数学高二(上)沪教版(求数列的通项公式----构造等差(比)数列求数列的通项)学生版[1]

例2、已知数列｛a n ｝中，前n 项和s n = 2a n -3n , 求数列的通项公式a n.
分析：已知等式中不是递推关系式，利用1--=n n n s s a 可转化为：a n -2a n-1=213-⋅n ,考虑3
n-1
是变量，引入待定常数x 时，可设a n - x n 3⋅=2(a n-1- x 13-⋅n ),从而可构造等比数列。

变式练习1：已知数列{}n a 中，1a =92，1
13
2
32+-+
=n n n a a （n ≥2），求n a .
变式练习2：设数列11132(*)n n n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式．
2 、利用配方法
有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。

例3、设a n
0，a 1=5，当n 2时，a n +a n-1=
1
7
--n n a a +6, 求数列的通项公式a n 。

3、利用因式分解
有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。

例4、已知数列｛a
n ｝是首项为1的正项数列，且a2
n+1
+ 3a
n+1
- 2a2
n
+ 3a
n
- a
n a n+1
=0求数列
的通项公式a
n。

4 、利用对数
有些数列的递推关系式看起来比较复杂，但通过取对数变行后，往往能构造出简单数列（如等差、等比数列），揭示规律。

例5、设a0,如图，已知直线L:y=a x与曲线C:y=x2,C上的点Q
1的横坐标为a
1
(0a
1a
),
从C上的点Q
n (n1)作直线平行X轴，交直线L于点P
n+1
,再从点P
n+1
作直线平行Y轴,交曲线
C于点Q
n+1 ；点 Q
n
（n=1,2,3,…）的横坐标构成数列{a
n
},
(I) 试求a
n+1与a
n
的关系，并求数列{a
n
}的通项公式。

（II）、（III）两题略（2003年江苏高考第22题）
变式练习：正项数列{a
n }中，a
1
=1，a
2
=10，当n3时，a
n
2a
n-1
-3a
n-2
=1，求数列的通项公式a
n。

Q2
Q3
Q1
P1
P2
x
O
y
l
c
5 、利用倒数
有些数列的递推关系式，经取倒数变形后，显现出规律性，可构造等比（差）数列。

例6、已知x
1=1,x
2
=2,x
n+ 2
=
1
1
2
+
+
+
n
n
n
n
x
x
x
x
,试求x
n。

变式练习：已知数列｛a
n ｝中，a
1
=7，n2时，
5
2
2
1
1
+
-
=
-
-
n
n
n a
a
a，求数列的通项公式a n
6、 利用换元
有些数列的递推关系式看起来较为复杂，但应用换元和化归思想后，可构造新数列进行代换，使递推关系式简化，从而揭示等差（比）规律，求出通项。

例7、已知数列｛a n ｝中，,11=a ).24141(16
1
1n n n a a a +++=
+求n a
变式练习：设0a =1，n a =
1
2
111---+n n a a （n
N ）,求证：n
a 2
2
+n π
【课堂小练】
1、数列{}n a 中，3,121==a a ，且n n n a n a n a )2()3(12+-+=++，（n ∈N*）， 求通项公式a n .
2、数列{}n a 中，2
1
1=
a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .。