高考数学文一轮：一课双测A+B精练四十空间几何体的结构特征及三视图和直观图7

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3
7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆
8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A．23B．3C.3D．4
2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面
ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平
面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为
2
2
.若M，N分别是线段DE，CE
上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
[答题栏]
A级1._________2._________3._________4._________5
._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________
答案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)
A级
1．A2.A3.C4.B
5．选B由斜二测画法知B正确．
6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1
2
×2×3＝4＋ 3.
7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53
3
.
答案：53
3
9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.
答案：2＋22
10．解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，
侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，
OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，
∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
B 级
1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.
2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于
3
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2
2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3
3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此
时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.
答案：3
3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.
∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2
2
，
S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2
2，
S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积
S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2
8＝5a2.
普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学理科
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答
卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一
并
交回.
第Ⅰ卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B =+()()().P AB P A P B =
棱柱的体积公式.V Sh =
圆锥的体积公式1
.3
V Sh =
其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131i
i
--= A ．2i +B ．2i - C ．12i -+
D ．12i --
2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“2
2
4x y +≥”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5D ．6
4．已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为
{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为
A ．110
B ．90
C ．90
D ．110
5．在6
2x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
的二项展开式中，2
x 的系数为
A ．15
4
-
B ．
15
4
C ．3
8
-
D ．
38
6．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则
sin C 的值为
A ．
33B ．36
C ．63
D ．66
7．已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15,5
,,5a b c ⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
则
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,
, 1.
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩ 设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实
数c 的取值范围是
A ．(]3,21,
2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--
⎪⎝⎭
C ．111,
,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．311,,44⎛
⎫⎡⎫--
⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
第II 卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法
从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人 数为___________
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体
的体积为__________3
m
11．已知抛物线C 的参数方程为28,
8.
x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的
直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2
2
2
4(0)x y r r -+=>相切，
则r =________.
12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一
点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则
线段CE 的长为__________.
13．已知集合{}
1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t
⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩
⎭
，则集合
A B ⋂=________.
14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0
90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动
点，则3PA PB +的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数()tan(2),4
f x x π
=+
（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；
（II ）设0,
4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，若()2cos 2,2
f α
α=求α的大小．
16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中， （i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .
17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -
中，
H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的
长．
18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分
别为椭圆22
221x y a b
+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，
求点M 的轨迹方程．
19．（本小题满分14分）
已知0a >，函数2
()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当18a =
时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2
f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明
ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤
．
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 与{}n b 满足：112
3(1)0,2
n n n n n n n b a a b a b ++++-++==，*
n ∈N ，且
122,4a a ==．
（Ⅰ）求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）设*
2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；
（III ）设*
242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*
17()6n
k k k
S n N a =<∈∑．
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分. BABDCDCB
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分. 9．12 10．6π+ 11
12
13．{|25}x x -≤≤ 14．5 三、解答题
15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正
弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,4
2
x k k Z π
π
π+≠
+∈，
得,8
2
k x k Z π
π
≠
+
∈. 所以()f x 的定义域为{|,}8
2
k x R x k Z π
π
∈≠
+
∈ ()f x 的最小正周期为
.2
π （II ）解：由()2cos 2,2
a f a =
得tan()2cos 2,4
a a π
+
=
22sin()
42(cos sin ),cos()
4
a a a a π
π+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a a a a a a a a
+=+--
因为(0,
)4
a π
∈，所以sin cos 0.a a +≠
因此2
11(cos sin ),sin 2.22
a a a -==即 由(0,
)4a π
∈，得2(0,)2
a π
∈.
所以2,.6
12
a a π
π
=
=
即
16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独
立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则
21
32322531
().5
C C P A C C =⋅=
（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则2
3B A A =，又
22111
322222222253531
(),2
C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=
且A2，A3互斥，所以23117
()()().2510
P B P A P A =+=
+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.
212279(0)(1),10100
7721(1)(1),101050749
(2)().
