四川省攀枝花市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

攀枝花市2026届高二（上）半期考试数学试题（答案在最后）
总分：150分时间：120分钟
一、单项选择题（共8道题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.设x ，y ∈R ，向量(,1,1)a x = ，(1,,1)b y = ，(2,4,2)c =-
，且a b ⊥ ，//b c ，则||a b + 等于（
）
A. C.3
D.4
2.过点(1,4)A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）
A.30
x y -+= B.50
x y +-=C.40x y -=或50
x y +-= D.40x y -=或30
x y -+=3.直线2
1:(1)10l a x ay -+-=，2
2:(1)()20l a x a a y -+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）
A.1
- B.0
C.1
D.2
-4.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左右焦点为1F ，2F ，离心率为1
2，过其左焦点的直线l 交椭圆E
于A ，B 两点，若2F AB △的周长为16，则E 的方程为（
）
A.22
143x y += B.22
1129x y += C.2211612x y += D.2213627
x y +=5.设1F ，2F 是椭圆22
14
x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF ⋅ 的最大值是（
）
A.2
B.1
C.4
D.5
6.在三棱锥A BCD -中，6AB AC AD ===，AB ，AC ，AD 两两垂直，E 为AB 的中点，F 为AD 上更靠近点D 的三等分点，O 为BCD △的重心，则O 到直线EF 的距离为（
）
A.2
B.1
C.
5
D.
5
7.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD ，则线段 A P 长度的取值范围为（
）
A.2⎡⎣
B.3⎡⎣
C.222⎣
D.622⎣8.已知点(,)P t t ，R t ∈，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221
(2)4
x y -+=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（）
21
-31
- C.1
D.2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若椭圆22
2:11
x y C m m +=-的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是（
）
A.2
m = B.椭圆C 3C.椭圆C 的短轴长为22
D.椭圆C 的离心率为
33
10.已知直线:0l kx y k -+=，圆2
2
:650C x y x +-+=，()00,P x y 为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（
）
A.2
2
00x y +的最大值为5
B.
00
y x 的最大值为
55C.直线l 与圆C 相切时，3
3
k =±
D.圆心C 到直线l 的距离最大值为4
11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1B C 上的动点，则下列结论正确的是（
）
A.直线1A P 与BD 所成的角不可能是
π6
B.当12B P PC =时，点1D 到平面1A BP 的距离为23
C.当12B P PC =时，2143
AP =
D.若1113
B P B
C =
，则二面角11B A P B --的平面角的正弦值为
6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在四面体O ABC -中，空间的一点M 满足24OM OA OB OC λ=+-
.若M ，A ，B ，C 四点共面，则
λ=__________.
13.已知2
2
:2410M x y x y ++-+= ，直线:10l x y --=，P 为l 上的动点.过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为__________.
14.已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，且123PF PF =，
12OP F =
，则椭圆的离心率e 等于__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(1,0)A 和点(1,2)B -，且圆心在直线220x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；
（2）若直线3x ay =+被圆C 截得弦长为，求实数a 的值.
16.（15分）已知ABC △的顶点(1,1)A ，边AC 上的高BH 所在直线的方程为80x y -+=，边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=.（1）求直线AC 的方程；（2）求ABC △的面积.
17.（15分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(4,0)M -，点(4,0)N ，动点(,)P x y 满足：直线PM 与直
线PN 的斜率之积是34
-
.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）直线l 与（1）中轨迹C 相交于A ，B 两点，若(2,1)Q -为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）在（2）的条件下，求弦长||AB .
18.（17分）如图所示的几何体中，四边形PDCE 为矩形，在梯形ABCD 中，π2
ADC BAD ∠=∠=
，F
为PA
的中点，PD=
，PA=，
11
2
AB AD CD
===，线段PC交DE于点N
.
（1）求证：//
AC平面DEF；
（2）求二面角A PB C
--的正弦值；
（3）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为
π
6？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
19.（17分）已知点1(1,0)
F-，
2
(1,0)
F，动点M满足
1212
3
MF MF F F
+=，动点M的轨迹为记为E.（1）求轨迹E的方程.
