高二数学 (人教a版)选修1-1教案：1.2充分条件和必要条件(2)

§1. 2 .2 充分条件和必要条件
教学环节教学活动设计意图
一、复习
回顾①若，但，则是的_____________条件；
②若，但，则是的___________条件；
③若，且，则是的_________条件；
④若，且，则是的______条件
⑤若，且，则是的_____________条件
复习并巩固充
分条件、必要
条件、充要条
件的概念；
二、学生
活动1．若,A B都是C的充要条件，D是A的必要条件，B是D的必要
条件，则D是C的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的
条件，A
⌝是B
⌝的条件
3．（1）若:1,:4
p x q x
>≥，则p是q的条件；
（2）若
4,2,
::
4,2,
x y x
p q
xy y
+>>
⎧⎧
⎨⎨
>>
⎩⎩
则q是p的条件；
进一步理解并
掌握充分条
件、必要条件、
充要条件的概
念；
三、典型
例题例1、已知p：2
x y
+≠-；q：x、y不都是1
-，p是q的什么条件？
分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若
q则p”的真假性；从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判
断其真假性
“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1
-，则2
x y
+=-”真的
“若q则p”的逆否命题是“若2
x y
+=-，则x、y都是1
-”假的
故p是q的充分不必要条件
练习：已知p：2
2y
x≠；q：y
x≠；p是q的什么条件？
例2、已知：；：．若
是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
点拨可以有两个思路：
（1）先求出和，然后根据，，求得
引导学会逆向
思考，引导学
生对于正面较
为断抽象的命
题是否能用逆
否命题的正难
则反的方法。

的取值范围；
（2）若原命题为“若，则”，其逆否命题是“若则”，由于它们是等价的，可以把求是的必要而不充分条件等价转换为求是的充分而不必要条件．
解法一求出：或，
：或
．由是的必要而不充分条件，知B A，它等价于
同样解得的取值范围是．
解法二根据思路二，是的必要而不充分条件，等价于是的充分而不必要条件．设
：；
：；
所以，A B，它等价于
同样解得 的取值范围是 ．
四、体验与 运用 例3已知：ΘO 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d=r 是直线l 和O Θ相切的充要条件。

练习：求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是
ac bc ab c b a ++=++222，这里a,b,c 是ABC ∆的三条边。

要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．
巩固知识，培养技能. 五：学生探究
例4；求关于x 的方程2
(1)(2)40()m x m x m R -++-=∈有两个正
根的充要条件． 练习：设关于 的一元二次不等式，
对一切实数均
成立，求
的取值范围．
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

六、小结与反思
1． 充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p 则q ”的
真假进行区分,
2． 充要条件的判断,有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．若
⌝p ⇒⌝q ,则p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件．
采取师生互动的形式完成。

1、a b >是3
3
a b >的（ ）
A.充分不必要条件，
B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

2． “xy ＞0”是“｜x+y ｜=｜x ｜+｜y ｜”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 3．“A ∩B=A ”是A=B 的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4、x y =，a b =是
x y
a b
=的（ ） A.充分不必要条件， B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

5、2
3log 2x =是3log 1x =成立的（ ）
A.充分不必要条件，
B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

6、已知p ：231x ->，q ：
2
1
06
x x >+-，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件， B.必要不充分条件，
C.充要条件，
D.既不充分又不必要条件。

7．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞
21
”的 A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． “m =
2
1
”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 ( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(3)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件； 如图(4)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；
10．抛物线y=ax 2
+bx+c (a ≠0)的对称轴为x=2的充要条件是______________;
11．判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A ∶ax 2
+ax+1＞0的解集为R ，结论B ∶0＜a ＜4；
(2)条件p ∶A B ，结论q ∶A ∪B=B.
12．试寻求关于x 的方程x 2
+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件. 参考答案：
1． C 2．A 3．B 4．D 5．B 6． B 7.B 8. B; 9．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件； 图(4)：既不充分也不必要条件. 10．4a+b=0
11．解：(1)∵△=a 2
-4a ＜0，即0＜a ＜4
∴当0＜a ＜4时，ax 2
+ax+1＞0恒成立.故B ⇒A.
而当a=0时，ax 2
+ax+1＞0恒成立，∴A B. 故A 为B 的必要不充分条件.
(2)∵A B ⇒A ∪B=B ，而当A=B 时，A ∪B=B ，即q p ， ∴p 为q 的充分不必要条件.
12．解法1：关于x 的方程x 2
+mx+n=0有两个小于1的正根⇔方程在(0，1)内有实根
⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)1(0)0(12
00
f f m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-01100
2042n m n m n m .
解法2：
在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+≥∆0)1)(1(0)1()1(00
21
2
12121x x x x x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>++<<<<-≥-011
00
2042n m n m n m .。