10100P X P X C P X ==-
===-====
所以X 的分布列是 X 0
1
2
P
9100 2150 49
100
X 的数学期望921497
()012.100501005
E X =⨯+⨯+⨯=
17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量
解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C -
111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C
（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-， 于是1111112
cos ,,3||||322
AC A B AC A B AC A B ⋅=
==⋅⨯
所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为
2.3
（II ）解：易知111(0,22,0),(2,2,5).AA AC ==--
设平面AA1C1的法向量(,,)m x y z =，
则11100
m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0,0.⎧+=⎪⎨=⎪⎩
不妨令x =
可得m =，
同样地，设平面A1B1C1的法向量(,,)n x y z =，
则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0,
0.⎧+=⎪⎨-=⎪
⎩
不妨令y =
可得n =
于是2
cos ,,||||7m n m n m n ⋅=
==⋅
从而sin ,m n =
所以二面角A —A1C1—B
的正弦值为7
（III ）解：由N 为棱B1C1的中点，
得22N 设M （a ，b ，0），
则2(
MN a b =- 由MN ⊥平面A1B1C1，得11110,0.
MN A
B MN A
C ⎧⋅
=⎪
⎨
⋅=⎪
⎩
即)(0,)()(0.a a b ⎧
-⋅-=⎪
⎪⎨⎪-⋅+
-⋅=⎪⎩
解得
a
b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
故,24M
因此22(,,0)24BM =，所以线段BM 的长为10||.4
BM = 方法二：
（I ）解：由于AC//A1C1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A1B1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA1B1B ，又H 为正方形AA1B1B 的中心，
1122,5,AA C H ==
可得1111 3.AC B C ==
因此222
111111
1111111
2cos .2AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅
所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为2.3
（II ）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以11AC A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，
连接B1R ，于是111B R A C ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A1C1—B1的平面角.
在11Rt A RB ∆中，2111112214sin 221().33
B R A B RA B =⋅∠=⋅-= 连接AB1，在1ARB ∆中，
222
1111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R
+-==∠=
⋅27=-， 从而135
sin .ARB ∠=
所以二面角A —A1C1—B1的正弦值为
35
.7
（III ）解：因为MN ⊥平面A1B1C1，所以11.MN A B ⊥ 取HB1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B1C1中点， 所以ND//C1H 且11522
ND C H =
=.
又1C H ⊥平面AA1B1B ，
所以ND ⊥平面AA1B1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MN
ND N =
所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A1B1于点E ， 则111,//.ME A B ME AA ⊥故 由
1111111
,4
B E B D DE AA B A B A ===
得12
DE B E ==
，延长EM 交AB 于点F ，
可得12
BF B E ==连接NE. 在Rt ENM ∆中，
2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故
所以2ND DM DE ==
可得4
FM =
连接BM ，在Rt BFM ∆中，
BM ==
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代
数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =
2.c = 整理得2
2()10,1c c c
a
a a
+
-==-得（舍），
或
1.2c a =所以1.2
e = （II ）解：由（I
）知2,,a c b == 可得椭圆方程为2
2
2
3412,x y c += 直线PF2
方程为).y x c =
-
A ，B
两点的坐标满足方程组222
3412,
).
x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
消去y 并整理，得2
580.x cx -= 解得128
0,.5
x x c ==
得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪
⎨⎨
=⎪⎪⎩=⎪⎩
不妨设8
(,
),(0,)55
A c c
B 设点M
的坐标为833(,),(,),(,
)55
x y AM x c y c BM x y =-
-=+则， 由
),.3
y x c c x y =-=-
得
于是838(
,),55AM y x y x =-
(
).BM x
=由2,AM BM ⋅=-
即38
)()255y x x y x -⋅
+-=-
， 化简得2
18150.x --=
将22105,0.316
x y c x y c x +==-=>得
所以0.x >
因此，点M 的轨迹方程是2
18150(0).x x --=>
19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知
识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I ）解：2
112'()2,(0,)2
ax f x ax x x -=-=
∈+∞，
令'()0,2f x a
=解得x=
当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
x
)+∞ '()f x +
0 ()f x
极大值
所以，()f x 的单调递增区间是(0,
),()2f x a
的单调递减区间是).2a
+∞ （II ）证明：当21
1,()ln .88
a f x x x ==-
时 由（I ）知()f x 在（0，2）内单调递增， 在(2,)+∞内单调递减.
令3()()().2
g x f x f =-
由于()f x 在（0，2）内单调递增， 故3(2)(),2
f f >即g(2)>0.
