大学数学高数微积分第四章矩阵第六节课件课堂讲解

第i列 第j列
1
P(i, j(k))
1k
第i 行
1
第j行
1
二、初等矩阵的性质
引理 设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次
初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初 等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.
A = Q1 Q2 … Qm .
(2)
由此即得
推论 1 两个 s n 矩阵 A，B 等价的充分必
要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级 矩阵 Q 使
A = PBQ .
推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行
变换化成单位矩阵.
证明 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存
在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使
A1
.
例 4 任意输入一个 4 级矩阵 A , 判断其是否
可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 .
单
击
这
里
解
开
5/ 33 1/ 66 17/ 66 7 / 22
始
所以
A1
10 14 16 /
/ 33 / 33 33
35/ 66 8/ 33 23/ 66
1/ 66 4/ 33 5/ 66
ai1 a11
( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的
a1 j
( j = 2, 3, … , s ) 倍.
然后，用
a11 1 乘第一行，A a11
就变成
1 0 0
0
0
A1
.
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵.
对 A1 再重复以
上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形.
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准
形为单位矩阵； 反过来显然也是对的.
由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
它能表成一些初等矩阵的乘积：
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化
简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可
以进一步化简.
为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到.
记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质
(i) 反身性 A ~ A;
显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1
的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个
数也就是矩阵 A 的秩.
证毕
例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它
化为标准形.
单击这里开始
5. 两个矩阵等价的充要条件
根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应
的初等矩阵去乘这个矩阵.
因此，矩阵 A，B 等价
特别，令 B = P( i , j ) , 得
A1
Aj
P(i, j) A
第i行
这相当于把 A 的 i 行
Ai
第j 行
与 j 行互换.
As
令 B = P( i (c) ) , 得
A1
P(i(c)
)
A
cAi
这相当于用 c 乘 A 的第 i 行.
令 B = P( i , j(k) ) , 得
731/ //212212 .
例 5 用初等行变换法解矩阵方程
AX = B ,
其中
5 1 5
8 5
A 3 3 2 , B 3 9 .
解
1 2 1
0 0
5 1 5 8 5
(A| B) 3 3 2 3 9
1 2 1 0 0
1 0 0 1 4 故 0 1 0 2 5 , 0 0 1 3 6
证明 我们只看行变换的情形，列变换的情
形可同样证明.
令 B = ( bij ) 为任意一个 s s 矩阵,
A1 , A2 , … , As 为 A 的行向量.
由矩阵的分块乘法,
B
A
b11 A1 b21 A1
b12 A2 b22 A2
b1s As b2s As
bs1A1 bs2 A2 bss As
的矩其阵 他A 的元秩素(全1 为的个零数, 则可以称是之零为) 行. 最简形矩阵.
证定明义 如如果果 一A =个O矩，那阵么的它左已经上是角标为准单形了位. 矩阵, 其以下他无位妨置假的设 元A 素O都. 为零,经则过称初等这变个换矩，A阵一为定标可以准形 矩变成阵一.左上角元素不为零的矩阵.
当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的
A1
As
Ai
k Aj
P(i, j(k))A
第i行
这相当于把 A 的 j
Aj
第j 行
行的 k 可逆知阵, 且
1) P( i, j )-1 = P( i, j );
2) P( i(c) )1 P( i(c1) ) ;
3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ).
(ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A;
(iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
3. 行最简形矩阵和标准形矩阵
定4. 义矩阵一与个其行标阶梯准矩形阵的若关满系足 定(1)理每5个非任意零一行个的s第 一n 矩个阵非A零都元与素它为的标1准;
形等价(2，) 并每且个其标非准零形行的的主第对一角线个上非1零的元个素数所等于在列
(i)
及
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1E = A-1.
(ii)
(i) 式表明 A 经一系列初等行变换可变成 E , (ii)
式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成 A-1 .
用分块矩阵形式, (i)、(ii) 两式可合并为:
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1(A E) = ( E A-1) ,
例 2 设矩阵
4 2 3 A 3 1 2,
2 1 1
用初等行变换法, 判断 A 是否可逆? 若可逆, 求 A-1.
解
单击这里开始
1 1 1
所以
A1 1 2 1 .
1 0 2
例 3 任意输入一个 3 级矩阵 A , 判断其是否
可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 .
解
所以
单击这里开始
初等行变换
1 4 X 2 5 .
3 6
本若请本若请本若请节想本若单请节想本若单请想节本若单请内结节想击本若单请内结节想击本 若单请内结节想击本 若容 束单请内结返节想击本 若容 束单请内 结返本 若节想击请本 若容束单请结内返节 想已 本击本 若单容束回请结内返节 想已 本击本 若单容 束回节想请结内返单节 想已本击本 若 本 若 本 若束单容回请 请 请结 堂内 结返想节已本按击本 若束单容回请结 堂内 结返想节已 本按击结内本 若束单容回击请结堂内 结返想节 想 节 节 想本已按击本 若束 课容 束单 单 单回请内结堂结钮返节想本已击按本 若束 课容 束单回请内结结 堂钮返束容节想本已击按返本 若束容 束课单回请堂内 结 内 内 结结结钮返节 想已 本,按击 击 击本 若容单束束课回.请堂结结内返钮!节 想已 本,按击本 若容束单束 课回.本已请堂结结内返钮!回节 想已 本,按击单课容 束 容 容 束束束回.结 堂内 结钮返 返 返!节 想已本,击按课束束容单回.结 堂内 结钮返!想节已本,按击堂结课束束容单回.按结 堂内 结钮返!已 本 已 已 本本,按击束 课容 束回 回 回.结堂内 结返钮!本已,按击束 课容 束回.结堂内结钮返!课束本已,按击钮束 课容 束回.结 堂 结 结 堂堂钮返!已 本,按 按 按束容 束课回.堂结钮返!已 本,按束容课束.回,堂结钮返!.已 本,按!束 课 束 束 课课.回结堂钮钮钮!已 本,按课束回.结堂钮!已本,按课束回.结堂钮!,,,按束课...结堂钮!!!,按束课.结堂钮!,按束课.钮!,束课.钮!,束课.钮!,.!,.!,.!
即对 n × 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换, 当把
A变成 E 时, 原来的 E 就变成 A-1 .
利用初等行变换求逆矩阵的方法, 还可用于 求矩阵 A-1B. 由
A-1(A B) = (E A-1B)
可知, 若对矩阵
(A B)
A 变为 E 时, B 就变为 A-1B.
施行初等行变换, 当把
1. 对调两行或对调两列
把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri rj ), 得初
等矩阵, 记为 P( i , j ) .
1
1
0
1
1
P(i,j)
1
1
0
1
1
第i行 第j行
2. 以数 c 0 乘某行或某列
以数 c 0 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( ri c ) ,
A = Q1 Q2 … Qm ,
把它改写一个，有
Qm-1
Qm
-1 -1
…
Q1-1A
=
E
.
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩
阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变 换，所以结论得证.
证毕
四、求逆矩阵的初等行变换法
当 |A| 0 时, 由 A = P1P2 ... Pl , 有
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1A = E,
得初等矩阵, 记为 P( i(c) ) .
1
1
P(i(c))
c
1
1
第i行
3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上 去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) ], 得 初等矩阵, 记为 P( i , j(k) ) .
第六节 初 等 矩 阵
主要内容
初等矩阵的定义 初等矩阵的性质 两个矩阵的等价关系 求逆矩阵的初等行变换法
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
一 、初等矩阵的定义
定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵.