2021高考数学苏教版一轮考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规划 Word版含解析

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考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规
划
高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度
考纲研读1。

会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
一、基础小题
1．以下不等式组表示的平面区域是三角形的是( )
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
答案D
解析不等式组表示的平面区域为右图中的△ABC，只有错误!符合．故选D。

2．设点(x,y)满足约束条件错误!且x∈Z，y∈Z,则这样的点共有( ）
A．12个B．11个
C．10个D．9个
答案A
解析画出错误!表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，满足x∈Z,y∈Z的点有(－4，－1)，（－3，0),（－2，1)，(－2，0），(－1，0)，(－1,1),（－1,2），（0,0)，(0，1），(0,2），（0,3),(1，0)，共12个．故选A。

3．设变量x，y满足错误!则2x＋3y的最大值为（）
A．20 B．35
C．45 D．55
答案D
解析满足约束条件错误!的平面区域如下图中阴影部分所示：
令z＝2x＋3y,可得y＝－错误!x＋错误!，则错误!为直线2x＋3y－z＝0在y轴上的截距，截距越大,z越大．作直线l：2x＋3y＝0,把直线向上平移可得过点D时,2x＋3y最大，由错误!可得x＝5，y＝15，此时z ＝55.故选D。

4．若x，y满足约束条件错误!则错误!的取值范围为( )
A。

错误!
B.错误!∪[1,＋∞)
C．［0，1］
D.错误!
答案A
解析作出x，y满足约束条件错误!的可行域如图中△ABC，错误!表示区域内的点与点（－2,0）连线的斜率,联立方程组错误!
可解得B（2，－2)，同理可得A（2，4),
当直线经过点B时，错误!取得最小值错误!＝－错误!,
当直线经过点A时，错误!取得最大值错误!＝1。

则错误!的取值范围为错误!。

故选A。

5．若实数x，y满足错误!则x2＋y2的取值范围是（)
A．［0，25］B．错误!
C．[16,25] D．［9，16]
答案B
解析首先作出如图中阴影部分所示的可行域,设P(x,y）表示可行域内任意一点,则x2＋y2的几何意义就是OP2,它的最大值就是OA2＝42＋32＝25，最小值就是原点O到直线3x＋4y＝12的距离的平方，即错误!2＝错误!，故x2＋y2的取值范围为错误!。

6．已知实数x,y满足约束条件错误!若使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( ）
A.错误!或－1 B．2或错误!
C．2或1 D．2或－1
答案D
解析由题意,作出约束条件错误!表示的平面区域,如图中阴影部分所示．将z＝y－ax化为y＝ax＋z,则z为直线y＝ax＋z的纵截距．由题意可得，直线y＝ax＋z与直线y＝2x＋2或与直线y＝2－x平行,故a＝2或－1。

故选D.
7．已知点A(4，0），B(0,4）,点P（x，y）的坐标x，y满足错误!则错误!·错误!的最小值为( ）
A。

错误!B．0
C．－错误!D．－8
答案C
解析由题意可得错误!·错误!＝x（x－4）＋y(y－4）＝(x－2）2＋（y－2）2－8，（x－2）2＋（y－2)2即为点P（x，y）与点（2，2）的距离的平方，结合图形知，最小值即为点(2,2）到直线3x＋4y－12＝0的距离的平方，d＝错误!＝错误!,故最小值为错误!2－8＝－错误!，故选C.
8．若x，y满足约束条件错误!且z＝2x＋y的最小值为－1,则a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案B
解析由约束条件错误!画出可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝2x＋y可化为y＝－2x＋z，z表示在y轴上的截距，由图象可知,z＝2x＋y在直线x＋y＝a与2x－y＝1的交点处取得最小值，由错误!解得交点坐标为错误!,则－1＝2×错误!＋错误!，解得a＝－1.故选B。

9．已知实数x，y满足错误!则z＝｜x－2y＋1|的最大值为( ）A．8 B．7
C．6 D．5
答案B
解析画出错误!表示的可行域，如图中阴影部分所示，
由错误!可得错误!由错误!可得错误!设m＝x－2y＋1，将m＝x－2y＋1变形为y＝错误!x＋错误!，平移直线y＝错误!x＋错误!，由图可知当直线y ＝错误!x＋错误!经过点(2，－2)，(2,4)时，直线在y轴上的截距分别最小与最大，m分别取得最大值与最小值,最大值m＝2＋2×2＋1＝7，最小值m＝2－2×4＋1＝－5，∴－5≤m≤7，0≤｜m|≤7，即z＝｜x－2y＋1｜的最大值为7.故选B。

