2020-2021学年高中数学人教A版必修第三册课后习题：第六章习题课——排列与组合的综合应用

第六章计数原理
习题课——排列与组合的综合应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.C 30+C 41+C 52+C 63+…+C 2017的值为( ) A.C 213
B.C 203
C.C 204
D.C 214
30+C 41+C 52+C 63+…+C 2017=C 40+C 41+C 52+C 63+…+C 2017=C 51+C 52+C 63+…+C 2017=C 62
+C 63+…+C 2017=C 2016+C 2017=C 2117=C 214.
2.(2020天津一中高二期末)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.12种
B.18种
C.36种
D.54种
,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置,其他节目任意排列.由分步乘法计数原理可知,该台晚会节目
演出顺序的编排方案共有C 31A 33=18(种).故选B.
3.(2020辽宁庄河高中高二月考)安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去1个社区,要求每个社区至少有1名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有 ( )
A.360种
B.300种
C.150种
D.125种
名学生分成3组,每组至少1人,有3,1,1和2,2,1两种情况.
①3,1,1:分组共有C 53C 2
1
A 2
2=10(种)分法,再分配到3个社区,共有10A 33=60(种)不同的安排方式; ②2,2,1:分组共有
C 52C 3
2A 2
2=15(种)分法,再分配到3个社区,共有15A 33=90(种)不同的安排方式.
综上所述,共有60+90=150(种)不同的安排方式.故选C.
4.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( ) A.152
B.126
C.90
D.54
.
有1人从事司机工作,不同的安排方案有C 31C 42A 33(或C 31C 31C 42A 22
)=108(种); 有2人从事司机工作,不同的安排方案有C 32·A 33=18(种).
所以不同安排方案的种数是108+18=126.
5.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有种不同的选修方案.
:
第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有C31·C63种选法;
第2类,从6门中选4门有C64种选法.
故共有C31·C63+C64=75(种)不同的选修方案.
6.绍兴臭豆腐闻名全国,一外地游客来绍兴旅游,买了两串臭豆腐,每串3颗(如图).规定:每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃,且两串可以自由交替吃.请问:该游客将这两串臭豆腐吃完,有
种不同的吃法.
6口,选3口给第一串的3颗臭豆腐,顺序不变,剩下的3口给第二串,顺序不变,因此不同吃法共有C63C33=20(种).
7.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为.
4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张,一人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有C43=4(种)情况,再对应到4个人,有A44=24(种)情况,则共有
4×24=96(种)不同的分法.
8.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种.
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种?
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种?
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种?
从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C201C152=2100(种)不同的取法.
所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种.
(2)选取2件假货有C201C152种,选取3件假货有C153种,共有C201C152+C153=2555(种)不同的取法.
(3)任意选取3件的种数为C353,因此符合题意的选取方式有C353−C153=6090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
9.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)某女生一定担任语文科代表;
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表;
(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.
先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有(C53C32+C54C31)种情况,后排有A55种情况,则符合条件的选法数为(C53C32+C54C31)·A55=5400.
(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为C74·A44=840.
(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为C74·C41·A44=3360.
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种情况,再安排该男生有C31种情况,选出的3人全排有A33种情况,则符合条件的选法数为C63·C31·A33=360.
能力提升练
1.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中,则不同的放法共有()
A.12种
B.18种
C.36种
D.54种
1,2捆绑后放入信封中,有C31种方法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有C42C22种方法,所以共有C31C42C22=18(种)方法.
2.如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有()
A.9个
B.3个
C.12个
D.6个
1时,有C31·C31个“好数”;当重复数字不是1时,有C31个“好数”.由分类加法计数原理,得“好数”有C31·C31+C31=12(个).
3.(多选)(2020江苏扬州中学高二月考)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列结论正确的有()
A.18
B.C31C21C11C31
C.C31C42A22
D.C42A33
C42·A33=36(种)方式.先选择一个工地派两辆工程车,再将剩余的两辆车派给两个工地,共有C31C42A22=36(种)方式.C31C21C11C31=18≠36.故选CD.
4.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点,则“住房”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为()
A.13
B.24
C.18
D.72
:第1步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个,有C43种不同的选法;第2步,在调查时,“住房”安排的顺序有A31种可能情况;第3步,其余3个热点调查的顺序有A33种排法.根据分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为C43A31A33=72.
5.已知C n4,C n5,C n6(n>7)成等差数列,则C n12=.
2C n5=C n4+C n6,
∴2×n!
(n-5)!×5!=n!
(n-4)!×4!
+n!
(n-6)!×6!
,
∴2
5(n-5)=1
(n-4)(n-5)
+1
6×5
,
得n2-21n+98=0,
解得n=14或n=7(舍去),
∴C n12=C1412=C142=14×13
2
=7×13=91.
6.(2020山东济南高三模拟)CES是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作),再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和乙至多有1人负责接待工作,则不同的安排方案共有种.
,分两类,一类是没安排甲、乙,有C53种,一类是甲、乙安排1人,有C21C52种;
再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能,共A42种.
故不同的安排方案共有(C21C52+C53)·A42=360(种).
7.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种不同的参赛方法?
:
第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有A44=24(种);
第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有C21C43(A44−A33)=144(种);
第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有C42(A44-2A33+A22)=84(种).
由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252(种).
8.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?
从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数, 即C102=45(种).即共有45种不同的选法.
(2)可把问题分两类情况:
第1类,选出的2名是男教师,有C62种方法;
第2类,选出的2名是女教师,有C42种方法.
根据分类加法计数原理,共有C62+C42=15+6=21(种)不同选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有C62种,从4名女教师中选2名的选法有C42种,根据分步乘法计数原理,共有选法C62×C42=90(种).
素养培优练
1.(2020广东高二月考)我省某校要进行一次月考,一般考生必须考5门学科,其中语文、数学、英语、综合这四科是必考科目,另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间,决定每天上午考两门,下午考一门,三天半考完.
(1)若语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场考试,则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法?
(2)若各科考试顺序不受限制,求数学、化学在同一天考的概率是多少?
语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场,共有A 44=24(种)不同的安排方法,其余7门学科共有A 77=5040(种)不同的安排方法,故“考试日程安排表”共有5040×24=120960(种)不同的安排方法.
(2)各科考试顺序不受限制时,共有A 1111种不同的安排方法;
数学和化学在同一天考共有(A 22A 99+C 31A 32A 99
)种不同的安排方法.
故数学、化学在同一天考的概率 P=
A 22A 99+C 31A 32A 9
9
A 11
11=2+3×611×10=2
11.
2.(2020江苏高二期中)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目,求在下列情况下各有多少种不同的报名方法.
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加.
每人都可以从这四个项目中选报一项,各有4种不同的选法,
由分步乘法计数原理知,共有46=4096(种)不同的报名方法. (2)每项限报一人,且每人至多报一项,因此可由项目选人.
第一个项目有6种不同的选法,第二个项目有5种不同的选法,第三个项目有4种不同的选法,第四个项目有3种不同的选法.由分步乘法计数原理得,共有A 64=6×5×4×3=360(种)不同的报名方法.
(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加,因此需将6人分成4组,有C 63+
C 62C 4
2
A 2
2=20+
15×6
2
=65(种)情况. 每组参加一个项目,由分步乘法计数原理得共有C 6
3+
C 62C 4
2A 2
2A 44=65×24=1560(种)不同的报名方法.
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。