上海中山学校2021年高二数学文测试题含解析

上海中山学校2021年高二数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
参考答案：
A
【考点】F6：演绎推理的基本方法．
【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．
【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，
∴大前提错误，
故选A．
【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
2. 已知二次函数，若在区间[0，1]内存在一个实数，使
，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
3. 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行 B．相交且垂直 C．异面 D．相交成60°
参考答案：
D
4. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，CC1=，则异面直线AC与BA1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【分析】异面直线AC与BA1所成角等于∠BA1C1，在△BA1C1中，，即可【解答】解：如图，异面直线AC与BA1所成角等于∠BA1C1，
在△BA1C1中，，，
故选：D．
5. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记
，则a，b，c间的大小关系是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.
【详解】根据题意得，令.
则为内的偶函数，
当时，，
所以在内单调递减
又，故，选D.
【点睛】本题考查了函数奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.
6. 已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为
（）
A．（0，0，﹣）B．（0，0，﹣）C．（0，0，）D．（0，0，）
参考答案：
D
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．
【解答】解：设N（0，0，z）
由点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：
12+02+（z﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣z）2
解得z=，故N（0，0，）
故选D．
7. 若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2013+a2014＞0，a2013．a2014＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）
A．4023 B．4024 C．4025 D．4026参考答案：
D
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知得到{a n}表示首项为正，公差为负数的单调递减数列，且a2013是绝对值最小的正数，a2014是绝对值最小的负数（第一个负数），且|a2013|＞|a2014|，∴a2013＞﹣a2014，a2013+a2014＞0．然后结合等差数列的前n项和公式得答案．
解答：解：∵a1＞0，a2013+a2014＞0，a2013．a2014＜0，
∴{a n}表示首项为正，公差为负数的单调递减数列，
且a2013是绝对值最小的正数，a2014是绝对值最小的负数（第一个负数），
且|a2013|＞|a2014|，
∴a2013＞﹣a2014，a2013+a2014＞0．
又∵a1+a4026=a2013+a2014，
∴S4026=＞0，
∴使S n＞0成立的最大自然数n是4026．
故选：D．
点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．是中档题．
8. =（）
A．B．C．i D．﹣i
参考答案：
A
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：
故选A．
9. 设是一个多项式函数,在上下列说法正确的是( )
A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点
C ．在上可能没有极值点
D ．在上可能没有最值点
参考答案： C 略
10. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A ．650
B ．1250
C ．1352
D ．5000 参考答案： B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f （x ）=，则f （f （0
））= ．
参考答案：
﹣2
【考点】3T
：函数的值．
【分析】求出f （0）=1，从而f （f （0））=f （1），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x ）=，
∴f（0）=02+1=1，
f （f （0））=f （1）=﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2． 12. 由曲线
与
，
，所围成的平面图形的面积为___________.
参考答案：
略
13. 已知向量和向量对应的复数分别为和，则向量对应的复数为
________ . 参考答案：
略
14. 两平行直线4x-3y+3=0和4x-3y-7=0之间的距离为_____________；
参考答案：
2 略
15. 正方体
中，与直线异面，且与所成角为的面对角线共
有 条．
参考答案：
4
16. 设
分别为椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆上,若
,则点
的坐标是
__________.
参考答案：
略
17. 双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A
为双曲线上一点，若|F 1A|=2|F 2A|，则cos∠AF 2F
1
= ．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a ，再求c=a ，运用双曲线的定义和
条件，解得三角形
AF 2F 1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．
【解答】解：由于双曲线的一条渐近线y=x 与直线x+2y+1=0垂直， 则一条渐近线的斜率为2， 即有b=2a ，c=
a ，
|F 1A|=2|F 2A|，且由双曲线的定义，可得|F 1A|﹣|F 2A|=2a ， 解得，|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ， 又|F 1F 2|=2c ，由余弦定理，可得
cos∠AF 2F 1==，
故答案为
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R)，其中a ∈R.
(Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；
(Ⅱ)当时，求函数f (x )的单调区间与极值．
参考答案：
解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.
(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x .
令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2.
a <，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)内是增函数，在(a －2，－2a )内是减函数． 函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －
2. 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e
－
2a
.
19. 某商场为迎接店庆举办促销活动，活动规定，购物额在100元及以内不予优惠，在100～300元之间优惠货款的5%，超过300元之后，超过部分优惠8%，原优惠条件仍然有效。

写出顾客的购物额与应付金额之间的程序，要求输入购物额能够输出实付货款，并画出程序框
图。

参考答案：
解： 设购货款为x ，实付货款y 元．
则y ＝
程序框图如右图所示．
程序如下：
INPUT“输入购货款x＝”；x
IF x<＝100THEN
y＝x
ELSE
IF THEN
ELSE
END IF
END IF
PRINT y
END
20. 已知函数(,为自然对数的底数). (1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
参考答案：
解:(Ⅰ)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得. ………………………………………………………4分(Ⅱ),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值. ………………………………8分(Ⅲ)当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解.
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,
与“方程
在上没有实数解”矛盾,故.
又时,,知方程在上没有实数解.
所以的最大值为. ………………………………………………………………………13分 解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)当时,
.
直线:
与曲线
没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在
上没有实数解.
①当
时,方程(*)可化为
,在
上没有实数解.
②当时,方程(*)化为
. 令,则有.
令
,得
,
当变化时,
的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为.
所以当
时,方程(*)无实数解,
解得的取值范围是
.
综上,得的最大值为. …………………………………………………………………13分
略
21. （本小题满分12分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、
右顶点，而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆
及双曲线都恒有两个不同的交点，且与
的两个交点A 和B 满足（其中O 为原点），求k 的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为
，则
故C 2的方程为
解此不等式得：③
由①、②、③得：
故k的取值范围为
22. ）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

参考答案：略。