2016-2017年黑龙江省哈尔滨六中高一(下)期中数学试卷和答案

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上） 1．（5分）若，则与
垂直的向量是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（5分）设向量，不平行，向量与平行，则实数λ等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
3．（5分）在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n +1﹣2a n =0，则等于（ ） A ．2
B ．4
C ．
D ．
4．（5分）设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100m ，∠BAC=60°，∠ACB=30°，则A 、B 两点的距离为（ ） A ．40 m
B ．50 m
C ．60 m
D ．70 m
5．（5分）在△ABC 中，，
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）△ABC 的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，
则=（ ）
A ．144
B ．48
C ．24
D ．13
7．（5分）在等差数列{a n }中，a 1＜0，S 18=S 36，若S n 最小，则n 的值为（ ） A ．18
B ．27
C ．36
D ．54
8．（5分）下列说法正确的有（ ）
（1）{a n }和{b n }都是等差数列，则{a n +b n }为等差数列
（2）{a n }是等差数列，则a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，…（k ，m ∈N +）为等差数列 （3）若{a n }为等比数列，其中a n ＞0，则{lga n }为等差数列；若{a n }为等差数列，
则为等比数列．
（4）若{a n}为等比数列，则，{|a n|}都为等比数列．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）
A．=﹣+B．=﹣
C．=+D．=+
10．（5分）△ABC中，若sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．（5分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，，则a n=（）A．B．C．D．
12．（5分）如图在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，D为BC边上一点（含端点），，则的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡上指定
位置处．）
13．（5分）在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于°．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=，则它的前4项和为．
15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（10分）若平面向量满足
（1）求与的夹角θ；
（2）求．
18．（12分）在等差数列{a n}中，已知a1+a6=12，a4=7
（1）求a9；
（2）求{a n}前n项和S n．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB （1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
20．（12分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1
（1）证明：数列{a n﹣n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
21．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
22．（12分）设数列{a n}满足
（1）求a n；
（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上）
1．（5分）若，则与垂直的向量是（）A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，，则=（2，3）；
依次分析选项：
对于A、3+2=（3，2），（）•（3+2）=3×2+2×3=12≠0，则3+2与
不垂直；不符合题意；
对于B、﹣2+3=（﹣2，3），（）•（3+2）=2×（﹣2）+3×3≠0，则
﹣2+3与不垂直；不符合题意；
对于C、3+2=（﹣3，2），（3+2）•（3+2）=3×（﹣2）+2×3=0，则3+2
与垂直，符合题意；
对于D、2﹣3=（2，﹣3），（2﹣3）•（3+2）=2×2+3×（﹣3）≠0，则
2﹣3与与不垂直，不符合题意；
故选：C．
2．（5分）设向量，不平行，向量与平行，则实数λ等于（）A．2B．4C．D．
【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，
所以λ+=μ（+2），
所以，解得λ=μ=；
故选：C．
3．（5分）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n+1﹣2a n=0，则等于（）A．2B．4C．D．
﹣2a n=0得a n+1=2a n，即=2，
【解答】解：由a n
+1
则数列{a n}是公比q=2的等比数列，
则===，
故选：D．
4．（5分）设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，∠BAC=60°，∠ACB=30°，则A、B两点的距离为（）
A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m
【解答】解：由已知得到示意图为，已知AC=100m，∠BAC=60°，
∠ACB=30°，所以∠ABC=90°，
所以AB=AC=50m；
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，，，则角B的大小为（）A．B．C．D．
【解答】解：由已知得到，又，
所以cosB=，则角B的大小为；
故选：C ．
6．（5分）△ABC 的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，
则=（ ）
A ．144
B ．48
C ．24
D ．13
【解答】解：因为在△ABC 中，，所以sinA=
．
因为S △ABC =bcsinA=10，bc=42， 则
=|
|×|
|cosA=bccosA=42×
=48；
故选：B ．
7．（5分）在等差数列{a n }中，a 1＜0，S 18=S 36，若S n 最小，则n 的值为（ ） A ．18
B ．27
C ．36
D ．54
【解答】解：由S 18=S 36，得a 19+a 20+…+a 35+a 36=0， 即9（a 27+a 28）=0，即a 27+a 28=0， 则2a 1+53d=0，即d=﹣a 1＞0， 则a n =a 1+（n ﹣1）d=a 1﹣a 1（n ﹣1），
由a n =a 1﹣
a 1（n ﹣1）≤0，得1﹣
（n ﹣1）≥0，
得2n ≤55，得n ≤
=27，
即当n ≤27时，a n ＜0， 则要使S n 最小，则n=27， 故选：B ．
8．（5分）下列说法正确的有（ ）
（1）{a n }和{b n }都是等差数列，则{a n +b n }为等差数列
（2）{a n }是等差数列，则a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，…（k ，m ∈N +）为等差数列 （3）若{a n }为等比数列，其中a n ＞0，则{lga n }为等差数列；若{a n }为等差数列，则
为等比数列．
