(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．双曲线22
2:19x y C b
-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等
腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
89
B ．
83
C ．
149
D ．
143
2．若点)
0到双曲线C :22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的离心率为（ ）
A B C D 3．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线
()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光
线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4
3
，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =
B ．26y x =
C ．24y x =
D ．22y x =
4．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C
的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C D 5．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF
与圆222
x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．
4
3
B ．
53
C ．2
D ．3
6．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则
12F F =（ ）
A ．8
B ．4
C ．
D ．7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物
线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A
．9
B
．9C
．
71
12
+D
．
83
12
8．已知1F 、2F 是双曲线C ：2
2
14
y x -
=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．1
3
B ．
12
C ．2
D ．3
9．椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在
椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|
，
11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A
．⎛ ⎝⎦
B
．2]
C
．1⎤
⎥⎝⎦
D
．1]
10．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且
满足0FA FB FC ++=，则
111
AB BC CA
k k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．2p
11．已知椭圆r ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形
ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，
且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线
OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则
123
111
k k k ++=（ ） A ．43
-
B ．-3
C ．1813
-
D ．32
-
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
的一条渐近线经过点
，则该双曲线的
离心率为（ ）
A ．2
B
C ．3
D
二、填空题
13．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．
14．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两
点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______.
15．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为
a
b
的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．
16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.
17．如图，圆O 与离心率为3
2
的椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ，过
点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2
2
12d d +的最大值是__________．
18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22
()M ，F 为右焦点，B 为上
顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFM
S S
∆=，则椭圆C 的离心率为________
19．双曲线22
1916
x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．
20．已知P 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为焦点，若12
6PF F π∠=，2112PF PF F F +=，则椭圆的离心率为________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：
2
212
x y +=的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．
22．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.
（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为
1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；
（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求
MF NF +的取值范围.
23．已知()1,0F c -是椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左焦点，离心率5
e =，
2c a b =+.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点()1,1A 且被A 点平分的弦所在直线的方程.
24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
22:10x y
C a b a b
+=>>的离心率为12，过点
()03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.
（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； （2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.
25．如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点(4,)(0)M a a >到抛物线焦点F 的距离为5．
（1）求抛物线的方程及实数a 的值；
（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且
123k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．
26．已知椭圆C ：22
221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点
Q 21⎛- ⎝⎭
，.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
（1）点P 在椭圆C 上，求12
PF PF ⋅的取值范围； （2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求． 【详解】
如图，由22
219x y b
-=，得229c b =+，29c b =+．
设1||PF m =，2||PF n =， 由题意，6m n -=， 若2229n c b ==+
26629m n b =+=++
则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅； 若2229m c b ==+
26296n m b =-=+．
则2269622m n c b ++=+=，解得2115
9
b =
． ∴222115196
999c a b =+=+
=，143
c =． 14
14339
c e a ∴===．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【分析】
先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)
30，到双曲线C 的渐近线
2223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】
由题意，双曲线C :22
221x y a b
-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，
因为点)
0到双曲线C
=
=2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，
所以=
=c
e a
故选：A. 【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．
3．D
解析：D 【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】
,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设()00,P x y 由题意有02y =
将02y =代入()2
20y px p =>得02x p
=
2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204
232
p p -=-
解得：1p =
故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】
抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2
p
等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
4．B
解析：B 【分析】
首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率.
【详解】
由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b
y x a
=
，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=
，与渐近线方程b
y x a =联立方程，解得()2b a c y a
-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22
b a
c a a a c b c -=----，
化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
5．B
解析：B 【分析】
设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得
2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐
次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】
设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，
212PF FF =，A 为1PF
中点，21AF PF ∴⊥， 圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，
2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；
由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PF
F F PF c a -=-=， 111
2
AF PF a c ∴=
=+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2
2
2
2112AF AF F F ∴+=，即()2
2244a a c c ++=，
整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：5
3
e =
或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为5
3
.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.
6．A
解析：A 【分析】
设122F F c =，求出1AF
，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .
【详解】
设122F F c =，由于双曲线的离心率为2c
e a
=
=，2c a ∴=，则223b c a a -=， 所以，双曲线C 的方程为22
2213x y a a
-=，即22233x y a -=，
将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，
由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，
四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.
7．B
解析：B 【分析】
根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】
如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M
y y ==，所以2
1
44A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 又因为()1,0F ，所以
()10
:01114
AB l y x --=
--，即()4:13AB l y x =--， 又()2413
4y x y x
⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以
244
B
B y x ==，所以()4,4B -，
又因为1254244
A B AB AF BF x x p =+=++=
++=，111
344
M A AM x x =-=-
=，()()
22
434126BM =-+--=，
所以ABM 的周长为：2511
2692644
AB AM BM ++=++=+， 故选：B.
