2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第五次高考模拟训练试题及答案解析

最新高考数学五模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数z=1﹣i的共轭复数为，则z•=（）
A．0 B．﹣1 C．2 D．
2．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=ab，a，b∈A，且a≠b}，则A∩B=（）A．{0，2，3} B．{0，1，2} C．{0，2，4} D．{0，2，3，6}
3．下列说法正确的是（）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
B．命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是“∀x0∈R，x02+1＞0”
C．关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的充要条件是a＜1
D．若f（x）是R上的偶函数，则f（x+1）的图象的对称轴是x=﹣1
4．下列说法错误的是（）
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b
B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β
C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β
D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v
5．（1﹣2x）5（1+3x）4的展开式中x2的系数等于（）
A．﹣120 B．﹣26 C．94 D．214
6．若双曲线﹣y2=1的渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）
A．5 B．C．2 D．
7．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]
9．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确
的是（）
A．sin2α=2αcos2αB．cos2α=2αsin2α
C．sin2β=2βcos2βD．cos2β=2βsin2β
10．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+1）=f
（x﹣1），函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上所有实根之和为（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣11 D．﹣12
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知sinx=，x∈（，），则tanx=_______．
12．有6个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有_______种．
13．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图，如图所示，则该截面的面积是_______．
14．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果AF 的倾斜角为，则|PF|=_______．
15．定义一：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得在x∈D时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道．
定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道．下列函数：
①f（x）=lnx，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=x2，⑤f（x）=e﹣x，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_______．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．设x∈R，函数f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+cos2（﹣x）．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且=，求f（A）的取值范围．
17．设正项等比数列{a n}中，a1=2，是3a1与2a2的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的各项为正，且b n是与的等比中项，求数列{b n}的前n项和T n；若对任意n∈N*都有T n＞log m2成立，求实数m的取值范围．
18．在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求a值及这100名考生的平均成绩；
（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中有ξ名考生接受领导面试，求ξ的分布列和数学期望．
19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2，DE⊥面ABCD，EF
∥BD，且EF=BD．
（1）求证：FB∥面ACE；
（2）若二面角C﹣BF﹣D的大小为60°，求CF与面ABCD所成角的正弦值．
20．设非零平面向量，θ=（，），规定⊗=||×||sinθ．F1，F2是椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点M，N分别是其上的顶点，右顶点，且⊗=6，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线交椭圆C于点A，B，求：⊗的取值范围．
21．设f（x）=，g（x）=alnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）x在区间内有两个零点，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+＞0．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数z=1﹣i的共轭复数为，则z•=（）
A．0 B．﹣1 C．2 D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数z求出，然后代入z•化简计算得答案．
【解答】解：由z=1﹣i，
得．
则z•=（1﹣i）•（1+i）=2．
故选：C．
2．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=ab，a，b∈A，且a≠b}，则A∩B=（）A．{0，2，3} B．{0，1，2} C．{0，2，4} D．{0，2，3，6}
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合的交集的运算和集合的表示方法即可求出答案．
【解答】解：集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=ab，a，b∈A，且a≠b}={0，2，3，6}
