【全国百强校】北京市第四中学人教版高中数学必修一课件：2.2.2对数函数复习 (共20张PPT)

而 1.8 > 1
∴ ㏒0.31.8 < 0
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如何比较两个值的大小：
1、根据函数考察的是哪一个函数，确定此函数的 在某个区间上的单调性，再比较值的大小
2、第一种方法若不能使用，则寻找中间量， 比如1，0等
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练
习 ：
1、若y=㏒a
<0,则a 的取值范围是————
解：由题意，得a>0且a ≠1且 >0
y y= ㏒ax(a>1)
y
(1,0 )
x
(1,0 )
x
图3
y=㏒ax(0<a<1)
观察图（3），这两个函数的底数有何区别，图像又有何特征？
函数的性质又是如何的呢？
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图像的特征
1、这些图像都在y轴的右边
函数特征
1、定义域是（0，+∞）
2、这些图像都经过点（1，0）
3、图像（1）在（1，0）右边的纵坐 标都大于零，在（1，0）点左边的纵 坐标都小于零
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一般地，函数y=㏒ax（a∈R,且a≠0）叫做对数函数，
其中x是自变量，定义域是（0，+∞）
例1．画出函数y=2x与y= (
y=2x
y
)x 的图像及反函数的图像
y= ( )x
y
y=㏒2x
x 图1
图2
x y=㏒ x
观察图（1）、图（2），互为反函数的两个函数的图像之间有何关系？
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它们关于直线y=x对称
（2） y=㏒a(4―x)
（ 3） y=㏒a(9―x2)
（5） y=1/ ㏒5x （6）y=
/√㏒2( x ―1)
∴x≠0 ∴函数 的定义域是｛x∣x∈R且x≠0｝ （2）∵4―x>0
∴x<4 ∴函数的定义域是｛x∣x<4｝
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( 3 ) ∵9―x2>0 ∴―3<x<3 ∴函数的定义域是｛x∣―3<x<3｝
（4） ∵ ㏒2x ≥0 且x > 0 即㏒2x ≥ ㏒21且x>0
又∵ 2 >1
∴x ≥ 1且x>0 即x ≥ 1
∴函数的定义域是｛x∣x ≥ 1｝
(5)∵㏒5x ≠0 且x > 0 即㏒5x ≠㏒51 且x > 0
∴x ≠1 且 x > 0 ∴函数的定义域是｛x∣x>0且x ≠1｝
(6) ∵4-x ≥0 且 ㏒2( x ―1) > 0 且 x ―1 > 0
当a>1时，y=ax>1 (x>0) y=ax =1 (x=0) y=ax <1 (x<0)
当0<a<1时，y=ax <1 (x>0) y=ax =1 (x=0) y=ax >1 (x<0)
当a>1时，y=ax是增函数； 当0<a<1时，y=ax是减函数
当a>1时，y=㏒ax >0 (x>1) y=㏒ax =0 (x=1) y=㏒ax <0 (x<1)
2、1 的对数是零
3、当底数a>1时 ，
x>1，则 ㏒ax>0 0<x<1,则㏒ax<0
图像（2）在（1，0）右边的纵坐标 都小于零，在（1，0点左边的纵坐标都 大于零
当底数0<a<1时，
x>1，则 ㏒ax<0 0<x<1,则㏒ax>0
4、自左向右看， 图像（1）逐渐上升 图像（2）逐渐下降
4、当底t;a<1时，y=㏒2x是 减函数
由上述表格可知，对数函数与指数函数相仿，要分a>1和0<a<1两种情 况分析对数函数的图像及性质如下：
a>1
0<a<1
y
y=㏒ax(a>1)
y
图
像
(1,0)
x
1、 定义域是（0，+∞）
性
2、 值域是R
3 过点（1，0）即当x=1,y=0
(1,0)
x
y=㏒ax(0<a<1)
∴ ㏒a5.1 < ㏒a5.9
当 0 < a < 1 时，函数y=㏒ax 在（0 ，+∞）上是减函数
∴ ㏒a5.1 > ㏒a5.9 4)考察对数函数图像y=㏒2x
∵它在（0 ，+∞）上是增函数
而 3.4>2
又∵ ㏒22 =1
y=㏒23.4 > 1 5)考察对数函数y=㏒0.3x ∵它在（0 ，+∞）上是减函数 又∵ ㏒0.31 =0
∴ ㏒23.4 < ㏒28.5
2)考察对数函数y=㏒0.3x
∵它的底数 0.3 < 1 ∴它在（0 ，+∞）上是减函数
∴ ㏒0.31.8 > ㏒0.32.7
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2） y=㏒0.31.8 4) y=㏒23.4
y=㏒0.32.7 1