（4）若{a n }为等比数列，则，{|a n |}都为等比数列．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解答】解：（1）{a n }和{b n }都是等差数列，则{a n +b n }为等差数列，正确，{a n +b n }的首项为：a 1+b 1，公差为：原数列的公差的和．
（2）{a n }是等差数列，则a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，…（k ，m ∈N +）为等差数列，正确，原数列的公差为d ，则新数列中：a m +k =a m +kd ．可得2a m +k =a m +a m +2k ，2a m +2k =a m +k +a m +2k ，所以数列是等差数列．
（3）若{a n }为等比数列，其中a n ＞0，则{lga n }为等差数列；若{a n }为等差数列，则
为等比数列．由指数函数与对数式的运算法则可知，判断是正确的；
（4）若{a n }为等比数列，则
，{|a n |}都为等比数列．正确，新数列的公比
分别为原数列公比的平方和公比的绝对值． 故选：D ．
9．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，=3，则（ ）
A ．=﹣+
B ．=﹣
C ．
=
+ D ．
=
+
【解答】解：； ∴；
∴．
故选：A ．
10．（5分）△ABC 中，若sin （A +B ）sin （A ﹣B ）=sin 2C ，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
【解答】解：∵sin （A +B ）•sin （A ﹣B ）=sin 2C ， 则sin （A +B ）sin （A ﹣B ）=sin 2（A +B ） ∵sin （A +B ）≠0
∴sin （A ﹣B ）=sin （A +B ）
展开整理可得，sinAcosB ﹣sinBcosA=sinAcosB +sinBcosA 即sinBcosA=0 ∴cosA=0 ∵0＜A ＜π
∴A=，故三角形为直角三角形
故选：B．
11．（5分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，，则a n=（）A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=﹣．
n=1时，a1=S1=，解得a1=．
∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为﹣．
则a n=．
故选：A．
12．（5分）如图在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，D为BC边上一点（含端点），，则的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，
∴•=||•||cos120°=﹣1，
∵=﹣，，
∴=+=﹣=﹣（﹣）=+，
∴=（+）（﹣）=﹣+•=
﹣﹣==﹣2+≤﹣2+7=5，
故则的最大值为5，
故选：D．
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡上指定
位置处．）
13．（5分）在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于60°．【解答】解：∵△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
∴，
∴3B=180°，
∴B=60°．
故答案为：60°．
14．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=，则它的前4
项和为．
【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n=，
可得a1=，a2=，a3=，a4=，
则它的前4项和为：=．
故答案为：．
15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=
．
【解答】解：由等差数列的前n项和，可知：，可得：．
同理：，可得：．
那么：则=．
故答案为：．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．
【解答】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，
∵BC=2，
∴（x+m）sin15°=1，
∴x+m=+，
∴0＜x＜4，
而AB=x+m﹣x=+﹣x，
∴AB的取值范围是（﹣，+）．
故答案为：（﹣，+）．
方法二：
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；
故答案为：（﹣，+）．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（10分）若平面向量满足
（1）求与的夹角θ；
（2）求．
【解答】解：（1）；
∴；
∴；
∴；
又θ∈[0，π]；
∴；
（2）=8+8+4=20；
∴．
18．（12分）在等差数列{a n}中，已知a1+a6=12，a4=7
（1）求a9；
（2）求{a n}前n项和S n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a6=12，a4=7，
∴2a1+5d=12，a1+3d=7，
解得：a1=1，d=2，
∴a9=1+8×2=17．
（2）S n=n+=n2．
∴．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB （1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵a=bcosC+csinB，
∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，
∴sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴cosB=sinB，
∴，B∈（0，π），
∴B=．…（6分）
（2）由（1）可得，
由正弦定理可得：，
∴，
∴．…（12分）
20．（12分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1
（1）证明：数列{a n﹣n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
=4a n﹣3n+1，可得：a n+1﹣（n+1）=4（a n﹣n），a1﹣【解答】（1）证明：由a n
+1
1=1．
∴数列{a n﹣n}是等比数列，首项为1，公比为4．
（2）解：由（1）可得：a n﹣n=4n﹣1，即a n=n+4n﹣1，
∴S n=+．
即．
21．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，
所以，
由△ABC为锐角三角形得．
（Ⅱ）==
=．
由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，
∴＜A＜，
，
所以．
由此有＜，
所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．
22．（12分）设数列{a n}满足
（1）求a n；
（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）数列{a n}满足，
n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2•a n﹣1=．
∴3n﹣1a n=，解得a n=．
n=1时，a1=，页满足上式．
∴．
（2）=n•3n，
∴数列{b n}的前n项和S n=3+2•32+3•33+…+n•3n，3S n=32=2•33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1．
∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1．∴．。