【点睛】
结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）
（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+
； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+
； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF y =-+
. 8．C
解析：C 【分析】
设点2
(1)4
m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】
1a =，2b
=，∴5c =
1(5F -，，2(5F ，，
设点2
(1)4
m P m +，，
∴
2
2 22
()(1))150
4
m OP
OF F P m m m
+⋅=⋅=
+-+
=，
∴216
5
m=，m=，
则
(
55
P±，
1
4
PF===，
∴
21
22
PF PF a
=-=，∴1
2
4
2
2
PF
PF
λ===，
故选：C.
【点睛】
利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键. 9．C
解析：C
【分析】
根据
2
||2
PQ OF
=，可得四边形
12
PFQF为矩形，设
12
,
PF n PF m
==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得(
)
2
22
4
2
c m n
n m
a c
=+
-，再分析
18
m
t
n m
=+的取值范围，
进而求得()
2
22
4
2
2
c
a c
<≤
-
，再求离心率的范围即可
【详解】
设
12
,
PF n PF m
==，由
21
0,0
x y
>>，知m n
<，
因为()()
1111
,,,
P x y Q x y
--，在椭圆C
上，2
22
PQ OP OF
==
，
所以，四边形
12
PFQF为矩形，
12
=
QF PF；
由1
1
QF
PF
≥，可得1
3
m
n
≤<，
由椭圆定义可得222
2,4
m n a m n c
+=+=①；
平方相减可得()
22
2
mn a c
=-②；
由①②得()
222
2
2
4
2
c m n m n
mn n m
a c
+
==+
-；
令=+
m n
t
n m
，令
m
v
n
⎫
=∈⎪⎪
⎣⎭
，所以，
1
t v
v
⎛
=+∈
⎝⎦
，
即()
2
22
4
2
3
2
c
a c
<≤
-
，所以，()
22222
a c c a c
-<≤-，
所以，()
222113
e e e -<≤
-
，所以，2
142e <≤-
解得
12e <≤ 故选：C 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得(
)22
2mn a c
=-②；
由①②得()
22222
42c m n m n
mn n m a c +==+-，
然后利用换元法得出()
222113
e e e -<≤
-，进而求解 属于中档题
10．A
解析：A 【解析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(
,0)2
p F ∵0FA FB FC ++
= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222
p p p
x y x y x y -
+-+-= ∴1230y y y ++=
∵2221212121211
()122AB y y x x y y p k y y y y p
--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，
311
2CA y y k p +=. ∴
3231123212()111
02222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p
+++++++=++== 故选A.
11．A
解析：A 【分析】
根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为
1
2
，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点
都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】
因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12
， 所以1
1,
2
c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22
143
x y +=，
设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，
则2222
12121,14343
y x y x +=+=， 两式相减得：
()()
1212
121243+-=--+y y x x y y x x ， 即
14
3
OD AB k k =-， 同理
1414
,33
OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1， 所以
()1231114433
OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，将点
代入即可得
b
a
=得离心率. 【详解】
双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线为b y x a =
过第一象限，所以点
在渐近线b y x a =
b a =
，所以b
a
=
所以2c e a ==． 故选：A
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.
二、填空题
13．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得
解析：8 【解析】
2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线
2,x =-
所以23-+=8.m =
14．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上
解析：
2
【分析】
画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可． 【详解】
解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，
所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，
所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =， 可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，
可得22222202242a b c c a =+=-， 即：22112a c =，
所以双曲线的离心率为：e =．
．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．
15．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解
解析：4
3
y x =±
【分析】
根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出b
a
，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】
设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()a
y x c b
=
+， 由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，
可知()a y x c b b y x a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即2,a ab M c c ⎛⎫-
⎪⎝⎭， 过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为1
3PM MF =，
所以1114AF BF =
，1
4
AM BP =， 不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-
=，解得2
043a x c c
=-， 所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭
代入()222210,0x y a b a b -=>>， 即()2
2
2
22
44310,0a ab c c c a b a b
⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>， 整理可得22925c a =，即()
222
925a b a +=，
解得2216
9
b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.
故答案为：43
y x =± 【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.
16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛 解析：48
【分析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，
联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，11
96x y =⎧∴⎨=⎩或
22
12x y =⎧⎨=-⎩， 所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，
10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，
因此，梯形APQB 的面积为()()1028482
2
AP BQ PQ S +⋅+⨯===.
故答案为：48. 【点睛】
本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.
17．【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知：解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭 解析：
163
【分析】
首先根据题意求出椭圆的标准方程，设()00,P x y ，根据勾股定理和12l l ⊥得到
()2
2
22
012201PM
x d y d ==+-+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.
