黑龙江省海拉尔第二中学高三数学第四次阶段考试试题(科)

海拉尔第二中学2009届高三第四次阶段考试试题
文科数学 (2009.3、6) 时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题要求的）
1．全集U=R,集合{1,0,1}A =-，2
{0}1
x B x
x -=>+，则()U A C B ⋂=（ ） .{0,1}A .{0,1,2}B C.{1,0,1}- .D ∅
2.已知条件p ：1+x ＞2，条件q ：5x －6＞2x ，则p ⌝是q ⌝的 （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件
（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A.2
2
a b < B.2
2
a b ab < C
22
11ab a b
< D.b a a b < 4．已知等差数列{n a }中，256,15a a ==，若2n n b a =，则数列{n b }的前5项和等于（ ）
A.30
B.45
C.90
D.186 5．将y =2cos(3x +6π)的图象按向量a =(-4
π
,2-)平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
A ．y =2cos(3x +
4
π)-2 B ．y =2cos(3x -4π
)-2
C ．y =2cos(
3
x
+12π)-2 D ．y =2cos(3x +4
π)+2 6．已知双曲线22
2116
x y a -
=右支上一点P 到左右两焦点的距离之差为6，P 到左准线的距离为
34
5，则P 到右焦点距离为（ ） A 345 B 163 C 343
D 165
7.若实数y x ,满足122=+y x ，则)1)(1(xy xy +-的最小值为
A. 1 B .
21 C. 41 D . 4
3 8.五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，
符合条件的排法共有（ ）
A ．48种
B ．192种
C ．240种
D ．288种
9．点P （x ,y ）在直线4x +3y =0上且满足-14≤x -y ≤7,则点P 与坐标原点距离的取值范围是（ ）
A ．[0，5] B[0，10] C[5,10 ] D[5,15]、
10．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球 的表面积是
A ．202π
B ．252π
C ．50π
D ．200π
11．已知对任意实数x .都有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且x ＞0时，'()f x ＞0，
'()g x -＞0，则x ＜0时有（ ）
A '()f x ＞0，'()g x -＞0
B '()f x ＞0，'()g x -＜0
C '()f x ＜0，'()g x -＞0，
D '()f x ＜0，'()g x -＜0
12.如右图，△ADP 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥面ABCD.M 为平面ABCD 内的动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（O 为正方形ABCD 的中心）（ ）
A B C
D
P
M
A B C D
2009届海拉尔第二中学高三第四次阶段考试数学试题（文）
2009.3.6
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线
的方程是__________. 14.3
22()x x
-
展开式中的常数项是：____________________. 15 .P （3，1）是圆021422=--+x y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是： .
16.①存在实数1cos sin ,=ααα使；②存在实数2
3
cos sin ,=+ααα使 ③)22
5sin(x y -=π是偶函数；④)4
5
2sin(8ππ
+==
x y x 是函数的一条对称轴方程；⑤若α、βαβtan tan ,>则是第一象限角
其中正确命题的序号是 .（注：把所有正确命题的序号都填上
三.解答题：本大题共6小题，共计70分.
17.（本小题满分10分）一个袋中有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是
79
. （1）求白球的个数；
（2）求从袋中任意摸出3个球，至多有一个白球的概率.
18. （本小题满分12分） 在三角形ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos b C a c B =- （Ⅰ）求B ∠的大小
（Ⅱ）若b =4a c +=，求三角形ABC 的面积.
19. （本小题满分12分）
已知如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=1，BC=2，又PB ⊥平面ABCD ，且PB=1，点E 在棱PD 上，且DE=2PE. （1）求异面直线PA 与CD 所成的角的大小； （2）求证：BE ⊥平面PCD ；
（3）求二面角A —PD —B 的大小.
A B C E
P 第19题
20. （本小题满分12分）已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，它们的图象在1=x 处有相同的切线. （1）.求函数)(x f 和)(x g 的解析式.
（2）.如果)()()(x mg x f x F -=在区间]3,2
1
⎢⎣⎡上是单调增函数，求实数m 的取值范围。