3 ) 当 a > 1 时，函数y=㏒ax 在（0 ，+∞）上是增函数
质 4、（0，+∞）上是增函数 4、在（0，+∞）上是减函数
我们已经知道底数a在不同情况下对数函数的性质，然后再比较它与 指数函数的异同，方便记忆。 列表如下(请填空）：
名称 定义域 值域
函数 值 的变化 情况
单 调 性
图 像
指数函数
（—-∞ ，+∞） （0 ，+∞）
对数函数 （0 ，+∞） （— ∞ ，+∞）
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一、复习：首先我们来回顾一下指数函数的性质：
y a>1
y=ax y=ax
0<a<y 1
图像
x
x
性质
（1）定义域是R （2）值域是（0，+∞） （3）过点（0，1） 即 x = 0 时，y = 1
(4)在R上是增函数
（4）在R上是减函数
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: 问题1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个 这样的细胞
分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的 函数关系式是——— y=2x 若 胞一分个裂细次胞数y分关裂于后x的的函个数数关为2系，式4，是8—y…—=…—㏒若2x分裂后的个数是x，则细
问题2：如果x表示自变量，y表示函数，则函数x=㏒2y与y=2x
有何关系？
它们其实是同一函数，只不过是不同的形式
5、函数必须符合生活的实际意义 6、若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函 数的定义域是使各部分都有意义的实数集合
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2、比较下列各组值的大小：
1）y=㏒23.4 y=㏒28.5 3） y=㏒a5.1 y=㏒a5.9 5) y=㏒0.3 1.8 0 解：1）考察对数函数y=㏒2x
∵它的底数 2 > 1 ∴它在（0 ，+∞）上是增函数
即a>0且a ≠1
∴a的取值范围是a>0且a ≠1
2、满足1+
㏒ 0.5
x>0的集合是————
- 解：由题意，得㏒0.5 x> 1 且 x>0
即㏒0.5 x
>
㏒ 0.5
(0.5)-1
∴x<2
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3.求下列函数的反函数: (1)y=4x (x ∈R) (2)y=0.5x (x∈ R) (3)y= 2㏒4x (x>0) (4)y =㏒a2x (x>0)
即 x≤4 且 ㏒2( x ―1) > ㏒21且 x > 1 ∴ x ≤4且x > 2且x > 1
∴2<x ≤4
∴函数的定义域是｛x∣2<x ≤4 ｝
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求定义域的对应法则：
1、若f(x)是分式，则分母不为0 2、若f(x)是偶次根式，则被开方式≥0 3、若f(x)=a0，则a ≠0
4、若f(x)是对数函数，则真数>0
问题3： 这两个函数有何关系？ y=㏒2x的定义域是多少？
3
函数y=2x与函数 y=㏒2x互为反函数 ，即它们关于直线y=x对称，而
且因为y=2x的值域是（0 ，+∞），所以y=㏒2x的定义域为（0 ，+∞）。 如果对数函数y=㏒2x与y=2x这里的2化为一般的数a呢？
这样，我们就得到了新函数的定义：
解:(1)y=x/4 (x ∈R) (2)y=2x(x ∈R) (3)y=4x/2 (x ∈R)
(4)y=ax/2 (x ∈R)
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1、对数函数的概念：一般地，函数y=㏒ax（a∈R,且 a≠0）叫做对数函数
其中x是自变量，定义域是（0，+∞）
2、对数函数的性质：见课本87页表格 3、能够利用对数函数的性质求值 4、会求对数函数的反函数
当0<a<1时，y=㏒ax <0 (x>1) y=㏒ax =0 (x=1) y =㏒ax >0 (x<1)
当a>1时，y=㏒ax是增函数； 当0<a<1时，y=㏒ax是减函数
y=ax的图像与y=㏒ax的图像关于直线y=x对称
1、求下列函数的定义域：
（1） y=㏒ax2
（4） y=√㏒2x
解：（1）∵x2 > 0
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P89
1、（2）、（4）、（6）、（8） 2、 3、（1）、（3）
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