（2）若P为E上一点，且点P到x轴的距离(0,1)
d∈，求
12
PF F
△内切圆的半径的取值范围.
（3）若直线:(1)
l y k x
=-与E交于C，D两点，
1
A，
2
A分别为E的左、右顶点，设直线
1
A C的斜率为
()
11
k k≠，直线
2
A D的斜率为()
22
k k≠，试问12
22
12
k k
k k+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
攀枝花高二数学（上）半期考试数学参考答案
1234567891011C
D
A
C
B
C
D
D
ACD
BC
ABC
8.【详解】由题意，||||PN PM -的最大时，||PN 最大，||PM 最小即可，设圆221
:(1)4
E x y +-=，可得圆心(0,1)E ，半径112r =
，设圆221:(2)4F x y -+=，可得圆心(2,0)F ，半径21
2
r =，则||PN 的最大值为12PF +，PM 的最小值为1
2
PE =，所以
()
max
11122PN
PM
PF PE PF PE ⎛⎫
-=+
--=-+ ⎪⎝⎭
，因为(,)P t t 在直线y x =上，(0,1)E 关于y x =的对称点为(1,0)E '，
直线E F '与y x =交点为(0,0)O ，
所以1PF PE PF PE E F ''-=-
≤=，所以PN PM -的最大值为112+=.故选：D.
填空题：
12.3
13.10
x y -+=14.
4
14.【详解】由已知条件和椭圆的定义可得12
1232PF PF PF PF a
⎧=⎪⎨
+=⎪⎩，可得132a PF =，22a PF =，因为O 为12
F F 的中点，则120OF OF += ，因为1122,PF PO OF PF PO OF =+=+
，所以，122PF PF PO += ，又因
为2112F F PF PF =-，
所以，()(
)
(
)
2
2
22
2
211212
12
2
4||2
PO F F PF PF PF PF PF PF +=++-=+ ，
即222
2
94
)424
4a a c ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，即4c =，解得4c e a ==
.15.【详解】（1）因为(1,0)A ，(1,2)B -的中点为(0,1)E ，且直线AB 的斜率20
111
AB k -==---，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为1y x =+，
联立方程1220y x x y =+⎧⎨
-+=⎩，解得1
x y =-⎧⎨=⎩，
即圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以，圆C 的方程为22(1)4x y ++=.
（2）因为直线3x ay =+被曲线C 截得弦长为
则圆心到直线的距离1d =
=
1=，解得a =.
16.【详解】（1）由于这AC 上的高BH 所在直线方程为80x y -+=，
所以设直线AC 的方程为0x y c ++=，由于点(1,1)A 在直线AC 上，即110c ++=，解得2c =-，所以直线AC 的方程为20x y +-=.
（2）由于点C 既满足直线53100x y --=的方程，又满足20x y +-=的方程，
所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2
0x y =⎧⎨=⎩
，故(2,0)C .
所以AC =
=设(,)B a b ，由于点B 满足直线80x y -+=，故80a b -+=，
设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，满足53100x y --=，所以11
5310022
a b ++⨯-⨯-=，整理得53180a b --=，所以8053180a b a b -+=⎧⎨
--=⎩，解得21
29a b =⎧⎨=⎩
，所以(21,29)B .
则点(21,29)B 到直线20x y +-=的距离
d ==，
故11
||2422
ABC S AC d =
⨯⨯=⨯=△.17.【详解】（1）由题意3
444
y y x x ⋅=-+-，化简2211612x y +
=，又因为直线PA 、PB 的斜率存在，则4x ≠±.
