植树问题

植树问题
例1．有一条公路全长为1250米，在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵槐树．问：可栽槐树多少棵？
思路分析：若以两棵槐树之间的距离用作分段的标准，公路长可分为若干段．由于公路的两端都要求栽树，所以要栽的棵数比分成的段数多1．
例题解答：
以25米为一段，公路的全长可分的段数为：
1250÷25＝50(段)
栽槐树的棵数为：
50＋1＝51(棵)
答：可栽槐树51棵．
方法指导：
植树栽花，美化环境．为了不浪费树苗和花卉，概括不同的需要，在栽种前应计算出栽树、栽花的棵数．这样的数学问题我们把它称为植树问题．本题是植树问题中植树线路不封闭的一种，并要求植树线
路的两端都要植树．那么路的全长、植树的棵数、间隔三量之间的关系是：
棵数＝全长÷间隔长＋1
全长＝间隔×(棵数－1)
间隔长＝全长÷(棵数－1)
只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
例2．一个圆形池塘，它的周长是300米，每隔5米栽一棵柳树，需要树苗多少棵？
思路分析：
在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的棵数正好等于分成的段数．
例题解答：
以5米为一段，圆形池塘一共可分为：
300÷5＝60(段)
所以需要树苗60棵．
答：需要树苗60棵．
方法指导：本题是植树问题中植树线路封闭的一种，在圆、正方形、长方形等闭合曲线上植树，由于首尾相接，两端重合在一起，所以全长、间隔数、棵数三量之间的关系是：
棵数＝全长÷间隔数
全长＝间隔数×棵数
间隔长＝全长÷棵数
只要知道其中的两个量，便可求出第三个量．
例3．在20米的路边种树，从一端起，每隔5米种一棵，一共需要种多少棵？
思路分析：我们可以画出示意图：
从图上可以看出，每隔5米种1棵，20米长的路上共种5棵．因为我们首先要在这条路的顶端种上1棵，然后每隔5米再种1棵，就是说要种的棵数比分的段数要多1．
例题解答：
20÷5＋1＝4＋1＝5(棵)
答：一共要种5棵．
方法指导：
例4．从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧从头到尾每隔15米栽一棵桃树，需要多少棵桃树？
思路分析：这条路线是不封闭的，总长为900米，每两棵树之间的距离是15米，所以段数是900÷15＝60(段)．题目要求从头到尾都栽树，所以一侧栽的棵数比分成的段数要多1，即60＋1＝61(棵)，那么小路两侧都种树的棵数就可以求出了．
(900÷15＋1)×2＝61×2＝122(棵)
答：需要122棵桃树．
例5．学校进行100米短跑比赛，在100米跑道两旁，每隔10米插1面彩旗，两端都插，一共插了多少面彩旗？
思路分析：路线不封闭．总长为100米，以10米为一段，所以段数为100÷10＝10(段)，因为两端都要插，所以跑道的一侧插彩旗的面数是10＋1＝11(面)．
例题解答：
(100÷10＋1)×2＝11×2＝22(面)
答：一共插了22面彩旗．
例6．有16名学生排成一排，要求在每2名学生中间放2盆花，需要摆放几盆？
思路分析：如果每两名学生中间看作一段的话，那么16名学生共有15段，每一段放2盆花，就应该放2×15＝30(盆)．例题解答：
2×(16－1)＝30(盆)
答：需要摆放30盆花．
例7．一条公路长500米，在路的两边每隔20米栽一棵树，起点和终点是站牌，不用栽树．一共栽多少棵树？
思路分析：栽树的路线不封闭，总长是500米，每两棵树间的距离是20米，所以段数是500÷20＝25(段)．因为起点和终点都不用栽树，如下图所示：
所以要栽的棵数比分成的段数要少1，即路的一侧栽的棵数是25－1＝24(棵)．那么路两边的棵数也就可以求出来了．
例题解答：
(500÷20－1)×2＝24×2＝48(棵)