21.已知)2(4
1)(2
-<-=
x x x f ，)(x f 的反函数为)(x g ，点)1,(1
+-
n n a a A 在曲线
)(x g y =上)(*∈N n ，且11=a (I)求)(x g y =的表达式； (II)证明数列{
2
1n
a }为等差数
列；(Ⅲ)设1
111++=
n n n a a b ,记n n b b b S +++= 21，求n S （本小题满分12分）
22、（本小题满分12分）已知方向向量为()
3 1，=v 的直线l 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1
(a ＞b ＞0)的焦点以及点(0，32-)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的 右准线上。

⑴求椭圆C 的方程。

⑵过点E(-2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足
0cot 63
4
≠∠=⋅MON ，(O 为坐标原点)，求直线m 的方程。

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 密 封 线 内 不 要 答 题 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
2009届海拉尔第二中学高三第四次阶段考试试题答案（文科）
一、选择题：CBCCAB DBBCBA
二、填空题
13.19
22
=-y x 14. －6 15：04=-+y x 16. ③④ 17．解（1）设袋中白球的个数为x ，则2102107
19
x C C --=……3分
又x ∈N ∴x ＝5
故白球有5个 ……6分
（2）21
25552
210101
2
C C C P C C =+= ……10分 18.（Ⅰ）由已知及正弦定理可得
C B B A C B sin cos cos sin 2cos sin -=
∴()C B C B C B B A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2 又在三角形ABC 中，()0sin sin ≠=+A C B ∴A B A sin cos sin 2=，即21cos =
B ， 3
π
=B （Ⅱ）∵2
2
2
72cos b a c ac B ==+- ∴2
2
7a c ac =+-
又∵()ac c a c a 216222
++==+ ∴3=ac
∴1sin 2ABC S ac B ∆=
即13224
ABC S ∆=⋅= 19.：如图解法一：（1）取BC 中点F ，连结AF ，则CF=AD ，且CF ∥AD ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，∴AF ∥CD.
∴∠PAF （或其补角）为异面直线PA 与CD 所成的角. ∵PB ⊥平面ABCD, ∴PB ⊥BA ，PB ⊥BF. ∵PB=AB=BF=1， ,AB BC ∴⊥∴
,60PAF PAF ∴∆∠=︒是正三角形
即异面直线PA 与CD 所成的角等于60︒.…………………………………………………4分
（2
）,1,Rt PBD PB BD ∆==∴在中
2,DE PE PE =∴=
则
PE PB PB PD ==
~PBE PDB ∴∆∆ BE PD ∴⊥.
由（1）知，,90CF BF DF CDB ==∴∠=︒..
,,.CD BD BCD PB CD ∴⊥⊥∴⊥又PB 平面 ,,,PB BD B CD PBD CD BE =∴⊥∴⊥平面
,.CD PD D BE PCD =∴⊥平面……………………………………………………8分
（3）设AF 与BD 的交点为O ，则AO BD ⊥.
,.PB PBD ABD AO PBD ⊥∴⊥∴⊥平面ABCD,平面平面平面
过点O 作OH PD ⊥于点H ，连结AH ，则AH PD ⊥.
AHO A PD B ∴∠--为二面角的平面角。

