人教版八年级数学上册第十三章 13.3.2.1等边三角形的性质与判定 同步练习题( 教师版)

人教版八年级数学上册第十三章 13.3.2.1等边三角形的性质与判定同步练习题
一、选择题
1.下面关于“等边三角形”的说法不正确的是(D)
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等腰三角形具有等边三角形的性质
2.下列说法中，正确的有(D)
①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
4.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为(D)
A．30°B．25°C．20°D．15°11.如图，已知△ABC是等边5.如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有(D)
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
6.三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝(C)
A.30°
B.20°
C.15°
D.100°
二、填空题
7.如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3.
8.如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝30°.
9.如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°.
10.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用
时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm.
11.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE相交于点F，则∠DFC＝60度.
12.如图，AB＝AC＝8 cm，DB＝DC.若∠ABC＝60°，则BE＝4cm.
13.如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点D(不与B，C重合)是BC上任意一点.将此三角形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a(用含a的式子表示).
三、解答题
14.如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.
证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB＝60°. ∴∠BAE ＝∠ACD＝120°. 在△BAE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD，AB ＝CA ，
∴△BAE ≌△ACD(SAS). ∴BE ＝AD.
15.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB 于点D ，且DE ＝DC.求证：△CEB 为等边三角形.
证明：∵CE⊥AB，且DE ＝DC ，
∴BC ＝BE.
∵AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB ， ∴∠ECB ＝1
2∠ACB＝60°.
又∵BC＝BE ，
∴△CEB为等边三角形.
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE ＝DF.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°.
∵D为AC的中点，
∴DA＝DC，
又∵DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠A＝∠C.
∴∠A＝∠B＝∠C.
∴△ABC是等边三角形.
17.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程.
解：(1)△ODE是等边三角形.
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形.
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°.
∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.
∴∠OBD＝∠BOD.∴BD＝OD.同理，EC＝OE.
∵△ODE是等边三角形，DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
18．如图，点D，E，F分别是等边△ABC的三条边AB，BC，CA上的点．
(1)如图1，若AD＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形；
(2)如图2，若△DEF是等边三角形，求证：AD＝BE＝CF.
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA.
∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF.
在△ADF 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝BE ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，
∴△ADF ≌△BED(SAS)． ∴DF ＝ED.
同理可证△ADF ≌△CFE. ∴DF ＝FE.∴DF ＝FE ＝ED. ∴△DEF 是等边三角形．
(2)∵△ABC ，△DEF 是等边三角形，
∴∠A ＝∠B ＝60°，DF ＝DE ，且∠FDE ＝60°. ∴∠BDE ＋∠ADF ＝∠ADF ＋∠AFD ＝120°. ∴∠AFD ＝∠BDE.
在△ADF 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠B ，∠AFD ＝∠BDE ，DE ＝DF ，
∴△ADF ≌△BED(AAS)． ∴AD ＝BE.
同理可证△ADF ≌△CFE ， ∴AD ＝CF.∴AD ＝BE ＝CF.
19.如图1，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC，连接AE. (1)△DBC 和△EAC 全等吗？请说说你的理由； (2)试说明AE∥BC 的理由；
(3)如图2，将动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想.
解：(1)△DBC 和△EAC 全等.
理由：∵△ABC，△EDC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝∠DCE＝60°，BC ＝AC ，DC ＝EC. ∴∠BCD ＝∠ACE.
在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE，DC ＝EC ，
∴△DBC ≌△EAC(SAS).
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC ＝∠B＝60°. 又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB. ∴AE ∥BC. (3)仍有AE∥BC.
证明：∵△ABC，△EDC 为等边三角形， ∴BC＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE＝60°. ∴∠BCA ＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE，DC ＝EC ，
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC＝∠B＝60°.
又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.。