则A∩B={0，2，3}
故选：A．
3．下列说法正确的是（）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
B．命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是“∀x0∈R，x02+1＞0”
C．关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的充要条件是a＜1
D．若f（x）是R上的偶函数，则f（x+1）的图象的对称轴是x=﹣1
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可，
B．根据特称命题的否定是全称命题进行判断，
C．根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的分布进行求解即可，
D．根据偶函数的性质以及函数平移关系进行判断．
【解答】解：A．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但a2＞b2不成立，即充分性不成立，故A 错误，
B．命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是“∀x0∈R，x02+1≥0”，故B错误，
C．若方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号，
则，即，即a＜2，
即方程有两实根异号的充要条件是a＜2，故C错误，
D．若f（x）是R上的偶函数，则公式f（x）关于y轴即x=0对称，
将函数f（x）向左平移1个单位，得到f（x+1），则函数关于x=﹣1对称，
即D正确，
故选：D
4．下列说法错误的是（）
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b
B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β
C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β
D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，
B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，
C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，
D．根据面面垂直的性质进行判断．
【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，
B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，
C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，
D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，
故选：C
5．（1﹣2x）5（1+3x）4的展开式中x2的系数等于（）
A．﹣120 B．﹣26 C．94 D．214
【考点】二项式定理的应用．
【分析】把（1﹣2x）5和（1+3x）4按照二项式定理展开，可得展开式中x2的系数．
【解答】解：∵（1﹣2x）5（1+3x）4=（1﹣10x+40x2﹣80x3+80x4﹣32x5）•（1+12x+54x2+108x3+81x4），∴它的展开式中x2的系数等于54+（﹣10）×12+40=﹣26，
故选：B．
6．若双曲线﹣y2=1的渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）
A．5 B．C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．
【分析】取双曲线﹣y2=1的一条渐近线，由已知渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切得性质可得：圆心（5，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式得出即可．【解答】解：取双曲线﹣y2=1的一条渐近线，
∵渐近线与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切，
∴圆心（5，0）到渐近线的距离d=r，即，解得r=．
故选B．
7．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图的功能是求S=1•log34•log45•log56•log67•log78•log89判断终止程序运行的k值，利用对数换底公式求得S值．
【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1•log34，k=4；
第二次运行S=1•log34•log45，k=5；
第三次运行S=1•log34•log45•log56，k=6；
…
直到k=9时，程序运行终止，此时S=1•log34•log45•log56•log67•log78•
log89=，
故选B．
8．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．
【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，
建立直角坐标系，
则A（1，0），B（0，1），
设P（x，y），
则
且=（﹣1，），=（x﹣，y﹣），
则•=﹣x+y+，
令t=﹣x+y+，结合线性规划知识，
则y=2x+2t﹣
当直线t=﹣x+y+经过点A（1，0）时，•有最小值，
将（1，0）代入得t=﹣，
当直线t=﹣x+y+经过点B时，•有最大值，
将（0，1）代入得t=，
则•的取值范围是[﹣，]，
故选：A
9．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）
A．sin2α=2αcos2αB．cos2α=2αsin2α
C．sin2β=2βcos2βD．cos2β=2βsin2β
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】由题意可得，y=|sin x|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上有且仅有两个公共点，故直线y=kx与y=|sin x|在（π，π）内相切，且切于点（β，﹣sin β），切线的斜率为﹣cos β=，化简可得结论．
【解答】解：∵=k，∴|sin x|=kx，
∴要使方程=k（k＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，
则y=|sin x|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上
有且仅有两个公共点，
所以直线y=kx与y=|sin x|在（π，π）内相切，
且切于点（β，﹣sin β），
∴切线的斜率为﹣cos β=，∴βcos β=sin β，
∴sin 2β=2sin βcos β=2βcos2β，
故选：C．
10．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+1）=f
