c=0 c=−3
，
解得：{a =1b =−2
， ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，
则抛物线的顶点M 坐标为（1，﹣4）；
（2）设直线BC 解析式y ＝mx +n ，
将点B （3，0）、C （0，﹣3）代入，得：
{3m +n =0n =−3
解得：{m =1n =−3
， 则直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，
过点A 作AN ∥BC 交抛物线于点N ，则有S △BCN ＝S △ABC ．
则直线AN 的解析式为y ＝x +p ，
将点A （﹣1，0）代入，得：﹣1+p ＝0，
解得：p ＝1，
∴直线AN 解析式为y ＝x +1，
由 {y =x +1y =x 2−2x −3
解得{x =−1y =0 或{x =4y =5， ∴点N 坐标为（4，5）；
（3）将顶点M （1，﹣4）向上平移3个单位得到点M ′（1，﹣1），连接M ′N 交x 轴于点Q ，连接PQ ，
则MM ′＝3，
∵P （m ，﹣3）、Q （m ，0），
∴PQ ⊥x 轴，且PQ ＝OC ＝3，
∴PQ ∥MM ′，且PQ ＝MM ′，
∴四边形MM ′QP 是平行四边形，
∴PM ＝QM ′，
由作图知当M ′、Q 、N 三点共线时，PM +PQ +QN ＝M ′Q +PQ +QN 取最小值，
设直线M ′N 的解析式为y ＝k 2x +b 2（k 2≠0），
将点M ′（1，﹣1）、N （4，5）代入，得：{k 2+b 2=−14k 2+b 2=5
， 解得：{k =2b =−3
，
∴直线M′N的解析式为y＝2x﹣3，
当y＝0时，x=3 2，
∴Q（3
2
，0），即m=
3
2
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E＝5﹣（﹣1）＝6，NE＝4﹣1＝3，∴M′N=√32+62=3 √5，
∴M′Q+QN＝3 √5，
∴当m=3
2时，PM+PQ+QN的最小值为3√5+3．
【典例3】（2019•霍林郭勒市期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y 轴于点C（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
【点拨】（1）把A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式求解即可；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0）．然后依据S△AOM＝2S△BOC列
方程求解即可；
（3）设直线AC 的解析式为y ＝kx +t ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入可求得直线AC 的解析式，设N 点坐标为（x ，x +2），（﹣2≤x ≤0），则D 点坐标为（x ，﹣x 2﹣x +2），然后列出ND 与x 的函数关系式，最后再利用配方法求解即可．
【解析】解：（1）A （﹣2，0），C （0，2）代入抛物线的解析式y ＝﹣x 2+mx +n ，
得{−4−2m +n =0n =2，解得{m =−1n =2
， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2，则易得B （1，0），设M （m ，n ）然后依据S △AOM ＝2S △BOC 列方程可得：
12•AO ×|n |＝2×12×OB ×OC ，
∴12×2×|﹣m 2﹣m +2|＝2，
∴m 2+m ＝0或m 2+m ﹣4＝0，
解得x ＝0或﹣1或−1±√172
， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（−1+√172，﹣2）或（−1−√172，﹣2）．
（3）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入
得到{−2k +b =0b =2，解得{k =1b =2
， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +2，
设N （x ，x +2）（﹣2≤x ≤0），则D （x ，﹣x 2﹣x +2），
ND ＝（﹣x 2﹣x +2）﹣（x +2）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴x＝﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．
【典例4】（2019•孝义市期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；
（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）由直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点A和点C都在抛物线上，则先求出A，C坐标，皆可满足y＝ax2﹣3x+c．由y＝ax2﹣3x+c中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数a、c，则解析式可求；
（2）作辅助线，构建等腰直角三角形，证明△EHC是等腰直角三角形，根据解析式表示D和E的坐标，根据EC＝ED列方程可解答；
（3）先确定BF+EF＝AB，为定值，当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小，再由等腰直角三角形三线合一的性质得：BF＝AF＝2.5，可解答．
【解析】解：（1）在y ＝x ﹣4中，
当x ＝0时，y ＝﹣4；当y ＝0时，x ＝4．
∴A （4，0），C （0，﹣4）
把A （4，0），C （0，﹣4）代入y ＝ax 2﹣3x +c 中， 得{16a −12+c =0c =−4，解得{a =1c =−4
， ∴抛物线的解析式是y ＝x 2﹣3x ﹣4．
（2）如图1，过点E 作EH ⊥y 轴，垂足为H ．
∵OA ＝OC ＝4，
∴∠OAC ＝∠ACO ＝45°，
∴∠HEC ＝∠HCE ＝45°．
∵点D （m ，m 2﹣3m ﹣4），E （m ，m ﹣4），
∴EH ＝HC ＝m ，ED ＝（m ﹣4）﹣（m 2﹣3m ﹣4）＝﹣m 2+4m ． ∴EC =√2m ，