10．已知m>0，设x，y满足约束条件错误!且z＝x＋y的最大值与最小值的比值为k,则( )
A．k为定值－1
B．k不是定值,且k<－2
C．k为定值－2
D．k不是定值,且－2<k〈－1
答案C
解析画出m＞0,x，y满足约束条件错误!的可行域如图中阴影部分所示，
当直线z＝x＋y经过点A(2，m＋4)时，z取得最大值m＋6，当直线经过点B错误!时，z取得最小值－错误!－3,故k＝错误!＝－2为定值．故选C.
11．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x，y满足错误!则该学校今年计划最多招聘教师________人．
答案10
解析 作出可行域如图中阴影部分内的整点，由图易知，可行域内的整点为(3,1），(4,2),（4，3),(5,3),(5,4)，(5，5)，所以x ＋y ≤5＋5＝10，即学校今年计划最多招聘教师10人．
12．已知x ,y 满足约束条件错误!且z ＝x ＋3y 的最小值为2，则常数
k ＝________。

答案 －2
解析 由x ，y 满足的约束条件错误! 作出可行域如图中阴影部分所示,
由z ＝x ＋3y ，得直线方程y ＝－1
3x ＋错误!z ,由图可知，当直线y ＝
－错误!x ＋错误!z 过可行域内的点A 时,z 最小．联立错误!得A (2,0）．由
A 在直线x ＋y ＋k ＝0上可得，2＋0＋k ＝0，解得k ＝－2.
二、高考小题
13．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件错误!则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ）
A ．－1
B ．1
答案C
解析如图,不等式组表示的平面区域是以A（－1,1），B(1，－1)，C(2,2）为顶点的△ABC区域(包含边界）．作出直线y＝－错误!x并平移，知当直线y＝－错误!x＋错误!经过C(2,2）时，z取得最大值，且z max＝3×2＋2×2＝10.故选C。

14．（2019·北京高考)若x,y满足|x|≤1－y,且y≥－1，则3x＋y 的最大值为( )
A．－7 B．1
C．5 D．7
答案C
解析由|x|≤1－y,且y≥－1，得错误!
作出可行域如图中阴影部分所示．
设z＝3x＋y,则y＝－3x＋z。

作直线l0:y＝－3x,并进行平移．
显然当直线z＝3x＋y过点A(2，－1）时，z取最大值,z max＝3×2－1＝5.故选C。

15．(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件
错误!则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( ）
C．5 D．6
答案C
解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，∴作直线l0:y＝4x，并进行平移，显然当直线z＝－4x＋y过点A(－1，1）时，z取得最大值，z max＝－4×（－1)＋1＝5。

故选C。

（2019·北京高考）若x，y满足错误!则y－x的最小值为________, 16．
最大值为________．
答案－3 1
解析x，y满足的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝y－x,则y＝x＋z.把z看作常数,则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A（2,3)时，z取得最大值，此时z max＝3－2＝1.当经过点B(2，－1）时，z取得最小值，此时z min＝－1－2＝－3。

17．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x－y 的最大值是________．
答案9
解析作出已知约束条件对应的可行域（图中阴影部分）,由图易知,当直线y＝3x－z过点C时，－z最小,即z最大．
由错误!解得错误!
即C点坐标为（3,0），故z max＝3×3－0＝9。

三、模拟小题
18．(2019·石家庄一模)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝x＋3y的最小值为（)
A．8 B．6
C．4 D．3
答案C
解析作出变量x，y满足的线性约束条件表示的平面区域（如图中阴影部分所示），作出直线x＋3y＝0，平移该直线，由图知使目标函数z＝x＋3y取得最小值的最优解为(－2，2)，代入目标函数z＝x＋3y 得目标函数z＝x＋3y的最小值为4,故选C.
19．（2019·郑州二模）设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝错误!3x＋y的最大值为（)
A.错误!11B．错误!3
C．3 D．4
答案C
解析可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝错误!3x＋y,设u＝3x ＋y,欲求z＝错误!3x＋y的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x ＋y可化为y＝－3x＋u,该直线的纵截距为u，作出直线y＝－3x并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2）时，纵截距u取得最小值u min＝3×（－1）＋2＝－1,所以z＝错误!3x＋y的最大值z max＝错误!－1＝3。