（x﹣1），函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上所有实根之和为（）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣11 D．﹣12
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．
【分析】画出函数的图象，利用两个函数的交点关于（﹣2，1）对称，然后求解结果．【解答】解：画出两个函数的图象，
方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上所有实根共有5个，
其中x1与x4；x2与x3关于（﹣2，1）对称，另一个是﹣3，
5个根的和为：（﹣4）+（﹣4）+（﹣3）=﹣11．
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知sinx=，x∈（，），则tanx= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】求出余弦函数值，然后求解正切函数值即可．
【解答】解：sinx=，x∈（，），
cosx==，
∴tanx==﹣
故答案为：．
12．有6个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有480 种．
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，甲，乙，丙三人的位置顺序为丙在甲乙之间或丙在甲乙两边，即可得甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法是全部排法数目的，计算可得答案．
【解答】解：甲，乙，丙三人的位置顺序为丙在甲乙之间或丙在甲乙两边，
故6个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有A66=480种，
故答案为：480
13．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图，如图所示，则该截面的面积是．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据集合的三视图得出该几何体是正方体切去一个棱台，画出它的直观图，求出截面面积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是正方体去掉一个棱台，如图所示；
∴截面为等腰梯形，且两底边长分别为EF=，B1D1=2，腰长B1E=D1F=，
∴梯形的高为=，
∴截面面积S=（+2）××=．
故答案为：．
14．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果AF 的倾斜角为，则|PF|= 8 ．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】通过设P（m，n）（不妨令m、n均为正数），利用△APF为等腰三角形及直角三角形，求出n，m，通过抛物线的定义求解即可．
【解答】解：由题可知：抛物线y2=8x的焦点为：F（2，0），
抛物线y2=8x的准线方程为：x=﹣2，
不妨设P（m，n）（m、n均为正数），则8m=n2，
∴|PA|=2+m，|FA|=，
由抛物线的定义可知：|PF|=|PA|=2+m，
∴△APF为等腰三角形，
又∠AFx=，∴2p=|FA|cos60°，|FA|=8．
即=8，n2=48．
得：8m=48，
解得：m=6，|PF|=2+6=8
故答案为：8．
15．定义一：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得在x∈D时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道．
定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道．下列函数：
①f（x）=lnx，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=x2，⑤f（x）=e﹣x，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是②③⑤．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据定义一与定义二，对所给函数进行逐一进行判定，解题的关键看函数的单调性和是否有渐近线等．
【解答】解：①f（x）=lnx，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；
②f（x）=，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实
数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
③f（x）=，随着x的增大，函数值也在增大，有两条渐近线y=±x，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
④f（x）=x2，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；
⑤f（x）=e﹣x，随着x的增大，函数值趋近于0，趋近于x轴，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道．
故答案为：②③⑤
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．设x∈R，函数f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+cos2（﹣x）．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且=，
求f（A）的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）首先，结合二倍角公式和辅助角公式化简给定的函数，得到f（x）=2sin（2x
﹣），然后，根据三角函数的单调性进行确定单调递增区间；
（2）先结合余弦定理化简得到cosB=，然后，结合正弦定理，得到cosB=，结合范围得到B=，然后，根据有关角的范围，从而确定f（A）的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+cos2（﹣x）
=2sinxcosx﹣cos2x+sin2x
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）．
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．
令k=0，得﹣≤x≤，
又x∈[0，π]，此时0≤x≤；
令k=1，得≤x≤，
又x∈[0，π]，此时≤x≤π．
所以函数f（x）在[0，π]上的单调增区间是[0，]，[，π]．
（Ⅱ）∵=，
由余弦定理得：=．
所以cosB=，
即2acosB﹣ccosB=bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）﹣sinA，
又∵sinA≠0，故cosB=，
∴B=，C=﹣A＜，则A＞，
因为△ABC是锐角三角形，
所以＜A＜，＜2A﹣＜，
所以f（A）=2sin（2A﹣）的取值范围是（1，2]．
17．设正项等比数列{a n}中，a1=2，是3a1与2a2的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的各项为正，且b n是与的等比中项，求数列{b n}的前n项和T n；若