取2
3419'2,(')0.232
e x e g x -=>=
<则 所以存在00(2,'),()0,x x g x ∈=使 即存在003
(2,),()().2
x f x f ∈+∞=使
（说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2,(')0x g x ><且即可）
（III ）证明：由()()f f αβ=及（I
）的结论知2a
αβ<<， 从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f a
又由1βα-≥，,[1,3],αβ∈知12 3.αβ≤≤≤≤
故(2)()(1),ln 24,
(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨
⎨
≥≥-≥-⎩⎩即 从而
ln 3ln 2ln 2
.53
a -≤≤
20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综
合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I ）解：由*3(1),,2
n
n b n N +-=
∈ 可得1,n n b ⎧=⎨⎩
为奇数
2,n 为偶数
又1120,n n n n n b a a b a +++++=
123123234434543;5;4.
=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a
（II ）证明：对任意*
,n N ∈
2122120,n n n a a a -+++=① 2212220,n n n a a a ++++=② 21222320,n n n a a a +++++=③
②—③，得
223.n n a a +=④
将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+
即*
1()n n c c n N +=-∈
又1131,0,n c a a =+=-≠故c
因此
1
1,{}n n n
c c c +=-所以是等比数列. （III ）证明：由（II ）可得2121(1)k
k k a a -++=-，
于是，对任意*
2k N k ∈≥且，有
133********,()1,1,
(1)() 1.
k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-
将以上各式相加，得121(1)(1),k
k a a k -+-=-- 即1
21(1)(1)k k a k +-=-+，
此式当k=1时也成立.由④式得1
2(1)(3).k k a k +=-+
从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-
2124 3.k k k S S a k -=-=+
所以，对任意*
,2n N n ∈≥，
44342414114342414()n
n
k m m m m k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232(
)2222123n
m m m m m
m m m m =+-+=--++++∑ 1
23
(
)2(21)(22)(22)
n
m m m m m ==++++∑
2253232(21)(22)(23)
n
m m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)
n m m m n n =<++-+++∑ 151111113
[()()(
)]323557
2121(22)(23)
n n n n =+⋅-+-++-+-+++
1551336221(22)(23)
7.6
n n n =+-⋅+
+++<
对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*
,n N ∈
21212
12212n n
n n
S S S S a a a a --+++
+ 321212
41234
212(
)()(
)n n
n n
S S S S S S a a a a a a --=++++++ 222
11121(1)(1)(1)41244(41)4(41)
n n
n
=--+--++-
---- 22211121()()(
)41244(41)
44(41)
n n n n n =-+-+-
-+-- 111().4123
n n ≤-+=-
高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系
1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．当0＜k ＜1
2时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
A.85
B.32 C ．4D ．8
4．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)
5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )
A ．－2
B ．－1
2
C.1
2
D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )
A ．3x ＋y ＋4＝0
B ．3x －y ＋4＝0
C ．x ＋3y －8＝0
D ．x －3y －4＝0
7．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．
8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．
9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
10．(·舟山模拟)
已知1a ＋1
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离
的最小值．
11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．
12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为2
2
，这样的点P 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．23
3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答 题 栏]
A 级
1._________
2._________
3._________
4.________
_5.__________6._________
B 级
1.______
2.______
7.__________8.__________9.__________ 答 案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)
A 级
1．C2.B3.B4.B
5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3， 即y ＝12x ＋32，其斜率是12，
由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.
6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7
＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.
7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－1
2.
答案：－1
2
8．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．解析：由题意得，点到直线的距离为
|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|
5
≤3，即
|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝
a ＋2
b 5＝1
5(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝
1
5
⎝
⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝
2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋210
5
. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，
解得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，
解得B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.
∵|AB|＝2， ∴
⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k2－48k －7＝0， 解得k1＝7或k2＝－17
.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.
12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．
∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－y
x ′－x ×3＝－1.①
又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －9
5
，③ y ′＝3x ＋4y ＋3
5
.④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，
∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为
－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
B 级
1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2
，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．
2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32
＝2，所以m2＋n2的最小值为4.
3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，
则kBB ′·kl ＝－1， 即3·b －4a ＝－1.
则a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，
b ＋42，且在直线l 上，
则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4
，即2x ＋y －9＝0.
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝5，
即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．。