九年级数学下册3.3垂径定理课时教案北师大版

3.3垂径定理
一、教学目标
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.
2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
四、教学难点
运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
五、教学过程
（一）导入新课
引导学生说出点与圆的位置关系：
（二）讲授新课
活动内容1：
探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.
３.经过圆心的弦叫做直径
探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
小明发现图中有:
理由：
连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
和重合和重合
AC BC,AD BD.
∴==
AC BC,AD BD.
活动2：探究归纳
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
O
D
C
B
A
（三）重难点精讲
例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
O
D
C
B
A
M
证明：连接OA ，
∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形.
在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：2
22AO OM AM =+，
2222AM AO OM 1068=-=-=， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？
解:作OG ⊥AB ， ∵AG=BG,CG=DG ， ∴AC=BD.
例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ,点O 是CD 所在圆的圆心),其中CD=600m,E 是
CD 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
C
E F
D
O
解:连接OC.
,(90).Rm OF R m =-设弯路的半径为则
,OE CD ⊥
11
600300().22
CF CD m ∴=
=⨯= 根据勾股定理得：222,OC CF OF =+即
()2
2230090.R R =+-
解这个方程得R=545
∴这段弯路的半径为545米。

（四）归纳小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论、圆的对称性.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
（五）随堂检测
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC 的长为（）
A．19 B．16 C．18
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤1
AE AB
2
正确结论的个数是（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）
A ．AE ＝OE
B ．CE ＝DE
C ．OE ＝
1
2
CE D ．∠AOC ＝60° 5.（襄阳·中考）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于D 点，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，则DC 的长为（ ）
A ．5cm
B ．2．5cm
C ．2cm
D ．1cm
6.（襄阳·中考）已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，则AB ，CD 之间的距离为（ ）
A ．17cm
B ．7 cm
C ．12 cm
D ．17 cm 或7 cm
7.如图,M 为⊙O 内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB 过点M.并且AM=BM.
M O
B
O
B
A
D C D
C
N N M
图(1) 图(2)
●M
●O
【答案】
1. 【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.答案：6
2. 答案:D
3. 答案:B
4. 答案:B
5. 答案:D
6. 答案：D
7. 解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.
六．板书设计
3.3垂径定理
例题1：例题2：例题3：
七、作业布置
课本P76练习1、2 练习册相关练习八、教学反思
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列方程中，没有实数根的是( )
A．2x2x30
--=B．2x2x30
-+=
C．2x2x10
-+=D．2x2x10
--=
【答案】B
【解析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义确定正确选项．
【详解】解：A、△=（-2）2-4×（-3）=16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误；
B、△=（-2）2-4×3=-8＜0，方程没有实数根，所以B选项正确；
C、△=（-2）2-4×1=0，方程有两个相等的两个实数根，所以C选项错误；
D、△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0根时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2．下列各式：①33+3=63；②1
7
7=1；③2+6=8=22；④
24
3
=22；其中错误的有（）．
A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】A
【解析】33+3=63，错误，无法计算；②1
7
7=1，错误；③2+6=8=22，错误，不能计
算；④24
3
=22，正确.
故选A.
3．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A ．
13
B ．
23
C ．
34
D ．
45
【答案】C
【解析】易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得EF AB
= DF DB ,EF CD =BF
BD ，从而可得
EF AB +EF CD =DF DB +BF
BD
=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF 的值． 【详解】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直， ∴AB ∥CD ∥EF ，
∴△DEF ∽△DAB,△BEF ∽△BCD ，
∴
EF AB
= DF DB ,EF CD =BF
BD ， ∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BD BD
=1. ∵AB=1，CD=3， ∴
1EF +3
EF
=1， ∴EF=
3
4
. 故选C. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 4．将函数
的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位
【答案】D
【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意； B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意； C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意； D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意； 故选D.