对任意n∈N*都有T n＞log m2成立，求实数m的取值范围．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，由已知列式求出公比q，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）由b n是与的等比中项，求得数列{b n}的通项公式，再由错位相减法求出数列{b n}
的前n项和T n，由对任意n∈N*都有T n＞log m2成立求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，由题意得：a3=3a1+2a2，
∴2q2=6+4q，
∴q=3或q=﹣1（舍去），
∴；
（2）∵b n是与的等比中项，
∴=•=，
∴，
则，
，
两式作差得：
=．
∴．
∵T n单调递增，
∴T n的最小值为T1=，
由，得或，
解得：0＜m＜1或m＞64，
故实数m的取值范围是（0，1）∪（64，+∞）．
18．在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求a值及这100名考生的平均成绩；
（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中有ξ名考生接受领导面试，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）利用频率分布直方图，求解a与这100名考生的平均成绩．
（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1，ξ=0，1，2，求出概率，
【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．
平均成绩为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．
（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1
显然ξ=0，1，2，，，
∴ξ的分布列为
ξ0 1 2
P
∴．
19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2，DE⊥面ABCD，EF ∥BD，且EF=BD．
（1）求证：FB∥面ACE；
（2）若二面角C﹣BF﹣D的大小为60°，求CF与面ABCD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）设AC交BD于O，连接EO，求出DB=3．证明AD⊥DB，然后证明EO∥FB．即可证明FB∥面ACE．
（2）以DA，DB，DE所在直线建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BCF的法向量，平面BDEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线CF与面ABCD所成角的正弦．
【解答】解：（1）证明：设AC交BD于O，连接EO，在△ABD中，
由余弦定理可得：DB=3．
∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥DB，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．
∴，∴，
又EF∥BD，∴四边形BOEF为平行四边形．
∴EO∥FB．
又∵EO⊂面ACE，FB⊄面ACE，
∴FB∥面ACE．
（2）∵DE⊥面ABCD
∴DE⊥DA，DE⊥DB，
分别以DA，DB，DE所在直线建立如图所示空间直角坐标系，
则，设DE=h，则F（0，2，h）
∴，，
设平面BCF的法向量为，则，即，
取z0=1，有
易知平面BDEF的一个法向量
∴
解得
∴，易知面ABCD的一个法向量，
∴
∴直线CF与面ABCD所成角的正弦为．
20．设非零平面向量，θ=（，），规定⊗=||×||sinθ．F1，F2是椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点M，N分别是其上的顶点，右顶点，且⊗=6，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线交椭圆C于点A，B，求：⊗的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出a•b=6，，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）当直线为x轴时，⊗=0；当直线不为x轴时，设直线AB的方程为：x=my+1，由得（8m2+9）y2+16my﹣64=0，⊗=||•||•sinθ=2S△OAB=|y1﹣y2|，由此能求出⊗的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知M（0，b），N（a，0），＜＞=90°，c2=a2﹣b2，∵⊗=6，
∴a•b•sin90°=a•b=6，
∵离心率e=，∴，
解得a=3，b=2，c=1，
∴椭圆的标准方程为：．
（Ⅱ）当直线为x轴时，
∵A（﹣3，0），B（3，0），＜＞=180°，
∴⊗=0，
当直线不为x轴时，
∵，∴设直线AB的方程为：x=my+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去x得：（8m2+9）y2+16my﹣64=0，
∴，，
∴⊗=||•||•sinθ
=2S△OAB=|y1﹣y2|
=
=
=48，
令t=m2+1，t≥1，得
⊗==，
令f（t）=64t++16，t≥1，
则，
∴f（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥f（1）=81，
∴0＜≤．
综上所述，⊗的取值范围是[0，]．
21．设f（x）=，g（x）=alnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）x在区间内有两个零点，求实数a
的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+＞0．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求导数的变号零点，然后据此得到原函数的极大值或极小值点；
（2）先利用导数研究函数的单调性、极值及最值的情况，然后结合数形结合思想构造出关于a的不等式（组）求解；
（3）先将原不等式变形为两个函数比较大小的情形，然后转换为两个函数最值的比较问题，还是利用导数研究．
【解答】解：（1）F（x）=f（x）•g（x）==．故F（x）在上递减，在上递增，所以为极小值点，
所以=，无极大值．
（2）．所以．
由G′（x）=0得x=1或x=﹣a（舍去）．
当x∈（0，1）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0，G （x）单调递增．
要使G（x）在上有两个零点需满足：，即，解得．
下面比较的大小．
因为=．
故．故a的范围是．
（3）原不等式等价于．
由（1）知f（x）=x2lnx的最小值为．
设h（x）=，则．
因为x＞0，所以h（x）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．h（x）max=h（2）=．
又因为．
所以f（x）min＞h（x）min，故．
所以x＞0时，lnx．
2016年9月15日。