2016年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷(文科)

2016年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）
1．（5分）若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{﹣2，2}C．{2}D．{0}
2．（5分）已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x+1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=1 D．（x+1）2+y2=1
3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．B．C．D．
4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数f （x）的部分对应值如表所示．数列{a n}满足a1=1，且对任意n ）都在函数f（x）的图象上，则a2016的值为（）
∈N*，点（a n，a n
+1
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的一个单调递增区间是（）
A．B．C．D．
7．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）
A． B．C．D．
8．（5分）向量在正方形格中的位置如图所示，则=（）
A．B．C． D．
9．（5分）如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
10．（5分）在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）
A．B．2 C．D．3
11．（5分）设f（x）=lnx，0＜x 1＜x2，若，，，则下列关系式中正确的是（）
A．a=b＜c B．a=b＞c C．b=c＜a D．b=c＞a
12．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）
A．8πB．C．D．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．（5分）已知复数z（1+i）=2i，则|z|等于；．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是；
15．（5分）若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为．
16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则S2016=．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD⊥AC，，，．（Ⅰ）求△ABD的面积；
（Ⅱ）求线段DC的长．
18．（12分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：
（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．
（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．
（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．
19．（12分）如图所示，三棱锥D﹣ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，，点O为AB中点．
（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．
20．（12分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：
x2+y2=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=e x+ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4．
选做题请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，
（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（s inθ+cosθ）+4=0．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
2016年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）
1．（5分）若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{﹣2，2}C．{2}D．{0}
【解答】解：由B中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即B={x|x＞1或x＜﹣1}，
∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={﹣2，2}，
故选：B．
2．（5分）已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x+1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=1 D．（x+1）2+y2=1
【解答】解：根据题意，线段OA是圆的直径，且O（0，0），A（﹣2，0），
则圆心的坐标为（﹣1，0），
|OA|==2，则圆的半径为|OA|=1；
故圆的方程为（x+1）2+y2=1；
故选：D．
3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A.，x增大时，y增大，该函数在（0，+∞）上为增函数，即该选项正确；
B．反比例函数在（0，+∞）上为减函数；
C．指数函数在（0，+∞）上为减函数；
D．对数函数在（0，+∞）上为减函数．
故选：A．
4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵•=，
若a，b为零向量，显然成立；
若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．
而，则与的夹角为为零角或平角，有．
因此是的充分必要条件．
故选C．
5．（5分）已知函数f （x）的部分对应值如表所示．数列{a n}满足a1=1，且对任意n ）都在函数f（x）的图象上，则a2016的值为（）
∈N*，点（a n，a n
+1
A．1 B．2 C．3 D．4
=f（a n），a1=1．
【解答】解：a n
+1
∴a2=f（1）=3，a3=f（a2）=f（3）=2，a4=f（a3）=f（2）=1，…，
=a n．
∴a n
+3
∴a2016=a672×3=a3=2．
故选：B．
6．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的一个单调递增区间是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函数f（x）=sin2x﹣cos2x的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
结合选项取k=可得函数的一个单调递增区间为：[﹣，]，
故选：D
7．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）
A． B．C．D．
【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．
∴其正视图和侧视图是一个圆，
∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上
∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
故选：B
8．（5分）向量在正方形格中的位置如图所示，则=（）
A．B．C． D．
【解答】解：由图可知：=，
=，
∴=﹣（）=﹣3，
故选：C．
9．（5分）如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，
解得a=2，b=1，c=．
椭圆的离心率为：．
故选：D．
10．（5分）在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）
A．B．2 C．D．3
【解答】解：设AB=AC=2x，AC=x．
设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==
∴sinθ===，
根据公式三角形面积S=absinθ=×2x×2x×
=，
∴当x2=时，三角形面积有最大值=2．
故选：B．
11．（5分）设f（x）=lnx，0＜x 1＜x2，若，，，则下列关系式中正确的是（）
A．a=b＜c B．a=b＞c C．b=c＜a D．b=c＞a
【解答】解：∵f（x）=lnx，0＜x1＜x2，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
=，==，
=＞，
∴a=b＜c．
故选：A．
12．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）
A．8πB．C．D．
【解答】解：如图，∵BC=CD=1，∠BCD=60°
∴底面△BCD为等边三角形
取CD中点为E，连接BE，
∴△BCD的外心G在BE上，设为G，取BC中点F，连接GF，
在Rt△BCE中，由CE=，∠CBE=30°，得BF==，
又在Rt△BFG中，得BG=，
过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，
则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，
∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，
在Rt△BGO中，求得OB=，
∴球O的表面积为．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．（5分）已知复数z（1+i）=2i，则|z|等于；．
【解答】解：∵复数z（1+i）=2i，∴z（1+i）（1﹣i）=2i（1﹣i），∴2z=2（i+1），可得z=1+i，
∴z=．
故答案为：．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是0；
【解答】解：根据题中的流程图，模拟运行如下：
输入s=0，n=1，此时n≤2013，符合条件，
∴s=0+sin=，n=2，此时n≤2013，符合条件，
∴s=+sin=，n=3，此时n≤2013，符合条件，
∴s=+sinπ=，n=4，此时n≤2013，符合条件，
∴s=+sin=，n=5，此时n≤2013，符合条件，
∴s=+sin=0，n=6，此时n≤2013，符合条件，
∴s=0+sin2π=0，n=7，此时n≤2013，符合条件，
∴s=0+sin=，n=8，此时n≤2013，符合条件，
…
通过运行即可发现运行中的s的值具有周期性，周期为6，2016=6×336，
∴s=0，n=2017，此时n＞2016，不符合条件，
结束运行，输出s=0．
故答案为：0．
15．（5分）若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为﹣．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，如图示：
直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），
∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，
由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），
同时B也在直线kx﹣y+3=0上，
代入直线得2k+3=0，即k=﹣，
故答案为：﹣．
16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则S2016=
．
【解答】解：∵，
∴（S n﹣S n
）（2S n﹣1）=2，
﹣1
化为：﹣=2，
∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．
∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
∴S n=．
则S2016==．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD⊥AC，，，．（Ⅰ）求△ABD的面积；
（Ⅱ）求线段DC的长．
【解答】（本小题13分）
解：（Ⅰ）∵，且0＜B＜π，
∴．
又∵sin2B+cos2B=1，
∴．∴．
∵，，
∴==．…（5分）
（Ⅱ）∵AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，
且，，，
∴，
∴AD=3．
又∵，
∴．又∵在Rt△DAC中，∠DAC=90°，
∴，即，
∴．…（13分）
18．（12分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：
（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．
（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．
（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．
【解答】解：（Ⅰ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，
由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录，
得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日．…．（3分）（少写一个扣1分）
（Ⅱ）最高温度的方差大，即D1＞D2．…．（6分）
（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，…．（7分）
则基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（29，20，31）}，共计29个基本事件…．（9分）
由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，…．（11分）
所以，…．（13分）
所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为．
19．（12分）如图所示，三棱锥D﹣ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，，点O为AB中点．
（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中
画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．
【解答】解：（Ⅰ）当M为棱DB中点，N为棱BC中点时，平面α∥平面ACD．…（6分）
解：（Ⅱ）∵CD⊥AC，CD⊥BC，
∴直线CD⊥平面ABC，…（8分）
，
．
又．
∴AB=BD，…（9分）
设点E是AD的中点，连接BE，则BE⊥AD，
∴，
．
=V D﹣ABC，
又V C
﹣ABD
而，
设点C到平面ABD的距离为h，
则有，…（10分）
即，∴，
∴点C到平面ABD的距离为．…（12分）
20．（12分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：
x2+y2=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，所以a=4．
又离心率为，所以，所以，
则b2=a2﹣c2=4，所以W的方程为．
（Ⅱ）设直线AP的方程为y=k（x+4），
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，
由﹣4x P=，可得x P=，
即有|AP|=，
圆心到直线AP的距离为，
所以．
因为，
代入得到．
显然，
所以不存在直线AP，使得．
21．（12分）设函数f（x）=e x+ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x+a，
由已知，f′（0）=﹣1，f（0）=﹣1，
故a=﹣2，b=﹣2，
f′（x）=e x﹣2，
当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增；…（6分）（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣（x2﹣4）=e x﹣x2﹣2x+2，
g′（x）=e x﹣2x﹣2=f（x）在（ln2，+∞）单调递增，在（﹣∞，ln2）单调递减，因为g′（0）=﹣1＜0，g′（2）=e2﹣6＞0，0＜ln2＜2，
所以g′（x）在[0，+∞）只有一个零点x0，且x0∈（0，2），=2x0+2，
当x∈[0，x0）时，g′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
即g（x）在[0，x0）调递减，在（x0，+∞）时，单调递增，
当x≥0时，g（x）≥g（x0）==4﹣＞0，
即f（x）＞x2﹣4，…（12分）
选做题请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，
（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．
【解答】证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°
又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB．…（5分）
解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
所以FA=FG，且AB=BG
由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②
由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0
解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）
所以AB=BG=2，
所以⊙O半径为．…（10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y﹣2=0，
再将代入x+y﹣2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（5分）
（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程
，
∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得或，
∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，）．…（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3
所以﹣≤a+b+c≤
所以：|a+b+c|≤；…（5分）
（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）
若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，
则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）。