高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版

平面向量的基本定理及坐标表示
自主梳理
1．平面向量基本定理
定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.
1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．夹角
（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ， 则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．
(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.
(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________．
2.(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π
2
a ⊥b
3．平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解． 3.互相垂直
4．平面向量的坐标表示：
①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．
4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴
②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是________的坐标，即若OA →
＝(x ，y )，则A 点坐标为__________，反之亦成立.(O 是坐标原点) ②终点A (x ，y )
注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.
5．平面向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模
已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________， a －b ＝________________________，λa ＝________________.|a |＝____________.
(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) x 21＋y 2
1 （2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． |AB →
|＝______________. (2)终点 始点 x 2－x 12＋y 2－y 12 6．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________．
x 1y 2－x 2y 1＝0
注意：.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成
x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等.
7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为_____________________．
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________．
7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33 点评：
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →
＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点
A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝
OA →
＝(x ，y ).
当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→
的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化.
基础检测
1.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________.(7,3)
2.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →
的坐标为____.(－3，－5)
3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.0
4.在平面坐标系内，已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0).给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →
； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是
( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于
( B )
A.3a ＋b
B.3a －b
C.－a ＋3b
D.a ＋3b
6．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32
＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是
“|a |＝5”的充分而不必要条件．]
7．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a∥b ，则锐角α为 ( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
B [∵a ∥b ，∴32×1
3
－sin αcos α＝0，
∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.]
8.已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →
＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π12
x 的图象上，
则实数λ等于 ( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－32
A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π
12
x 得，
－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝5
2
.]
9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1.
10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →
，它们的夹角为120° .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动， 若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______.
解析 建立如图所示的坐标系，
则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，
即B (－12，3
2
)．
设AOC ∠＝α,则OA →
＝ (cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →
＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－y
2，32y ＝(cos α，sin α)．
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y
2＝cos α，
32y ＝sin α.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
sin α
3
＋cos α，y ＝2sin α
3
，
∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值．
探究点一 平面向量基本定理的应用
例1如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为
DC ，BC 的中点，已知AM →
＝c ，AN →
＝d ，试用c ，d
表示AB →，AD →.
解 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ， ①
b ＝AM →＋MD →＝
c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2a .
②
将②代入①得
a ＝d ＋⎝
⎛⎭⎪⎫－12⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤c ＋⎝
⎛⎭⎪⎫－1
2
a ∴a ＝43d －23c ＝2
3(2d －c )，代入②
得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2
3(2d －c )＝23(2c －d ).
∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝2
3(2c －d ).
方法二 设AB →＝a ，AD →
＝b .
因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝1
2a ，
因而⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝b ＋1
2a d ＝a ＋1
2
b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2
32d －c b ＝2
3
2c －d
，
即AB →＝23(2d －c )，AD →＝2
3(2c －d ).
变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．
解析 如右图，OC →＝OD →＋OE →
＝λOA →＋μOB →
在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°，
可求|OD →|＝4，同理可求|OE →
|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.
（2）在△ABC 中，AD →＝14
AB →
，DE ∥BC ，与边
AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，
如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a 和b 表示DN →
. 解 ∵AD →＝14
AB →
，DE ∥BC ，M 为BC 中点，
∴DN →＝14BM →＝18BC →＝1
8(b －a ).
探究点二 平面向量的坐标运算
例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2) 求M 、N 的坐标及向量MN →
的坐标.
解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8).
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2) 设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →
＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20). ∴M (0,20).又∵CN →＝ON →－OC →
＝－2b ，
∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2).∴MN →
＝(9，－18).
变式训练2
（1） 已知点A （1，-2），若向量|AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →
|＝213，则点B 的坐标为________．
解析 ∵向量AB →
与a 同向，
∴设AB →
＝(2t,3t ) (t >0)． 由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2
＝4.
∵t >0，∴t ＝2.∴AB →
＝(4,6)．
设B 为(x ，y )，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1＝4，
y ＋2＝6. ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，
y ＝4.(5,4)
（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标.
解 如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)， D (x ，y ). (1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →
， 而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →
＝(－2，－5).
由AD 1→
＝BC →
，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＝－2，y ＝－5.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，
y ＝－5.∴D 1(－3，－5).
(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD →
2. 而AB →＝(4,0)，CD →
2＝(x －1，y ＋5).
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧ x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，
y ＝－5.∴D 2(5，－5).
(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD →3＝CB →
. 而AD →3＝(x ＋1，y )，CB →
＝(2,5)， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＝2，y ＝5.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝5.
∴D 3(1,5).
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5).
探究点三 在向量平行下求参数问题
例3 已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5
9
，n ＝8
9.
(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，
且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，
∴k ＝－16
13
.
(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)， a ＋b ＝(2,4)，
由题意得⎩
⎪⎨
⎪
⎧
4x －4－2y －1＝0x －4
2
＋y －1
2
＝5
，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝3y ＝－1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5y ＝3
，
∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3).
变式训练 3 （1）已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝
________.
解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，
且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－6
3
，∴k ＝5.
（2）已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1). ①求|a ＋3b |；
②当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？
解 ① 因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， ∴|a ＋3b |＝72
＋32
＝58.
②k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－1
3
.
此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，
即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反.
（3）已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4，5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →
， ①求点P 在第二象限的充要条件.
②证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线； ③试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形. ①解 OP →
＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，
P 在第二象限的充要条件是⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＋3t 2<0
2t 1＋3t 2>0有解.∴－3
2
t 2<t 1<－3t 2且t 2<0.
②证明 当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →
，
∴AP →＝t 2AB →
，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线. ③解 由OP →
＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，
得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况.
