问题9.2 推理问题的常见求解策略-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，它包括合情推理与演绎推理，合情推理又包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．演绎推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现，演绎推理常和其他知识交汇，以解答题形式出现，下面分别总结几类推理问题的求解策略，共同学们参考。

一、归纳推理的求解策略
(1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
(2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论．
(3)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳．
【例1】某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二
级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13
的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．
n 级分形图中共有________条线段．
【牛刀小试】观察下列等式： 23333233323323104321632132111=+++=++=+=，，，，，
⋅⋅⋅根据上述规律，第n 个等式为 ．
二、类比推理的求解策略
在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象
就去类比，就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.
【例2】在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2 A ＋cos 2 B ＝1.试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．
【牛刀小试】已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N )，则a m ＋n ＝nb －ma n －m
.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N )，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N )，则可以得到b m ＋n ＝________.
三、演绎推理的求解策略
演绎推理的模式为：
三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做 出的判断.
应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2n S n
(n ∈N ＋)．证明： (1)数列{S n n
}是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .
【牛刀小试】下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（ ）
A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【迁移运用】
1．【2017届陕西省西安市高三模拟（一）数学（理）】有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为_____、_____、______、______．
2．【2017届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试数学（理）】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设错误！未找到引用源。

，用错误！未找到引用源。

表示不超过错误！未找到引用源。

的最大整数，并用错误！未找到引用源。

表示错误！未找到引用源。

的非负纯小数，则错误！未找到引用源。

称为高斯函数，已知数列错误！未找到引用源。

满足：错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

__________．
3．【2017届云南曲靖一中高三文上学期月考四】如图是一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为．
4．【2017届黑龙江虎林一中高三文上学期月考三】我们把1,4,9,16,25,...这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形(如图)．
由此可推得第n 个正方形数是__________.
5．【2017届湖南长沙一中高三文月考五】高三（1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步.
①A不在散步，也不在打篮球；
②B不在跳舞，也不在跑步；
③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；
④D 不在打篮球，也不在跑步；
⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.
以上命题都是真命题，那么D 在 .
6．【2017届重庆巴蜀中学高三文12月月考】已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为2222(133)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯=++++=参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .
7．【2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二理下学期期末】设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ，c 为斜边长，则给出四个命题：
①a b c h +>+；②2222a b c h +<+；③3333a b c h +>+；④4444a b c h +<+．
其中真命题的序号是 ，进一步类比得到的一般结论是 ．
8. 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4(从左至右) 出现在第3行; 数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为_________.
9．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理_____________不正确
10．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为_________.
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
… … …
11．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是_______________.
12．【2016届宁夏回族自治区银川一中高三上第四次月考】如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
13．【2016届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】一个二元码是由0和1组成的数字串()12*n x x x n N ⋅⋅⋅∈，其中()1,2,,k x k n =⋅⋅⋅称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码127x x x ⋅⋅⋅的码元满足如下校验方程组：456723671
357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：
000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于____________.
14.【2016届湖北省龙泉中学、宜昌一中高三10月联考】老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，
四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了．
15．【2016届黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高三上期】已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：12,x x +≥ 22443,22x x x x x +=++≥ 3327274,333x x x x x x +=+++≥类比得：*1()n a x n n N x
+≥+∈，则a =___________．
16．【2016届宁夏回族自治区银川一中高三上第四次月考】如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras ）的生长程
序:正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为．。