答：一共栽48棵．
例8．植树节到了，同学们给一条长90米的小路的一旁栽树，每隔3米栽一棵．
(1)如两端都各栽一棵，需要多少棵树？
(2)如只有一端栽树，需要多少棵树？
(3)如两端都不栽树？需要多少棵树？
思路分析： (1)路线不封闭，两端都各栽一棵，所以栽的棵数比所分段数要多1．
例题解答：
90÷3＋1＝31(棵)
答：需要31棵树．
思路分析：(2)这题段数是90÷3＝30(段)，因为只有一端栽树，如下图所示：
所以栽的棵树和所分段数相等．
例题解答：
90÷3＝30(棵)
答：需要30棵树．
思路分析：(3)因为两端都不栽树，所以比上题少1棵．
例题解答：
90÷3－1＝29(棵)
答：需要29棵树．
方法指导：解植树问题就要弄清有几段．在不封闭线路上植树时，如果两端都可以栽一棵树，那么植树棵数比所分的段数要多1棵数＝段数＋1；如果只有一端植树，那么植树棵数与所分的段数相等，棵数＝段数；如果两端都不植树，那么植树棵数应比所分的段数少1棵数＝段数－1．
例9．在一段公路的一旁栽95棵树，两头都栽，每两棵之间相距5米，这段公路长多少米？
思路分析：以两棵树之间的距离为一段．题目要求两头都栽，所以一共分为95－1＝94(段)，因为每两棵树之间的距离为5米，因此全长为5×94＝470(米)．
例题解答：
5×(95－1)＝5×94＝470(米)
答：这段公路长470米．
例10．某工厂在道路一侧插彩旗，每隔4米插1面彩旗，从起点到终点共插了8面．问工厂这条道路长多少米？
思路分析：根据“从起点到终点共插了8面”，可以知道中间一共分了8－1＝7(段)，每两面旗之间的距离为4米，所以道路全长是4×7＝28(米)．
例题解答：
4×(8－1)＝4×7＝28(米)
答：工厂这条道路长28米．
例11．实验小学三年级120名学生到展览馆观看《爱国主义图片展览》，他们排成两条纵队，前后两同学相距1米．这条队伍首尾的学生相隔多少米？
思路分析：120名学生排成两条纵队，可以求出每条纵队共有120÷2＝60(人)，这相当于植树问题中树木的棵数；“前后两同学相距1米”相当于每两棵树之间的距离．因此，可以求出这条队伍的长度，即这条队伍首尾学生相隔的米数为1×59＝59(米)．
例题解答：
1×(120÷2－1)＝1×59＝59(米)
答：这条队伍首尾的学生相隔59米．
例12．某城市举行马拉松长跑比赛，从市体育馆出发，最后再回到市体育馆，全长42千米，沿途等距设茶水站7个，求每两个相邻的茶水站之间的距离．
思路分析：这实际上是一个在封闭路上的植树问题，总线长为4 2千米，共设有7个茶水站，因此总长被分为7段，也就是段数为7．要求每两个相邻的茶水站之间的距离也就是树距．
例题解答：
42÷7＝6(千米)
答：每两个相邻的茶水站之间的距离为6千米．
例13．在40米长的走道一侧栽树，起点和终点都要栽一棵，一共栽了5棵，相邻两棵树之间的距离都相等，求相邻两棵树之间相距多少米？
思路分析：根据“起点和终点都要栽1棵，一共栽了5棵”，可知40米长的走道平均分成5－1＝4(段)，每段是40÷4＝10(米)．例题解答：
40÷(5－1)＝40÷4＝10(米)
答：相邻两棵树之间相距10米．
方法指导：
解以上这类题时，根据段数＝总长÷树距．由此可得到总长＝树距×段数；树距＝总长÷段数．
例14．把一根木头锯断，要2分钟．把这根木头锯成4段，要几分钟？
思路分析：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟．而把这根木头锯成4段，需要锯3次，也就是需要3个2分钟．
例题解答：
2×(4－1)＝2×3＝6(分)
答：要6分钟．
例15．有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处，需要3分钟，全部锯完需要多少时间？
