数学必修Ⅴ人教新课标A版1-1-1正弦定理课件(24张)-1
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一、情景导入：
问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说 利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两 地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们 讨论设计一个方案解决这个问题。
B
1、测出角A、C的大小
2、量出AC的长度
C
A
问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已
知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类 问题在数学里称为__解__三__角__形___问题.
E Ｃa Ｂ
所以，
abc sin A sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即 abc sin A sin B sin C
证法1:平面几何法
证法2:构造圆法
证明：作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
sinC sinC' c 2R A
sin C sin B
A
D
B
c
所以，
abc sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,
根据三角函数的定义,
CD=asinB=bsinA,则
a b sinA sinB
Ａ
同理，做BC边上的高可得
c
Ｄ
AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB
b
即：
c b
sin C sin B
1 2
ab sin
C
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
A
c
b
证明：∵
1 SABC 2 aha
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di1n2bcaAscicnsinAsiBn
2
2
B
1 2
bsinC
1 absinC 2
ac sin B
定理的应用
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
a
C
a b
A a<bsinA 无解
C a
b
A
B a=bsinA
一解
C a
b
A
B1
B2
bsinA< a < b 两解
C
b
a
A
B
a b 一解
C
a
b
C
a
b
A
B
a<b 无解
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图） C=124.30, c asinC 49.57
BC的长度与角A的
C3
大小有关吗?
三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C2 C1 C
A
B
问题3：
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系: A
sin A a sin B b
c
c
sin C 1 c
b
c
不难得到:
C
abc sin A sin B sin C
c aB
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求
a , b (精确到0.01）.
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°，c=13 3 ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
无解
注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
sin A sin B
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
得 sin B bsin A 16
3 sin30
3
a
16
2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
C
解：∵ a c
sin A sinCb来自a∴a = c sin A= 10 sin 45 10 2 14.14A c B
sinC sin 30
∵bc
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
b
A c
a B
可分为锐角三角形，钝角三角形三种情况分析.
当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,
根据三角函数的定义,
对 斜
sin
对=斜sinθ(θ为锐角)
CD=asinB=bsinA,则
ab sin A sin B
C
同理，做BC边上的高可得
b
Ea
AE=bsinC=csinB 即： c b
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C/
证法3:向量法
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
B
c
a
A
bD C
i
2020年12月28日7时13分
证法4:面积法
S ABC
19.32
练习 在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求a ， b.
[ ] a 3 3 b 2 3
在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12 求a ， c.
[a= 4 3 ,c= 4 3]
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° .
求角B，C和边c 解：由正弦定理 a b
sin A
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
∵a > b ∴ A > B ,
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70, C=124.30,
c asinC 49.57 sin A
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说 利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两 地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们 讨论设计一个方案解决这个问题。
B
1、测出角A、C的大小
2、量出AC的长度
C
A
问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已
知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类 问题在数学里称为__解__三__角__形___问题.
E Ｃa Ｂ
所以，
abc sin A sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即 abc sin A sin B sin C
证法1:平面几何法
证法2:构造圆法
证明：作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
sinC sinC' c 2R A
sin C sin B
A
D
B
c
所以，
abc sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,
根据三角函数的定义,
CD=asinB=bsinA,则
a b sinA sinB
Ａ
同理，做BC边上的高可得
c
Ｄ
AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB
b
即：
c b
sin C sin B
1 2
ab sin
C
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
A
c
b
证明：∵
1 SABC 2 aha
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di1n2bcaAscicnsinAsiBn
2
2
B
1 2
bsinC
1 absinC 2
ac sin B
定理的应用
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
a
C
a b
A a<bsinA 无解
C a
b
A
B a=bsinA
一解
C a
b
A
B1
B2
bsinA< a < b 两解
C
b
a
A
B
a b 一解
C
a
b
C
a
b
A
B
a<b 无解
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图） C=124.30, c asinC 49.57
BC的长度与角A的
C3
大小有关吗?
三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C2 C1 C
A
B
问题3：
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系: A
sin A a sin B b
c
c
sin C 1 c
b
c
不难得到:
C
abc sin A sin B sin C
c aB
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求
a , b (精确到0.01）.
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°，c=13 3 ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
无解
注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
sin A sin B
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
得 sin B bsin A 16
3 sin30
3
a
16
2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
C
解：∵ a c
sin A sinCb来自a∴a = c sin A= 10 sin 45 10 2 14.14A c B
sinC sin 30
∵bc
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
b
A c
a B
可分为锐角三角形，钝角三角形三种情况分析.
当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,
根据三角函数的定义,
对 斜
sin
对=斜sinθ(θ为锐角)
CD=asinB=bsinA,则
ab sin A sin B
C
同理，做BC边上的高可得
b
Ea
AE=bsinC=csinB 即： c b
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C/
证法3:向量法
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
B
c
a
A
bD C
i
2020年12月28日7时13分
证法4:面积法
S ABC
19.32
练习 在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求a ， b.
[ ] a 3 3 b 2 3
在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12 求a ， c.
[a= 4 3 ,c= 4 3]
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° .
求角B，C和边c 解：由正弦定理 a b
sin A
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
∵a > b ∴ A > B ,
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70, C=124.30,
c asinC 49.57 sin A
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?