∴当∠ECD ＝∠EDC 时，EC ＝ED ．
∴√2m=−m2+4m，
解得m＝0（舍去）或m=4−√2；
（3）存在．
∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，
在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点B坐标为（﹣1，0）．
∵∠F AE＝∠FEA＝45°，
∴EF＝AF．
设△BFE的周长为n，
则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，
∵AB的值不变，
∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．
∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AE，
∴BF＝AF＝2.5．
∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．
巩固练习
1．（2019•葫芦岛模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=3
4
x+m与x轴、y轴分别交于点A
和点B（0，﹣1），抛物线y=1
2
x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．【点拨】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）令y＝0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO＝∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵直线l：y=3
4x+m经过点B（0，﹣1），
∴m＝﹣1，
∴直线l 的解析式为y =34x ﹣1，
∵直线l ：y =34x ﹣1经过点C （4，n ），
∴n =34×4﹣1＝2，
∵抛物线y =12x 2+bx +c 经过点C （4，2）和点B （0，﹣1），
∴{12×42+4b +c =2c =−1
， 解得{b =−54c =−1
， ∴抛物线的解析式为y =12x 2−54x ﹣1；
（2）令y ＝0，则34x ﹣1＝0，
解得x =43，
∴点A 的坐标为（43
，0）， ∴OA =43，
在Rt △OAB 中，OB ＝1，
∴AB =√OA 2+OB 2=√(43)2+12=53，
∵DE ∥y 轴，
∴∠ABO ＝∠DEF ，
在矩形DFEG 中，EF ＝DE •cos ∠DEF ＝DE •
OB AB =35DE ， DF ＝DE •sin ∠DEF ＝DE •OA AB =45DE ，
∴p ＝2（DF +EF ）＝2（45+35
）DE =145DE ， ∵点D 的横坐标为t （0＜t ＜4），
∴D （t ，12t 2−54t ﹣1），E （t ，34
t ﹣1）， ∴DE ＝（34t ﹣1）﹣（12t 2−54t ﹣1）=−12t 2+2t ，
∴p =145×（−12t 2+2t ）=−75t 2+285t ，
∵p =−75（t ﹣2）2+285，且−75＜0，
∴当t ＝2时，p 有最大值285；
（3）∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°，
∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴，设点A 1的横坐标为x ，
①如图1，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为x ，点B 1的横坐标为x +1，
∴12x 2−54x ﹣1=12（x +1）2−54（x +1）﹣1， 解得x =34，
②如图2，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为x +1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大43，
∴12x 2−54x ﹣1=12（x +1）2−54（x +1）﹣1+43， 解得x =−712
， 综上所述，点A 1的横坐标为34
或−712． 2．（2019•深圳）如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），点C （0，3），且OB ＝OC ．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D 、E 在直线x ＝1上的两个动点，且DE ＝1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．
（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，求点P 的坐标．
【点拨】（1）OB ＝OC ，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，即可求解；
（2）CD +AE ＝A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE ＝A ′D +DC ′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S △PCB ：S △PCA =12EB ×（y C ﹣y P ）：12AE ×（y C ﹣y P ）＝BE ：AE ，即可求解．
【解析】解：（1）∵OB ＝OC ，∴点B （3，0），
则抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，
故﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC=√10、DE＝1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C′（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE=√10+1+A′D+DC′=√10+1+A′C′=√10+ 1+√13；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=1
2EB×（y C﹣y P）：
