山西省吕梁市育才中学高一数学理上学期期末试卷含解析

山西省吕梁市育才中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实系数一元二次方程的两个实根为且则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
解析：设
在直线坐标平面aOb上作出上述不等式所表示平面区域如图中阴影部分所示（不含边界），两直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点为P（－2，1）。

表示经过坐标原点O和可行域内的点（a，b）的直线l的斜率。

显然，当l过点P （－2，1）时，斜率为；当l与直线平行时，斜率为－2。

所以
2. 给出以下命题：
（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；
（2）函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1）；
（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+∞）；（4）若f（x）=为奇函数，则f（f（﹣2））=﹣7；
（5）设集合M={m|函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，m∈R}，则M的所有元素之和为15．
其中所有正确命题的序号为（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（4）（5）D．（1）（3）（4）
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据同一函数的定义和性质进行判断．
（2）根据指数函数过定点的性质进行判断．
（3）根据指数函数的图象和性质先求出函数的解析式，结合指数函数的取值范围进行求解即可．（4）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解．
（5）根据根与系数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：（1）函数f（x）==|x|，函数g（x）=|x|，则两个函数是同一个函数；正确．（2）∵f（0）=a0+1=1+1=2，∴函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，2）；故（2）错误，
（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，
则设f（x）=a x，由f（1）=4得a=4，即f（x）=4x，
若关于x的方程f（x）=有负数根，
则当x＜0时，0＜f（x）＜1，
由0＜＜1，即，即，
得，
即m＞1，
则实数m的取值范围（1，+∞）；故（3）正确，
（4）若f（x）=为奇函数，
则f（0）=0，即1+t=0，即t=﹣1，即当x≥0时，f（x）=2x﹣1．
则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣1）=﹣3，
则f（f（﹣2））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（23﹣1）=﹣7；故（4）正确，
（5）∵函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，
∴判别式△=m2﹣8m≥0，解得m≥8或m≤0，
x1+x2=m，x1x2=2m，
则此时无法确定m的取值，即M的所有元素之和为15不正确，故（6）错误．
故所有正确命题的序号为（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，涉及指数函数，函数的零点和概念，综合性较强，利用定义法和转化法是解决本题的关键．
3. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
B
【分析】
由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。

【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，
所以，解得，
由，，解得,故选B。

【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力。

4. 由,确定的等差数列，当时，则项数等于
（A） 9 （B）12 （C） 11 （D）10
参考答案：
D
5. 方程cos x = x + sin x的实根个数是（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
参考答案：
A
6. 已知函数f(x)＝sin(2ωx－) (ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是( )
A. x＝
B. x＝
C. x＝
D. x＝
参考答案：
C
【分析】
通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的对称轴方程，即可得到选项．
【详解】解：函数f（x）＝sin（2ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，
所以ω＝1，函数f（x）＝sin（2x），
它的对称轴为：2x kπk∈Z，x k∈Z，显然C正确．
故选：C．
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，对称轴方程的求法，考查计算能力．
7. （5分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，，则满足
的取值范围是（）
A．B．（0，+∞）C．
D．
参考答案：
A
考点：复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．
分析：先根据将题中关系式转化为，再由f（x）是偶函数且在[0，+∞）上递增可得关于x的不等式．
解答：由题意得，
因为f（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）增可得或
解得：0或x＞2
故选A．
点评：本题重要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、奇偶性．对于不知道解析式求自变量x的范围的题一般转化为单调性求解．
8. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于
A B C
D
参考答案：
B
9. 若在直角坐标平面内两点满足条件：①点都在函数的图象上；②点关于原点对称，则称为函数的一个“黄金点对”．那么函数
的“黄金点对”的个数是（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
参考答案：
C
略
10. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的
两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设扇形的周长为，面积为
，则扇形的圆心角的弧度数是。

参考答案：
解析：
12. 已知以下五个命题：
①若则则b=0；
②若a=0，则=0；
③若，（其中a、b、c均为非零向量），则b=c；
④若a、b、c均为非零向量，（一定成立；
⑤已知a、b、c均为非零向量，则成立的充要条件是a、b与c同向其中正确命题的序号是_______________。

参考答案：
②、⑤
13. 已知扇形半径为，扇形的面积，则扇形圆心角为________________弧度.
参考答案：
2
略
14. 已知，且满足，则tanα-的值是
．
参考答案：
3
15. 已知等比数列
{a n }满足,则的最小值是.
参考答案：
，
.
16. 若方程的解所在的区间是且，则▲.
参考答案：
2
略
17. 设向量表示“向东走6”，表示“向北走6”，则＝＿＿＿＿＿＿；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
参考答案：
(Ⅰ)∵. ∴
∴或
……………4分
∵；∴
∴
……………6分
(Ⅱ)∵. ……………9分
∴原式=……………12分19. （本题满分14分）
（1）已知：,求的值；
（2）已知.求的值.
参考答案：
（1）∵∴
（2）∵∴
∵∴
∴
略
20. 如图：两城相距，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站给两城供气. 已知地距城，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于
. 已知建设费用(万元)与两地的供气距离()的平方和成正比，当天燃气站距城的距离为时, 建设费用为万元.（供气距离指天燃气站到城市的距离）（1）把建设费用(万元)表示成供气距离()的函数，并求定义域；
（2）天燃气供气站建在距城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？
参考答案：
解：（1）设比例系数为,则.
又, 所以,即,
所以.
（2）由于,
所以当时，有最小值为1250万元.
所以当供气站建在距A城50, 电费用最小值1250万元.
略
21. 如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，
AB=OB+OC，且OA＞OB．现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB 长成正比，比例系数为k（k为正常数）；在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为．设OA=x，OB=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求N-M的最大值及相应的x的值．
参考答案：
（1）（）；（2），的最大值是.
试题分析：（1）运用题设和实际建立函数关系并确定定义域；（2）运用基本不等式求函数的最值和取得最值的条件.
试题解析：（1）因为，，，由余弦定理，
，解得，
由，得．又，得，解得，
所以的取值范围是．
（2），，
则，
设，
则．
当且仅当即取等号，此时取等号，所以当时，的最大值是．
22. 已知数列{a n}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记b n＝，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得S n＞．
参考答案：
（1）a n＝2n－1；（2）n＝1010
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，对两个等式进行化简，组成方程组，求得等差数数列的首项及公差；
（2）根据（1）写出的通项公式，用裂项相消法，求出的前和，然后解不等式，求出最小的正整数.
【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意有
，
从而的通项公式为.
(2)因为,
所以S n＝，
令，解得n>1009，n∈N*，故取n＝1010.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及裂项相消法求数列前项和。