长郡中学高二第一学期第一次模块检测数学试卷

长郡中学高二第一学期第一次模块检测
数学（文科）
命题人：高二文科数学备课组
时量：90分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}
{}024,1≤-=>=x x B x x A ｜
︱,则 {}1.>=⋂x x B A A ︱ φ=⋂B A B . {}1.>=⋃x x B A C ︱ R B A D =⋃.
2. 已知命题p ：有的矩形没有外接圆，则关于命题p ⌝的说法中正确的是 p A ⌝.:有的矩形有外接圆；真命题
p B ⌝.：任意矩形都有外接圆；真命题
p C ⌝.：任意矩形都有外接圆；假命题
p D ⌝.：任意矩形都没有外接圆；真命题
3. 已知R b a ∈,，则””是““ab b a b a =+=2
的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 既不充分也不必要条件.D
4. 在区间[]76-，内任取一实数m ，m mx x x f ++-=2
)(的图像与x 轴有公共点的概率为 132.
A 134.
B 137.
C 139.D
5. 如下图所示的算法框图中，若输出的720=T ,则正整数a 的值为
5.A
6.B
7.C
8.D
6. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为
5,3.A 5,5.B 7,3.C 7,5.D
7. 已知在圆0242
2=+-+y x y x 内，过点()01，E 的最长弦和最短弦分别是BD AC 和，则四边形ABCD 的面积为 53.A 56.B 154.C 152.D
8. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段AD 的中点，
Q 为线段11C B 上的动点，则下列说法中错误的是
.A 线段PQ 与平面11C CDD 可能平行
Q B 当.为线段11C B 的中点时，线段1DD PQ 与所成的角为
4
π AB PQ C 2.≥
PQ CD D 与1.不可能垂直
9. 函数x x x x f 2sin cos )(2
-=的部分图像大致为
10. 已知函数4
ln )(-=x x x f ，则下列说法中正确的是 )(.x f A 在区间()0,∞-内单调递增
)(.x f B 在区间()∞+，
4内单调递增 )(.x f C 的图像关于点()02，
对称 )(.x f D 的图像关于直线2=x 对称
11. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。

根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
.A 甲地：总体均值为3，中位数为4
.B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0
.C 丙地：中位数为2，众数为3
.D 丁地：总体均值为2，总体方差为3
12. 已知圆C 的方程为：[]1)2(2)(2
2=--+-a y a x ，点()3,0A ,若C 上存在点P ，使得PO PA 2=（O 为坐标原点），则a 的取值范围是
(]0,.∞-A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,512.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0.C (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,5120,.D
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量b a ,满足()()m b b a ,3,2,22-=-=-，且_____=m b a ，则∥
14. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥--≥04011y x y x y ，则y x z +=2的最大值是______
15. 在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ,1AC 与平面C C BB 11所成的角为30°，则该长方体的体积为______
16. 如图，在平面四边形ABCD 中，1421sin ,2=∠=CAD AD ,B BC BAC AC cos sin 3+∠=BC 2，且π=+D B ,则ABC ∆的面积的最大值为_______
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为77,572==S a S n ，且
（1）求{}n a 的通项公式
（2）数列{}n b 满足n n n n nb b b a b =+=++111,1，求{}n b 的前n T n 项和
18. （本小题满分12分）
某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得
到频率分布表如下表所示。

（1）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图
（2）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定从进入了第二轮面试的6人中随机抽取2人接受A 考官的面试，求：第4组进入了第二轮面试的学生中至少有一名学生被考官面试的概率？
19. （本小题满分12分）
已知函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
<<>>++=20,0,01sin )(πϕωϕωA x A x f 的最小正周期为13)4
(+=ππf ，，且)(x f 的最大值为3 （1）写出)(x f 的表达式
（2）求)(x f 在区间[]π，0上的单调递增区间
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，3,,22,=====PA PD PB BC AD AB BC AD ∥
（1）求证：BD PA ⊥
（2）若的中点为PA E BD AB PA ,22,=⊥
（i ）过点C 作一直线BE l 与平行，在图中画出直线l 并说明理由
（ii ）求平面BEC 将三棱锥ACD P -分成的两部分体积的比
21. （本小题满分12分）
经调查，某城市2017年8~12月份中每月的雾霾天数y （单位：天）与该城市当月汽车出行量x （单位：万辆）之间的关系如下表所示
（1）据统计表明，x y 与之间具有线性相关关系，请用相关系数r 加以说明（若75.0≥r ，则认为x y 与有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r 精确到0.001）
（2）建立x y 关于的回归方程，并解决下列问题：若使某月的雾霾天数不超过9天，那么该月汽车的出行量应控制在多少万辆以内？
（3）若某个月的汽车出行量在区间()s x s x 3,3+-的右侧，则认为这个月的汽车出行量过大，需从下个月起对交通进行限行，直至汽车出行量在区间()
s x s x 3,3+-内，现已知2018年1月该城市汽车出行量为11万辆，那么该城市2月是否要对交通进行限行？试说明理由
22. （本小题满分12分）
设R x f 是)(上的奇函数，且当0>x 时，R a ax x x f ∈+-=),17lg()(2
（1）若1)1(=f ，求)(x f 的解析式
（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f x
x 恒成立，求实数k 的取值范围
（3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围。