故选C.
20．(2019·柳州市高三毕业班模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种．已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元，而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元．则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较( )
A．2台大型货车运费贵
B．3台小型货车运费贵
C．二者运费相同
D．无法确定
答案A
解析设大型货车每台运费x万元，小型货车每台运费y万元，依题意得
错误!可行域如图中阴影部分所示（不包括线段AB),令z＝2x－3y，由图可知当直线z＝2x－3y过C（3,2)时，z最小．∴z>2×3－3×2＝0，即2x>2y.故选A.
21．(2019·衡阳市高三第一次联考）若实数x，y满足错误!则z＝（x－2）2＋y2的最大值为（)
A.10 B．2错误!
C．10 D．12
答案C
解析如图,依题意,目标函数z＝（x－2)2＋y2可视为可行域内的点与点D（2，0）距离的平方，作出可行域(如图中阴影部分所示)，观察计算，｜DC｜＝|DB|＝10>|DA|＝错误!.故选C。

22．（2019·江西五市联考）已知实数x，y满足不等式组错误!若点
P（2a＋b,3a－b）在该不等式组所表示的平面区域内，则b＋2
a－1
的取值
范围是( ）
A．[－12，－7] B．错误!
C。

错误!D．[－12，－2］
答案 C
解析 因为点P (2a ＋b,3a －b ）在不等式组错误!所表示的平面区域内，所以错误!即错误!其表示的平面区域是以A 错误!，B 错误!，C 错误!为顶
点的三角形区域(包括边界).b ＋2
a －1
可看作是可行域内的点与点M （1，－
2)连线的斜率，所以k MB ≤错误!≤k MC ，即－12≤错误!≤－错误!.
23．（2019·东北三校联考）若实数x ,y 满足约束条件错误!则｜3x －4y －10｜的最大值为（ ）
A 。

错误!
B ．10
C ．7
D ．12
答案 A
解析 作出实数x ，y 在约束条件下的平面区域(如图中阴影部分所示)，令z ＝3x －4y －10，则作出直线3x －4y ＝0,并平行移动，当直线经过点A （1，0)时，z max ＝3－10＝－7；当直线经过点B 错误!时，z min ＝3
4
－3－10＝－错误!，即－错误!≤z ＝3x －4y －10≤－7，从而7≤|3x －4y －10|≤错误!，所求的｜3x －4y －10|的最大值为错误!。

24．(2019·广州市高三调研）已知实数x ，y 满足错误!则z ＝错误!
x
·错误!y 的最小值为________．
答案
错误!
解析 不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示（不包括线段OA ):
z＝错误!x错误!y＝错误!2x错误!y＝错误!2x＋y，
当t＝2x＋y经过点B（1，2)时有最大值为4，
此时,z有最小值为错误!4＝错误!.
一、高考大题
1．（2017·天津高考）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分
钟）广告播放时长(分
钟）
收视人次（万)
甲70560
乙60525
钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（1）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解(1）由已知，x，y满足的数学关系式为
错误!即错误!
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2）设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
将z＝60x＋25y变形为y＝－错误!x＋错误!，这是斜率为－错误!,随z 变化的一族平行直线。

错误!为直线在y轴上的截距，当错误!取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知,当直线z＝60x＋25y 经过可行域上的点M时，截距错误!最大，即z最大．解方程组错误!得错误!则点M的坐标为（6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
二、模拟大题
2．（2019·宁德期中）雾霾天气严重影响人们的生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时,不仅要考虑可
能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%,可能的最大亏损率分别为20%和10％，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过1。

4万元．（1）若投资人用x万元投资甲项目，y万元投资乙项目，试写出x，y所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x，y范围的图形;
（2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解（1）由题意，知x，y满足的条件为
错误!即错误!
上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界)．
（2）根据第一问的规划和题设条件，依题意
可知目标函数为z＝x＋0。

6y，在下图中,作直线l0：x＋0.6y＝0，平移直线l0,当经过直线x＋y＝9与2x＋y＝14的交点A时，其纵截距最大，
联立x＋y＝9与2x＋y＝14,解得x＝5,y＝4,即A（5,4),此时z＝5＋0.6×4＝7.4，
所以当x＝5，y＝4时，z取得最大值7。

4，
即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目,才能使可能的盈利最大．。