【详解】
由题知：222
1c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得2a =，1b =，椭圆22:14x
T y +=.
设()00,P x y ，因为12l l ⊥，则()2
2
22
012201PM
x d y d ==+-+
又因为2
20014
x y +=，即220044x y =-.
所以()2
2
2
22
1
2
0001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝
⎭+-. 因为011y -≤≤，所以当031y =-时，22
12d d +取得最大值为
163
. 故答案为：163
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的综合应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
18．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解
解析：
2
【分析】
由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】
由题意可得直线BF 的方程为：
1x y
c b
+=，即0bx cy cb +-=， 所以M 到直线BF 的距离22
22|
|
12|(21)|222ab bc bc b a c d a
b c +---==+，
因为22||BF b c a =+=， 所以12||[(21)]24
BFM
S BF d b a c =
=--， 而1
2
BFO
S
bc =， 因为2BFO
BFM
S
S
=，
所以12
2
[(21)]24
bc b a c =--， 整理可得：[(21)]c a c =--， 整理可得2a c =，解得22
e =
， 故答案为：
2
2
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为
解析：4 【分析】
首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】
根据题意，双曲线的方程为22
1916
x y -=，其中3,4a b ==，
所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-， 渐近线方程为4
3
y x =±
，即430x y ±=，
则左焦点到其渐近线的距离为20
45
d ==
=， 故答案为：4. 【点睛】
该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.
20．【分析】由向量的加减运算性质和向量数量积的性质可得设运用椭圆的定义和解直角三角形可得的关系进而得到所求离心率【详解】若即有两边平方可得即设可得在直角三角形可得即有可得故答案为：【点睛】本题考查椭圆的
1
【分析】
由向量的加减运算性质和向量数量积的性质，可得1290F PF ∠=︒，设1||PF m =，
2||PF n =，运用椭圆的定义和解直角三角形，可得a ，c 的关系，进而得到所求离心率．
【详解】
若1212PF PF F F +=，即有
1221PF PF PF PF +=-，
两边平方可得120PF PF ⋅=，
即1290F PF ∠=︒， 设1||PF m =，2||PF n =， 可得2m n a +=，
在直角三角形12F PF ，126
PF F π
∠=，
可得m =，n c =，
即有1)2c a =，
可得1
c e a =
==．
1． 【点睛】
本题考查椭圆的定义和离心率，考查向量的数量积的性质，考查了数学运算能力.
三、解答题
21．（Ⅰ）方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ
）2,,22⎛⎛⎫
-∞-
+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭
【分析】
（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，即可求出p ，得出抛物线方程和准线； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程，可得1km <，表示出
BD 中点M ，由题可得PM BD ⊥，由1
PM k k
=-
建立关系可求. 【详解】
（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0， 抛物线与椭圆右焦点重合，12
p
∴
=，即2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，
联立直线与抛物线方程24y kx m y x
=+⎧⎨=⎩，可得()222
240k x km x m +-+=，
则()2
22
2440km k m ∆=-->，可得1km <，
设()()1122,,,B x y D x y ，2
12122242,km m x x x x k k -∴+==，
设BD 中点为()00,M x y ，则120222x
x km x k +-==，00
2
y kx m k
=+=， PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，则PM BD ⊥，
则2
220
212244PM
k k k km km k k k
-===-----，整理可得222km k
=-， 1km <，则22
21k -<，解得2
k
<或2k >，
故直线BD 的斜率的取值范围为2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
22．（1
）1234PP P P +=2
）2,22⎡⎤⎣⎦
. 【分析】
（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，
()444,P x y
，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的
方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果； （2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的
关系可得22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===+-
，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】
解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+
设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y
，则)1221PP x x =
-
，
)3443P P x x =-，
∴
)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=
+--=+-+⎤⎦
故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：
22
112y x x y =+⎧⎨+=⎩；21
4y x x y
=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，
∴1234PP P P +=（2）由222124x y x y
⎧+=⎨=⎩
解得：()
2A -
，()
2B ，设()00,D x y ，则
220012x y +=；
切线00:12m x x y y +=
，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则
002
12
4x x y y x y +=⎧⎨=⎩
，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，
∴22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===+-
∵02y ≤≤
∴20M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦
∵2M N MF NF y y +=++，
∴MF NF +
的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题
的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组00212
4x x y y x y +=⎧⎨=⎩
，进而利用根与系数的关系
可得22
000022
20000
424484244824
4M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
23．（1）22
194
x y +=；（2）49130.x y +-=
【分析】
（1）由已知建立关于,,a b c 的方程，解之可求得椭圆C 的方程；
（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，运用点差法求得直线的斜率，由直线的点斜式方程可求得所求的直线方程. 【详解】
（1）因为222c a b a b =+=-，所以1a b -=
，又c e a ==，所以2
259c a =，
所以2
3
b a =
，解得3,2a b ==， 所以椭圆C 的方程为：22