故动点P 的轨迹C 的方程为22
1(4)1612
x y x +=≠±（注意：没有写4x ≠±，扣1分）
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意，显然12x x ≠，
则有221111612x y +=，222211612x y +=，两式作差可得2222
1212
01612
x x y y --+=，
即有
()()()()
12121212016
12
x x x x y y y y +-+-+
=，
又(2,1)Q -为线段AB 的中点，
则有124x x +=，122y y +=-，代A 即得直线l 的斜率为12123
2
y y k x x -=
=-，
∴直线l 的方程为3
(1)(2)2
y x --=
-，整理可得直线l 的方程为3280x y --=.（其它方法也合理给分.但直接由点差法的二级结论得出斜率，扣1分）
（3）222
32803124011612
x y x x x y --=⎧⎪⇒-+=⎨+
=⎪⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，1243
x x =，
故278||3AB =
==.18.【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，
所以N 为PC 的中点，连接FN ，在PAC △中，F ，N 分別为PA ，PC 的中点，所以//FN AC ，因为FN ⊂平而DEF ，AC ⊂/平面DEF ，所以//AC 平面DEF .（2
）因为PD =
，PA =，1AD =，
所以2
2
2
PA PD AD =+，PD AD ∴⊥，
又PD CD ⊥ 且AD CD D = ，PD ∴⊥平面ABCD ，
又AD CD ⊥，如图以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z
轴，
建立空间直角坐标系.
则(P ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，
所以(1,1,PB =
，(1,1,0)BC =- ，(0,1,0)AB = ，
设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z = ，则0
0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，
即00x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩
，解得y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =
，得1
y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以平面PBC
的一个法向量为m =
.
设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则00
n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0
0y x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，
得平面ABP
的法向量为n =
，
则6cos ,3m n 〈〉=
=
，于是3
sin 3
m n 〈〉=.故二面角A PB C --
的正弦值为
3
.（3）存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6
.设存在点Q
满足条件，由1,0,22F ⎛
⎝
⎭
，(E ，则12,2,22FE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，12,1,22BF ⎛=-- ⎝⎭
，
设(),2,0122FQ FE λλλλ⎛⎫==-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭
，则1),21,22BQ BF FQ λλλ⎛⎫++=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为
π
6
，所以π
sin cos ,6BQ m BQ m BQ m
⋅=〈〉=⋅
1
2
=，解得21λ=，由01λ≤≤，知1λ=，
且即点Q 与E 重合，故在线段EF 上存在一点Q ，
则192FQ EF ===.
19.【详解】（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，
所以E 是以12,F F 为焦点，且长轴长为6的椭圆.设E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，则26a =，可得
3a =，又1c =，
所以2
2
2
8b a c =-=，所以曲线E 的方程为：22
198
x y +=.
（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，
12PF F △的面积121
(0,1)2
S F F d d =
⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫=
=∈ ⎪⎝⎭
，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,
4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.（3）方法一：联立22
198
(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()()2222
8918980k x k x k +-+-=，设()11C x y ，()22,D x y ，易知0∆>，且2
122
1889k
x x k
+=+，()
21229889k x x k -=+.则1113y k x =
+，2
223
y k x =-，所以
()()()()()()21211121222121121231333
31333
x k x x k y x x x x k y x k x x x x x x -----+===
+-+-+-.由2
122
1889k x x k
+=+，()21229889k x x k -=+，得()121259x x x x =+-，所以
()()1212112212121259332461
593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-.所以
1222
1212
21
1121522k k k k k k k k ===+++
为定值，且定值为2
5.方法二：联立22
198
(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()()2222
8918980k x k x k +-+-=，
设()11C x y ，()22,D x y ，易知0∆>，且2
122
1889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+.
则1113y k x =+，2223y k x =-，因为()()()()1
12121221122211212223323
33433y y x x x x x x k x y k y x x x x x x x --++++===
+-++--，()
()()()()()22222222222222222222222222989854389541848
23221898989892369698981838918443489898989k k k k k k x x x k k k k k k k k k k x x x k k k k
---++---++++++++====------++-+-+++++.所以
12221
2
1221
1121522k k k k k k k k ===+++，故1222
12k k k k +为定值，且定值为25
.。