思路分析：一根木料锯成3段，只需在中间锯开2处，三根木料一共要锯开2×3＝6(处)，每锯开一处要3分钟．全部锯完一共需要3×6＝18(分)．
例题解答：
3×[(3－1)×3]＝3×6＝18(分)
答：全部锯完需18分钟．
方法指导：锯木头问题、上楼梯问题等都可以用植树问题的方法来解答．它们中就是考虑有几个间隔(或几层，或几次)，就相当于植树问题中考虑的有几段．
例16．一个圆形花坛，它的周长是320米，每隔8米栽一棵柏树，需要栽多少棵？
思路分析：这是在一条封闭的线路上栽树，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵是重合在一起的，所以可栽的棵数正好等于所分的段数．以8米为一段，圆形花坛的周围长度一共可分成320÷8＝40 (段)，即可栽树40棵．
例题解答：
320÷8＝40(棵)
答：需要栽树40棵．
例17．一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，中间栽一棵桃树，湖泊周围各栽了多少棵柳树和桃树？
思路分析：在封闭线路上植树，每3米为一段，柳树棵数等于段数．又每两棵柳树中间栽一棵桃树，也就是每段栽一棵桃树，所以桃树的棵数也和段数相等．
例题解答：
1800÷3＝600(棵)
答：湖泊周围柳树和桃树各栽了600棵．
例18．有一个池塘，绕着它的周围走一圈是4500米，要求每隔15米栽一棵杨树，再在每相邻的两棵杨树之间等距离栽2棵柳树．问需要多少棵杨树？多少棵柳树？相邻两棵杨树之间的两棵柳树相距多少米？
思路分析：以15米为一段，池塘的一周可以分为4500÷15＝30 0(段)．由于是在池塘的周围植树，首尾两棵重合，所以栽的棵数恰好等于所分的段数，即杨树可栽300棵；又因为在每相邻的两棵杨树之间等距离栽2棵柳树，也就是每段里有2棵柳树，所以柳树的棵数是2×300＝600(棵)；在相邻的两棵杨树之间等距离地栽了2棵柳树，就是说在4棵树(2棵杨树和2棵柳树)之间有3段相等的距离，所以两棵相邻的杨树之间的两棵柳树相距15÷(2＋1)＝5(米)．
例题解答：
(1)杨树的棵数是：
4500÷15＝300(棵)
(2)柳树的棵数是：
2×300＝600(棵)
(3)相邻两棵杨树之间的两棵柳树相隔的距离是：
15÷(2＋1)＝5(米)
答：需要300棵杨树，600棵柳树，相邻两棵杨树之间的两棵柳树相距5米．
例19．在一个正方形池塘的四边上植树，每边栽10棵(四个角上都栽一棵)，四边一共栽了多少棵？
思路分析：这是在封闭的线路上植树的问题．树的棵数和所分的段数相等．正方形每边上有10－1＝9(段)，四边一共有9×4＝36(段)，即一共栽了36棵．
例题解答：
(10－1)×4＝36(棵)
答：四边一共栽了36棵．
例20．有一个水池周长是50米，在水池周围每隔5米种一棵柳树，一共要种多少棵？
思路分析：不论这个水池是什么形状，种的树可以围成一个封闭的路线．所以种的棵数等于所分段数．因为以5米为一段．一共可分50÷5＝10(段)，即一共要种10棵．
例题解答：
50÷5＝10(棵)
答：一共要种10棵．
方法指导：在封闭线路(如四边形、圆、三角形、封闭曲线等)上植树时，植树的棵数等于所分的段数．
例21．马路的两边每相隔8米种一棵杨树，王叔叔沿着这条马路骑自行车到工厂去上班，2分钟经过了马路一边的71棵杨树．照这样的速度，他从家到工厂要用5分钟．王叔叔的家到工厂的路程是多少米？
思路分析：要求王叔叔的家到工厂的路程，就必须知道速度和用的时间．时间已知，关键是求出速度．由题意可知，解答这道题先要求出了1棵杨树首尾两棵间的距离，这是一个不封闭线路上的植树问题．所分的段数＝71－1＝70(段)，因而2分钟行的路程是8×70＝5 60(米)，每分钟行的路程是560÷2＝280(米)．
例题解答：
8×(71－1)÷2×5
＝280×5
＝1400(米)
答：王叔叔的家到工厂的路程是1400米．。