高阶等差数列

⾼阶等差数列
⾼阶等差数列
对于⼀个给定的数列，将连续两项之间的差$ b_n=a_{n+1}-a_n得到⼀个新的数列，那么b_n称为原数列的⼀阶等差数列，若c_n=b_{n+1}-b_n，那么c_n$称为原数列的⼆阶等差数列，以此类推...
⾼阶等差数列都有⼀个多项式的通项公式。

差分法
给定序列a，依次求出该序列的k阶等差序列，直到某个序列全为0为⽌，按照下列排列规则排列在纸上
C1n a1a2a3a4a5...C2n b1b2b3b4...C3n c1c2c3... ... ... ...C m n 0 0...
上表称为序列a的差分表
定理⼀
若序列a a a的多项式P ( x ) P(x)P(x)的最⾼幂次为n n n，对于任何的k ≥ n k\geq n k≥n，k k k阶差分恒为0 00
定理⼆
序列的前缀和S n=a1C1n+b1C2n+c1C3n+...+0C m n，那么通项公式a n=S n−S n−1
案例引⼊
设a[i]=1,4,9,16,25,...
差分表如下：
C1n 1 4 9 16 25...C2n 3 5 7 9...C3n 2 2 2...C4n 0 0...
那么S n=C1n+3C2n+2C3n，然后可得S n=n(n+1)(2n+1)
6,a
n=S n−S n−1=n2。