极坐标

极坐标系
1．极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ). 一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.
点P (ρ，θ0)中，若ρ<0，则表示点P 在射线θ＝θ0的反向延长线上，且|OP |＝|ρ|. 2．极坐标与直角坐标的互化
设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则他们之间的关系为： ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). [例1]．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2
2(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．
[例2] (2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩
⎨⎧
x ＝2＋7cos α，
y ＝7sin α(α为参数)．以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π
3
(ρ∈R )．
(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 2上的动点，求△PAB 面积的最大值．
[例3]．(2020·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，
y ＝3sin α(α为参数)，直线l ：
2x ＋y ＝8，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；
(2)点P 在直线l 上，射线OP 交曲线C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足2|OR |2＝9|OP |·|OQ |，求点Q 的轨迹的直角坐标方程．
[例4] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .
(1)当θ0＝π
3
时，求ρ0及l 的极坐标方程；
(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
过关检测1
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝
⎛⎭⎫1，－π
2 C ．(1,0) D ．(1，π) 2．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )
A ．ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2
B ．ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4
C ．ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2
D ．ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π
4 3．将极坐标⎝
⎛⎭⎫2，3π
2化为直角坐标为________． 4．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π
2且与极轴平行的直线方程是________． 5．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．
6．在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2cos α，
y ＝4＋2sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为θ＝
3π
4
(ρ∈R )． (1)求圆C 1的极坐标方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)设C 1与C 2的交点为P ，Q ，求△C 1PQ 的面积．
7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.
(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标．
9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α
(α为参数)，直线C 2的方程为y
＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |
.
10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求α的值．
参数方程
知识梳理
1．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程
2.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l
上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：只有标准形式中的参数才具有如下常用结论：
(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪
t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|；(4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.
典例剖析
考点一 参数方程与普通方程的互化
要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．
[例1]．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
[例2]．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－8＋t ，y ＝t
2
(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2s 2，
y ＝22s
(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
考点二 直线参数方程的应用
[例3].已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，0≤α<π)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2＋1＝2ρcos θ＋4ρsin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求α的值．
[例4]．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋t ，y ＝－2＋t (t 为参数)．以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1，C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－3π4，求1|PA |＋1
|PB |的值．
[例5]．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
考点三 圆与椭圆参数方程的应用
[例6] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝2sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.
(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．
[例7].在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1
的极坐标方程为ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－2＝0，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，C 1与C 2相交于A ，B 两点．
(1)把C 1和C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A ，B 的直角坐标； (2)若P 为C 1上的动点，求|PA |2＋|PB |2的取值范围．
过关检测2
1．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝2＋22t ，
y ＝1＋2
2
t (t 为参数)的普通方程为________．
2．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)的右
顶点，则常数a ＝________.
3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐
标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t 2，
y ＝22t
(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为
________．
4．已知极坐标系中，点M ⎝
⎛⎭⎫42，π
4，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝12
1＋2sin 2θ
，点N 在曲线C 上运动，以极
点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6＋t ，y ＝t
(t 为参数)．
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的参数方程； (2)求线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最小值．
5．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭
⎫π
4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.
6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos α，
y ＝3sin α(α为参数)．
(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；
(2)过点B (－1,1)与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值．
7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；
(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π
3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP |
|AM |·|AN |的值．。