2019-2020人教A版文科数学课时试题及解析(27)正弦定理和余弦定理B

课时作业(二十七)B [第27讲 正弦定理和余弦定理]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
2．在△ABC 中，若2sin A sin B <cos(B －A )，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
3．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C 一定成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4． 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，且B 是A 与C 的等差中项，则sin A ＝________.
能力提升
5．在△ABC 中，a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则C ＝( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
6．在△ABC 中，B ＝π3
，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
7．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝( ) A.32 B.12
C.33
D.13
9．已知△ABC 三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝________. 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.
11．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________． 12．(13分) 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14
. (1)求△ABC 的周长；
(2)求cos(A －C )的值．
难点突破
13．(12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .
(1)求角C 的大小；
(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭
⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．
课时作业(二十七)B
【基础热身】
1．B [解析] S ＝12BC ·CA ·sin C ⇒33＝12×4×3×sin C ⇒sin C ＝32
，注意到其是锐角三角形，故C ＝60°.
2．B [解析] 依题意，sin A sin B <cos A cos B ，所以cos(A ＋B )>0,0<A ＋B <π2
，△ABC 的形状是钝角三角形．
3．C [解析] 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理得sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ，则b ＝c sin A ＋a sin C 不一定成立． 4.12 [解析] 由已知B ＝60°，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32×3＝12
. 【能力提升】
5．B [解析] 用余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12. ∴C ＝120°.故选B.
6．D [解析] a ＋c ＝2b ，根据余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ，即12
＝3b 2－1212
，解得b ＝ 6. 7．D [解析] ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，
∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32
. ∴在锐角△ABC 中，角B 的值为π3
. 8．C [解析] 将正弦定理代入已知等式，得
(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，
∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C
＝sin(A ＋C )＝sin B ，
∵B 为三角形内角，∴sin B ≠0，∴cos A ＝33
.故选C. 9.π3
[解析] 由条件得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，
∴cos C ＝12，C ＝π3
. 10．30° [解析] 由sin C ＝23sin B 得c ＝23b ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋3bc )2bc
＝c 2－3bc 2bc ＝c －3b 2b
＝23b －3b 2b ＝32
， 所以A ＝30°.
11．150° [解析] 由m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a
＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32
， ∴B ＝150°.
12．[解答] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14
＝4， ∴c ＝2，
∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154
， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158
. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，
∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78
. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116
. 【难点突破】
13．[解答] (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.
从而sin C ＝cos C .
又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4
. (2)由(1)知，B ＝3π4
－A ，于是 3sin A －cos ⎝⎛⎭
⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3
时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12
.。