5．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3
【答案】D
【解析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，
∴55×5=52n，
则56=52n，
解得：n=1．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）
A．
3
12
B．
3
6
C．
3
3
D．
3
2
【答案】B
【解析】试题解析：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，33，
根据题意得：AD=BC=x，3，
作EM⊥AD于M，则AM=1
2
AD=
1
2
x，
在Rt △AEM 中，cos ∠EAD=13263x AM AE x
==； 故选B ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM 是解决问题的关键.
7．点A （m ﹣4，1﹣2m ）在第四象限，则m 的取值范围是 （ ）
A ．m ＞12
B ．m ＞4
C ．m ＜4
D ．12
＜m ＜4 【答案】B 【解析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点A （m-1，1-2m ）在第四象限，
∴40120m m -⎧⎨-⎩＞①
，＜②
解不等式①得，m ＞1，
解不等式②得，m ＞12
所以，不等式组的解集是m ＞1，
即m 的取值范围是m ＞1．
故选B ．
【点睛】
本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】如图所示，∵（a+b ）2=21
∴a 2+2ab+b 2=21，
∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=1．
故选C ．
考点：勾股定理的证明．
9．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m
x -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ） A ．2
B ．-2
C ．±2
D ．-12 【答案】B
【解析】根据正比例函数定义可得m 2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．
【详解】由题意得：m 2-3=1，且m+1＜0，
解得：m=-2，
故选：B ．
【点睛】 此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx （k≠0）的自变量指数为1，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
10．对于二次函数
,下列说法正确的是（ ） A ．当x>0，y 随x 的增大而增大
B ．当x=2时，y 有最大值－3
C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D ．图像与x 轴有两个交点
【答案】B
【解析】二次函数22114(2)344
y x x x =-+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，位似比为2：3，点B 、E 在第一象限，若点A 的坐标为（1，0），则点E 的坐标是______.
【答案】（32，32） 【解析】由题意可得OA ：OD=2：3，又由点A 的坐标为（1，0），即可求得OD 的长，又由正方形的性质，即可求得E 点的坐标．
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为2：3，
∴OA ：OD=2：3，
∵点A 的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=32
， ∵四边形ODEF 是正方形， ∴DE=OD=32
． ∴E 点的坐标为：（
32，32）． 故答案为：（
32，32
）． 【点睛】 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键． 12．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.
【答案】65°
【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和列式计算即可得解. 【详解】
∵m ∥n,∠1=105°，
∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°
∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°
故答案为：65°
. 【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.
13．如图，将三角形AOC 绕点O 顺时针旋转120°得三角形BOD ，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
【答案】5π
【解析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积，利用扇形的面积公式计算即可求解．
【详解】∵△AOC ≌△BOD ，∴阴影部分的面积=扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积
22
12041201360360
ππ⨯⨯⨯⨯=-=5π． 故答案为：5π．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积是解题的关键．
14．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．
【答案】4.4×
1 【解析】科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，
所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×1，
故答案为4.4×1．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
【答案】1800°
【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
考点：多边形内角与外角．
16．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为______．
【答案】
3 4±
【解析】首先求出一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标；由于函数与x轴的交点的纵坐标是0，可以设横坐标是a，然后利用勾股定理求出a的值；再把（a，0）代入一次函数的解析式y=kx+3，从而求出k的值．
【详解】在y=kx+3中令x=0，得y=3，
则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；
设函数与x轴的交点坐标是（a，0），
根据勾股定理得到a2+32=25，
解得a=±4；
当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=
3
4 -；
当a=-4时，把（-4，0）代入y=kx+3，得k=3
4
；
故k的值为3
4
或
3
4
-
【点睛】
考点：本体考查的是根据待定系数法求一次函数解析式
解决本题的关键是求出函数与y轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得函数与x轴的交点坐标，进而求出k的值．
17．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_____cm．
【答案】40cm
【解析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【详解】∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则270
180
r
=60π，
解得：r=40cm，
故答案为:40cm．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
18．计算：﹣1﹣2＝_____．
【答案】-3
【解析】-1-2=-1+(-2)=-(1+2)=-3，
故答案为-3.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP ＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部)，连接AP、BP、BQ．如图1求证：AP ＝BQ；如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；设射线AP与射线
BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析（2）142
-（3）EP+EQ= 2EC
【解析】（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；
作CH⊥PQ 于H，由题意可求PQ=22，可得CH=2，根据勾股定理可求
AH=14，即可求AP 的长；
作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=
∠CEN=45°，则可求得EP、EQ、EC 之间的数量关系．
【详解】解：（1）如图 1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ 且AC=BC，CP=CQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴PA=BQ
如图 2 中，作CH⊥PQ 于H
∵A、P、Q 共线，PC=2，
∴2
∵PC=CQ，CH⊥PQ
∴CH=PH= 2
在Rt△ACH 中，22
-14
AC CH
∴PA=AH﹣PH= 14-2
解：结论：EP+EQ=2EC
理由：如图 3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO=∠OBE，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠OEB=∠ACO=90°，
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，
∴∠MCN=∠PCQ=90°，
∴∠PCN=∠QCM，
∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，
∴△CNP≌△CMQ（AAS），
∴CN=CM，QM=PN，
∴CE=CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），
∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°
∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，2，
∴2
【点睛】
本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=25DE，求tan∠ABD的值．
【答案】（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．
【解析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，
∴DC DE AD DC
=，
∴DC1=AD•DE
∵AC=15DE，
∴设DE=x，则AC=15x，
则AC1﹣AD1=AD•DE，
期（15x）1﹣AD1=AD•x，
整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22
(25)(4)2
x x x
-=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=
4
2
2
AD x
DC x
==．
21．深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节“活动计划书
书本类别科普类文学类进价（单位：元）18 12
备注（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不少于600本；
…
（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调査后发现：
他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.
【解析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．
【详解】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得540540
10
1.5
x x
-=，
化简得：540-10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），
由题意得，
() 1812100016800
600
t t
t
+-≤
⎧
≥
⎨
⎩
，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）
=（9-a）t+6（1000-t）
=6000+（3-a）t，
故当0＜a＜3时，3-a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元；
当a=3时，3-a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；
当3＜a＜5时，3-a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A 类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本
题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．
求证：DP 是⊙O 的切线；若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
29
3
3()22
cm . 【解析】（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可． （2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：连接OD ，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°． ∴∠DOP=180°﹣120°=60°． ∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴OD ⊥DP ． ∵OD 为半径， ∴DP 是⊙O 切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ， ∴OP=6cm ，由勾股定理得：3． ∴图中阴影部分的面积2
21
60393
3333()2
360
22
ODP
DOB
S
S
S cm 扇形 23．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元 求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ 该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万
元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案 售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m 元，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求m 的值
【答案】 (1) 甲种型号手机每部进价为1000元，乙种型号手机每部进价为800元；(2) 共有四种方案；(3) 当m ＝80时，w 始终等于8000，取值与a 无关
【解析】（1）设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元根据题意列方程组求出x 、y 的值即可；（2）设购进甲种型号手机a 部，这购进乙种型号手机(20－a)部，根据题意列不等式组求出a 的取值范围，根据a 为整数求出a 的值即可明确方案（3）
利用利润=单个利润⨯数量，用a 表示出利润W ，当利润与a 无关时，（2）中的方案利润相同，求出m 值即可；
【详解】(1) 设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元，
22800324600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1000
800
x y =⎧⎨
=⎩， (2) 设购进甲种型号手机a 部，这购进乙种型号手机(20－a)部， 17400≤1000a ＋800(20－a)≤18000，解得7≤a≤10， ∵a 为自然数，
∴有a 为7、8、9、10共四种方案，
(3) 甲种型号手机每部利润为1000×40%＝400，
w ＝400a ＋(1280－800－m)(20－a)＝(m －80)a ＋9600－20m ， 当m ＝80时，w 始终等于8000，取值与a 无关. 【点睛】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键. 24．如图所示，点C 在线段AB 上，AC = 8 cm ，CB = 6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点.
求线段MN 的长.若C 为线段AB 上任意一点，满足AC+CB=a(cm)，其他条件
不变，你能猜想出MN 的长度吗？并说明理由.若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC-CB=b(cm)，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由. 【答案】（1）7cm （2）若C 为线段AB 上任意一点，且满足AC+CB=a(cm)，其他条件不变，则MN=1
2
a(cm);理由详见解析（3）
1
2
b(cm) 【解析】（1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．
（2）据题意画出图形即可得出答案．（3）据题意画出图形即可得出答案．【详解】（1）如图
∵AC＝8cm，CB＝6cm，
∴AB＝AC＋CB＝8＋6＝14cm，
又∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝1
2
AC，CN＝
1
2
BC，
∴MN＝1
2
AC＋
1
2
BC＝
1
2
( AC＋BC)＝
1
2
AB＝7cm．
答：MN的长为7cm．
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝acm，其它条件不变，则MN＝1
2
a cm，
理由是：∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝1
2
AC，CN＝
1
2
BC，
∵AC＋CB＝acm，
∴MN＝1
2
AC＋
1
2
BC＝
1
2
(AC＋BC)＝
1
2
a cm．
（3）解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝1
2
AC，CN＝
1
2
BC，
∵AC－CB＝bcm，
∴MN＝1
2
AC－
1
2
BC＝
1
2
(AC－BC)＝
1
b
2
cm．
考点：两点间的距离．
25．解方程组
4311, 213.
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
【答案】
5
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
【解析】将②×3，再联立①②消未知数即可计算. 【详解】解：
②3⨯得：6339x y += ③ ①+③得：1050x =
5x =
把5x =代入③得10339y +=
3y =
∴方程组的解为5
3x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.
26．关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣3）x+（m ﹣1）＝0有两个实数根．求m 的取值范围；若m 为正整数，求此方程的根． 【答案】（1）9
8
m
且0m ≠；（2）10x =，21x =-． 【解析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且()()2
2341m m m =----⎡⎤⎣⎦≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m 的范围可确定m=1，则原方程化为x 2+x=0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆----
=89m -+．
解得9
8
m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数，
∴1m =．
∴原方程为20x x +=． 解得10x =，21x =-． 【点睛】
考查一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.
当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【答案】A
【解析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，
∴∠AOC=2∠B=150°．
故选A．
2．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）
A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟
【答案】C
【解析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．
【详解】解：设反比例函数关系式为：
k
y
x
=，将（7，100）代入，得k=700，
∴
700
y
x =，
将y=35代入
700
y
x =，
解得20x ；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13， 故选C ． 【点睛】
本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．
3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )
A ．0abc >
B ．20a b +<
C ．30a c +<
D ．230ax bx c ++-=有两个不相等
的实数根 【答案】C
【解析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b
a
-
=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程
230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2b
a
-
=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），
∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b
a
-
，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的
交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
4．为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】B
【解析】∵在5.5～6.5组别的频数是8，总数是40，
∴=0.1．
故选B．
5．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象
限D．第四象限
【答案】A
【解析】根据点所在象限的点的横纵坐标的符号特点，就可得出已知点所在的象限.
【详解】解：点（2,3）所在的象限是第一象限.
故答案为：A
【点睛】
考核知识点：点的坐标与象限的关系.
6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）
A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【答案】C 【解析】设大马有x 匹，小马有y 匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设大马有x 匹，小马有y 匹，由题意得：100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， 故选C ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
7．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【答案】C 【解析】解:如图所示，分别作直线AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G 、H 、I ．
因为六边形ABCDEF 的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°．
所以AFI BGC DHE GHI 、、、都是等边三角形．
所以31
AI AF BG BC ====，． 3317GI GH AI AB BG ∴==++=++=，
7232 DE HE HI EF FI
==--=--=，
7124
CD HG CG HD．=--=--=
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；
故选C．
8．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于1
2
BC 的长为半径作弧，两弧
相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）
A．90°B．95°C．105°D．110°
【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知
∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.
【详解】∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
【点睛】。