194
x y +=；
（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，中点(1,1)A ，
则12122,2,x y x y +=+=，由于点P 、Q 在椭圆上，所以22
1122
221?94
1?9
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得211221214()49()9y y x x x x y y -+=-=--+，即4
9
PQ k =-， 因此所求的直线方程为4
()9
11y x --=-，即49130.x y +-= 【点睛】
方法点睛：在解决直线与椭圆相交时的中点弦的问题时，常运用点差法求得直线的斜率，得以求出中点弦的直线方程. 24．（1
2
【分析】
（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，
//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22
443
x y =-
，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；
（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则
2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则
()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时
根据()()2
2
222212
12
1
1
2
2
14343
4
3
x x y y x y x y
+++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联
立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】
解：（1）设焦距为2c
，由题意知：222
1
2
b b a
c c a ⎧
⎪=⎪=-⎨⎪⎪=
⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
因此，椭圆C 的方程为：22
143
x y +=；
由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，2
2
443
x y =-
，
222
7·403BM ON x y y =-+=
-=
，解得：y =
7
-， B ，M
不重合，故y =213249x =
，故2MN x ==
（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，
O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，
当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处 由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；
当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 则1212,22x x y y D ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以()1212,A x x y y ++， 所以
()
()
2
2
222212121122
14343
4
3
x x y y x y x y +++=+=+
=，即1212346x x y y +=-
也即()()1212346x x kx m kx m +++=-
()
()2
21212434460k
x x mk x x m +++++=
22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()222
4384120k x mkx m +++-= (
)22
48430k m
∆=+->，(
)22
24234343
mk k m x k -±+-=
+
则：122843mk x x k -+=+，2122412
43
m x x k -=+，代入式子得：
22
2
23286043
m k m k --=+，22443m k =+
设O 到直线MN 的距离为d ，则2222
431
14444
1
m k d k k k +=
=
=-+++
0k =时，min 3
2
d =
； 综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为
32
.
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到
22443m k =+，属于中档题.
25．（1）24y x =；4a =；（2）证明见解析；定点48,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）由抛物线的定义可得求出2p =，再代入4x =可求出a ； （2）将()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线可得121212
4
y y k x x y y -=
=-+，由123k k +=可得
()1212816
33
y y y y =-
+-，即可得出定点. 【详解】
（1）由题意，452
p
MF =+
=，故2p =，24y x =；
令4x =，可得4y =±，故4a =．
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 斜率为k ，
联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得22
121244y y x x -=-，即1212124y y k x x y y -==-+，
故直线AB 方程为()21111244y y y k x x x y y ⎛⎫
-=-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =-++；
1144MA k k y ==
+，2
2
4
4MB k k y ==+， ∴121244344MA MB k k k k y y +=+=
+=++，即()1212816
33
y y y y =-+-； 因此，直线AB 为12121212444833y y y x x y y y y y y ⎛⎫=-=++ ⎪+++⎝⎭经过定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查抛物线中直线过定点问题，解题的关键是得出直线斜率12
4
k y y =
+，由
123k k +=得出()121281633
y y y y =-
+-. 26．（1）[0,1]；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由椭圆定义求得2a ，然后可得b ，从而得椭圆方程，然后设点(),P x y ，计算
12PF PF ⋅可得范围；
（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)代入椭圆方程得
()2
222214220k
x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得段线AB 的中点M 的
坐标12
2
M x x x +=，然后计算OM l k k ⋅可得定值． 【详解】
解：（1）因为焦距22c =，则1c =，所以左焦点()11,0F -，右焦点()21
,0F
则122a QF QF =+==
所以a =
2
2
2,1a b ==，所以椭圆方程为22
12
x y +=.
设点(),P x y ，则()22
2
2
2
12=(1,)1,11122
x x PF PF x y x y x y x ⋅---⋅--=-+=-+-=
因为[x ∈，所以12
PF PF ⋅的取值范围为：[0,1]
（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)
联立()()22
1210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩
消去y 得()2222
214220k x k x k +-+-=
其中：2210k +>，0∆>，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为线段AB 的中点 则2
1
2
2
421
k x x k ， 所以2
1222221
M x x k x k +==+，()2
121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k -==所以11
22
OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. 【点睛】
方法点睛：直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点
()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程(1)y k x =-，直线方程与椭圆方程联立方程组并消元
后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM l k k ⨯中可化简得定值．。