高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第3章3.1.5

3.1.5 空间向量的数量积
一、基础过关
1． “a·b <0”是〈a ，b 〉为钝角的______________条件．
2． 已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.
3． 设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离CM 的值为________．
4． 已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．
5． 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________.
6． 已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________．
7． 与a ＝(2，－1,2)共线且知足a·z ＝－18的向量z ＝________.
二、能力提升
8． 已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________.
9． 向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 和b 的夹角是________．
10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4
，求x ＋y 与xy 的值． 11．
如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .
求证：C 1C ⊥BD .
12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求〈BE →，
SC →〉．
三、探讨与拓展
13．
如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD ′⊥α于D ′，若是∠DBD ′＝30°，AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求CD 的长．
答案 1．必要不充分 2．13 3．532
4．60° 5．－4 6．65 7．(－4,2，－4) 8．120° 9．60°
10．解 ∵a 与c 的夹角为π4
. ∴cos π4＝a·c |a||c |
＝(x ，y ，0)·(1，1，1)3·x 2＋y 2＝22. 化简得x ＋y ＝62
·x 2＋y 2.① 又|a |2＝x 2＋y 2＝1，②
将②代入①，得x ＋y ＝62
， 从而(x ＋y )2＝32，∴xy ＝14
. 11．证明 设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ， 依题意，|a |＝|b |，
又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ，
于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ，
CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b
＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0，所以C 1C ⊥BD .
12．
解 成立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2，可以求得SO ＝
22
.则 B ⎝⎛
⎭
⎫32，32，0， A ⎝⎛⎭
⎫32，－32，0， C ⎝⎛⎭⎫－32，32，0，S ⎝⎛⎭⎫0，0，22. 由于E 为SA 的中点，
所以E ⎝⎛
⎭⎫34
，－34，24， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－34
，－334，24， SC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－22，
因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2，
所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2
＝－12，所以〈BE →，SC →〉＝120°. 13．解 由AC ⊥α，可知AC ⊥AB .
由∠DBD ′＝30°，可知〈CA →，BD →〉＝60°，
∵|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2
＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝b 2＋a 2＋b 2＋2(0＋b 2cos 60°＋0)＝a 2＋3b 2，
∴|CD →|＝a 2＋3b 2，
即CD ＝
a 2＋3
b 2.。