在,2
Rt ABD AO ∆=
中.
在2,3PA AD Rt PAD AH
PD ∆=
=
=
中
在,sin 2AO Rt AOH AHO AH ∆∠===中.
60,AHO A PD B ∴∠=︒--︒即二面角的大小为60 (12)
分
解法二以B 为原点，分别以BC 、BA 、BP 为x ，y 、z
(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),B C A D P DE =又112
(,,)333
E ∴…………………………2分
（1）
(0,1,1),(1,1,0)PA CD =-=-………………3分
1
cos ,2
||||22PA CD PA CD PA CD ∴<>===………4分
60PA CD ∴︒异面直线与所成的角为.…………………………………………………5分 （2）
112
(,,),(1,1,1),(2,0,1).333BE PD PC ==-=-
112
11(1)0.333
BE PD ∴=⨯+⨯+⨯-= (6)
分
11220(1)0.333
B E P C
=⨯+⨯+⨯-=…………………………………………………7分 ,,BE PD BE PC PD PC P ∴⊥⊥=又.
.AB PCD ∴⊥平面………………………………………………………………………8分
（3）设平面PAD 的一个法向量为0000
(,,),0
0n PA y z n x y z x y z n PD ⎧=-=⎧⎪=⎨
⎨++==⎩⎪⎩则由得.
令01,(2,1,1).z n ==-则…………………………………………………………………9分
(0,0,1)BP =又，设平面PBD 的法向量为1111(,,),n x y z =
1111110
00
0z n BP x y z n PD ⎧==⎧⎪⎨⎨+-==⎩⎪⎩则由得
令111,(1,1,0)x n ==-则…………………………………………………………………10分
010101cos ,||||62
n n n n n n ∴<>=
== 01,120n n ∴<>=︒
又二面角A —PD —B 为锐二面角，故二面角A —PD —B 的大小为 20、.解：（1）.x x g a x x f 4)(,3)('2'=+=
由已知条件得)1()1(),1()1(''g f g f == 所以得0,1==b a
232)(,)(x x g x x x f =+=∴
（2）.mx x x F mx x x x mg x f x F 413)(2)()()(2
'23-+=⇒-+=-=
)()()(x mg x f x F -=在区间]3,2
1
⎢⎣⎡上是单调增函数，则0)('≥x F
x x x x m 41434132+=+≤，令2
316324143)(=
≥+=x x x h 当且仅当33=x 时取等号，所以2
3
≤
m 。

21.解：（Ⅰ）由y =
4
12
-x 得2
214y x =
-，∴2
214y x +
=
∵x <—2，∴2
14y x +
-=，∴g(x )= 2
14x +
-（x >0） ……3分
(II)∵点A n (a n ,1
1+-
n a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +)，∴1
1+-
n a =g (a n )=2
14n
a +
-，并且a n >0
2
1
141n
n a a +
=∴
+，),1(4112
2
1
N n n a a n
n ∈≥=-
∴
+，∴数列{
2
1n a }为等差数列 …7分
(III)∵数列{2
1n a }为等差数列，并且首项为211
a =1，公差为4，
∴
2
1n a =1+4（n —1），∴3
41
2-=
n a n ，∵a n >0，∴3
41-=n a n ， ……9分
b n ＝1111
++n n a a =4
341414341--+=++-n n n n , ∴S n ＝b 1＋b 2+...＋b n =43414. (4)
59415--+++-+-n n =4114-+n 22.
解：⑴直线: l y =-l
的直线方程为y x =② 解①②得32
x =，∵椭圆中心O(0，0)关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上， ∴23232
a c =⨯=， …………………（2分） ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴222, 6, 2c a
b ===，
故椭圆C 的方程为22
162
x y += ③…………………（4分） ⑵当直线m 的斜率存在时，设: (2)m y k x =+ ，代入③并整理得
2222(31)121260k x k x k +++-=，设1122(,) (,)M x y N x y ，
， 则2212122212126, 3131
k k x x x x k k -+=⋅=++……………（5分）
∴2122)31
k MN x k +=-=+，……（7分）
点O 到直线m 的距离1d k
=+.
∵4OM ON MON ⋅=∠，即c o s c s 6s i n
M O N O M O N M O
M O N ∠⋅=⋅∠， 又由0≠⋅
ON OM 得
c o s
0M O N ∠≠， ∴sin OMN OM ON MON S ⋅∠=⇒
=…………………………（9分） 而12OMN
S MN d =⋅
，∴MN d ⋅=
=， 解得3k =±，此时: (2)3
m y x =±+ …………………………………（11分） 当直线m 的斜率不存在时，: 2m x =-，也有OMN S = 经检验，上述直线m 均满足0OM ON ⋅≠，
故直线m 的方程为 20 2x y x +==-或。