当OA →＝BP →
，有⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＋3t 2－4＝12t 1＋3t 2－5＝2⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＝2
t 2＝1；
当OA →＝PB →
，
有⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＋3t 2－4＝－12t 1＋3t 2－5＝－2⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＝0
t 2＝1；
当OP →＝BA →
，有⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＋3t 2＝－32t 1＋3t 2＝－3⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＝0
t 2＝－1.
点评：
1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．
2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →
＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应
的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标
可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →
＝(2,2)．
一、选择题
1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b ， (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )
A ．λ1＝λ2＝－1
B ．λ1＝λ2＝1
C ．λ1λ2－1＝0
D ．λ1λ2＋1＝0
1．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝kAC →⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]
2.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，
β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另
一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( D )
A.(2,0)
B.(0，－2)
C.(－2,0)
D.(0,2)
3．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2
－cos 2
α)和b ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫
m ，m
2＋sin α，其中λ、m 、α为实
数．若a ＝2b ，则λ
m
的取值范围是 ( ) A ．[－6,1] B ．[4,8] C ．(－∞，1] D ．[－1,6]
3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，
λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，
即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2
α＋2sin α.
又∵－2≤1－sin 2
α＋2sin α≤2，
∴－2≤4m 2
－9m ＋4≤2，解得14
≤m ≤2，
∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2
m
≤1.] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→
＝(2＋sin θ，2－cos
θ)，则向量P 1P 2→
长度的最大值是 ( ) A. 2 B. 3 C ．3 2 D ．2 3
5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →
等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)
二、填空题
6.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两
点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为______．
6．2
解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合， 则m ＋n ＝2.
方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM →＋nAN →
，
AO →＝m 2AM →＝m 2AM →
.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n 2
＝1. ∴m ＋n ＝2.
7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．(0，－2) 解析 设D 点的坐标为(x ，y )，
由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→
，
即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)
8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →
＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的
面积为________．3
S ＝|AB →|＝|ＢＣ→
|sin 60°＝2×2×
3
2
＝ 3. 三、解答题
9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE →＝
1
3
AC →，BF →＝13
BC →.求证：EF →∥AB →.
9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ
→
＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13AC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，23，
ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，
ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2
3
，1.
∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0. ∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8
3
，－23.
又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴ＥＦ→∥ＡB →.
10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos
A ，cos
B )，向量p ＝(22sin B ＋
C 2
，2sin A )，若m ∥n ，p 2
＝9，求证：△ABC 为等边三角
形．
证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A .
由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为三角形的内角，∴－π<A －B <π.
∴A ＝B . ∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C 2＋4sin 2
A ＝9.
∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2
A －4cos A ＋1＝0，
解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
∴△ABC 为等边三角形．
11.如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC →
，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .
(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；
（2）若m +n=1,求MN u u u u r
的最小值．
11．解 （1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→
，
设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12
λ(ＡB →＋AC →
)，
所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →
)，所以m ＝n .
（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12 (1－m )AB → ＋12
(1－n )AC →
，
又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB →
＋12
mAC →，
所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2
＋14m 2AC →2＋12
(1－m )mAB →·AC →
＝14(1－m )2
＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316. 故当m ＝12
时，|MN →
|min ＝34.
一、选择题
1.与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为
(C )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±12
13，±513
2.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →
＝(1,5)，则BC →
等于
(B )
A.(－2,7)
B.(－6,21)
C.(2，－7)
D.(6，－21)
3.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n
等于 ( C )
A.－2
B.2
C.－1
2
D.12
4．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于
( A )
A.(－3,6)
B.(3，－6)
C.(6，－3)
D.(－6,3)
5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2).若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、
d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为
( D )
A.(2,6)
B.(－2,6)
C.(2，－6)
D.(－2，－6)
二、填空题
6.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝___.(－2,0)或(－2,2)____________.
7.△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －
a )，且p∥q ，则角C ＝__60°______.
8.已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →
，则实数a ＝___2_____.
9.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为___
1
2_____.
10.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →
＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2
b
的最小值是___8_____.
三、解答题
11.a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨
⎪⎧
k －3＝10λ，
2k ＋2＝－4λ.
解得k ＝λ＝－1
3
，
∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－1
3(a －3b ).
∵λ＝－1
3
<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.
12.如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB →
＋3PC →
＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令 CP →
＝p ，试用p 表示PQ →
.
解 设PA →＝a ，PB →＝b ，由已知条件3CP →＝PA →＋2PB →， 即3p ＝a ＋2b ，PQ →＝λCP →＝λ
3
(a ＋2b )，
又PQ →＝PA →＋AQ →＝PA →＋μAB →＝PA →＋μ(PB →－PA →
)＝(1－μ)a ＋μb ，
由平面向量基本定理⎩⎪⎨⎪⎧
λ3＝1－μ
2λ
3＝μ
.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →
＝p .
13.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)， C (6,8). (1)求顶点D 的坐标；
(2)若DE →＝2EC →
，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标. 解 (1)设点D (x ，y )，因为AD →＝BC →
， 所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)， 所以顶点D 的坐标为(2,7).
(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，72，(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E ) ⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，52， BI →
＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →
⇒5
2
(x －4)＝－3(y －1)，又AE →∥AI →
⇒
233x ＝14
3
y ，联立方程组可
得x ＝9152，y ＝299104，
则点I 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪
⎫9152，299104.
14.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2
，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值. 8.(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，
有⎩
⎪⎨
⎪⎧
4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，
故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →
＝(4t 2,4t 2＋2).
∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A 、B 、M 三点共线.
(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2
).
又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2
)×4＝0， ∴t 2＝－14
a 2，故OM →＝(－a 2，a 2
).
又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2
－a 2
＋2|2＝2|a 2
－1|.
∵S △ABM ＝12，
∴12|AB |·d ＝12
×42×2|a 2
－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。