1
2
AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，
则BE：AE，＝3：5或5：3，
则AE =52或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +3，
解得：k ＝﹣6或﹣2，
故直线CP 的表达式为：y ＝﹣2x +3或y ＝﹣6x +3…②
联立①②并解得：x ＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P 的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
3．（2019•苏州模拟）如图1，抛物线y ＝ax 2+（a +2）x +2（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P （m ，0）（0＜m ＜4），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M ．
（1）求a 的值；
（2）若PN ：MN ＝1：3，求m 的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP 2、BP 2，求AP 2+32
BP 2的最小值． 【点拨】（1）把A 点坐标代入可得到关于a 的方程，可求得a 的值；
（2）由△OAB ∽△P AN 可用m 表示出PN ，且可表示出PM ，由条件可得到关于m 的方程，则可求得m 的值；
（3）在y 轴上取一点Q ，使OQ
OP 2=32，可证得△P 2OB ∽△QOP 2，则可求得Q 点坐标，则可把AP 2+32BP 2化为AP 2+QP 2，利用三角形三边关系可知当A 、P 2、Q 三点在一条线上时有最小值，则可求得答案．
【解析】解：
（1）∵A （4，0）在抛物线上，
∴0＝16a +4（a +2）+2，解得a =−12；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y =−12x 2+32x +2，令x ＝0可得y ＝2，
∴OB ＝2，
∵OP ＝m ，
∴AP ＝4﹣m ，
∵PM ⊥x 轴，
∴△OAB ∽△P AN ，
∴OB OA =
PN PA ，即24=PN 4−m ， ∴PN =12（4﹣m ），
∵M 在抛物线上，
∴PM =−12m 2+32m +2，
∵PN ：MN ＝1：3，
∴PN ：PM ＝1：4，
∴−12m 2+32m +2＝4×12（4﹣m ），
解得m ＝3或m ＝4（舍去）；
（3）在y 轴上取一点Q ，使OQ
OP 2=32，如图，
由（2）可知P 1（3，0），且OB ＝2，
∴OQ
OP 2=OP 2OB =32，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2，
∴QP 2
BP 2=32
， ∴当Q （0，92
）时QP 2=32BP 2， ∴AP 2+32BP 2＝AP 2+QP 2≥AQ ，
∴当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，AP 2+QP 2有最小值，
∵A （4，0），Q （0，92
）， ∴AQ =√42+(92)2=√1452，即AP 2+32BP 2的最小值为√1452
． 4．（2019•张家界）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；
（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+1
2QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不
存在，请说明理由．
【点拨】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即可求解；
（2）AM＝MB＝AB sin45°=√2=AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，即可求解；
（3）S△PBC=1
2PH×OB，即可求解；
（4）过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=1
2CQ，AQ+
1
2QC
最小值＝AQ+HQ＝AH，即可求解．
【解析】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
则顶点D（2，﹣1）；
（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
AM＝MB＝AB sin45°=√2=AD＝BD，
则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，
∴四边形ADBM为正方形；
（3）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得：
直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，
过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，
设点P （x ，x 2﹣4x +3），则点H （x ，﹣x +3），
则S △PBC =12PH ×OB =32（﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3）=32（﹣x 2+3x ），
∵−32＜0，故S △PBC 有最大值，此时x =32，
故点P （32
，−34）； （4）存在，理由：
如上图，过点C 作与y 轴夹角为30°的直线CH ，过点A 作AH ⊥CH ，垂足为H ，
则HQ =12CQ ，
AQ +12QC 最小值＝AQ +HQ ＝AH ，
直线HC 所在表达式中的k 值为√3，直线HC 的表达式为：y =√3x +3…①
则直线AH 所在表达式中的k 值为−√33，
则直线AH 的表达式为：y =−√33x +s ，将点A 的坐标代入上式并解得：
则直线AH 的表达式为：y =−√33x +√33⋯②， 联立①②并解得：x =1−3√34
， 故点H （1−3√34，3+√34
），而点A （1，0）， 则AH =3+√32
， 即：AQ +12QC 的最小值为
3+√32．。