2021学年度高一数学第一学期期中试题

2021学年度第一学期期中试题
高一数学试卷
考试时间:120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于（ ）
A ．{2，4，6}
B ．{1，3，5}
C ．{2，4，5}
D ．{2，5}
2．已知集合}01|{2
=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．函数f(x)＝x －4
lgx －1
的定义域是( )
A ．[4，＋∞)
B ．(10，＋∞)
C ．(4,10)∪(10，＋∞)
D ．[4,10)∪(10，＋∞)
4．已知函数f(x)＝x n
的图象经过点(3，13)，则f(x)在区间[14，4]上的最小值是( )
A ．4 B.14 C ．2 D.1
2
5．若函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≤1，
lgx ，x>1，则f(f(10))＝( )
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
6.图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，
l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）
A.0<a<b<1<d<c
B.0<b<a<1<c<d
C.0<d<c<1<a<b
D.0<c<d<1<a<b
7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(2－a )x ＋1(x <1)，a x
(x ≥1)
满足对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0成立，那么a 的
取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，32 C ．(1,2) D ．(1，＋∞)
x
8．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x
与y ＝log a (－x)的图象可能是( )
9.函数()lg x 26f x x =+-的零点必定位于如下哪一个区间（ ） A.
B.
C.
D.
10、已知f (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( )
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10 11. 已知A b
a ==53，且21
1=+b
a ，则A 的值是（ ） A. 15
B. 15
C. 15±
D. 225
12. 函数)3(log )(2
2a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. )4,(-∞ B. ]4,4(-
C. ),2()4,(+∞⋃--∞
D. (4,2)-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若)10(15
3
log ≠><a a a
且，则实数a 的取值范围是___________________ 14. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _________________.
15．函数)(x f ＝3
423-+-x x 的值域为________.
16.函数n a
x f x +=-4
2)((a>0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m ＋n ＝______。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，若A B =∅，
求实数a 的取值范围。

18、（本小题12分）解下列不等式：⑴ ()()
1
223
2
1329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
---+
⑵ 74
log 2327
log lg 25lg 473
+++
19．（本小题12分）m 为何值时，f(x)＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4。

(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且均比－1大。

20.（本小题12分）已知函数12log )(-=x a x f ,0(>a 且）
1≠a . （1）求f(x)函数的定义域; （2）求使f(x)>0的x 的取值范围。

21．（本小题12分）已知函数()f x =
[]1,5x ∈
（1）判断并证明)(x f 的单调性,并求出)(x f 的最值；
（2）)(x f y =的图象恒在5y x m =+图象的上方，试确定实数m 的范围。

22. （本小题12分）已知函数f(x)＝b ·a x
(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式(a b
)x
≥2m ＋1在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.
2021学年度第一学期期中试题
高一 数学试卷
考试时间:120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （）A
A ．{2，4，6}
B ．{1，3，5}
C ．{2，4，5}
D ．{2，5}
2．已知集合}01|{2
=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ）C ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．函数f(x)＝x －4
lgx －1
的定义域是( )
A ．[4，＋∞)
B ．(10，＋∞)
C ．(4,10)∪(10，＋∞)
D ．[4,10)∪(10，＋∞) [答案] D
[解析] 由题意知x －4≥0且lgx ≠1，解得x ≥4且x ≠10.故选D.
4．已知函数f(x)＝x n
的图象经过点(3，13)，则f(x)在区间[14，4]上的最小值是( )
A ．4 B.14 C ．2 D.1
2
[答案] B
[解析] 由题意知13＝3n
，∴n ＝－1.
∴f(x)＝x －1
在[14，4]上是减函数．
∴f(x)＝x －1
在[14，4]上的最小值是14
.
5．若函数f(x)＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋1，x ≤1，lgx ，x>1，
则f(f(10))＝( )
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0 [答案] B
[解析] ∵f(10)＝lg10＝1， ∴f(f(10)＝f(1)＝12
＋1＝2.
6.图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =
，
x
l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）D
A.0<a<b<1<d<c
B.0<b<a<1<c<d
C.0<d<c<1<a<b
D.0<c<d<1<a<b
7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(2－a )x ＋1(x <1)，
a x
(x ≥1)
满足对任意x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0成立，那么a 的
取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，32 C ．(1,2) D ．(1，＋∞)
D ．c>b>a
[答案] A
[解析] a ＝0.31
2 ＝0.30.5<0.30.2＝c<0.30＝1＝20<20.3
＝b ，∴b>c>a ，故选A. 8．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x
与y ＝log a (－x)的图象可能是( )B
9.函数的零点必定位于如下哪一个区间（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的性质确定函数单调递增，再根据函数零点存在条件对各区间的端点值进行判断，找出符合条件的选项即可. 【详解】
在单调递增，在定义域R 上单调递增
在
单调递增；
当
时，函数值
，，
，
；
根据零点的判定定理，，函数
的零点存在于区间(2,3)内..
故选B.
【点睛】本题考查函数零点的判定定理，解题的关键是理解并掌握零点的判定定理以及用定理判断零点所在区间的步骤.
10、已知f (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( )
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10 [答案] A
11. 已知A b
a ==53，且21
1=+b
a ，则A 的值是（ ） A. 15
B. 15
C. 15±
D. 225
[答案] B
12. 已知函数)3(log )(2
2a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）B
A. )4,(-∞
B. ]4,4(-
C. ),2()4,(+∞⋃--∞
D. (4,2)-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若)10(15
3
log ≠><a a a 且，则实数a 的取值范围是____305a <<或1a >
14. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _________________.
[答案] 2x-
1
3
或－2x+1 15．函数f(x)＝3－x 2
＋4x －3
的值域为________.
[答案] [1,3]
[解析] 设f(x)＝3t ，t ＝u ，u ＝－x 2
＋4x －3，由已知得u ≤1，∴0≤t ≤1，∴1≤f(x)≤3，故函数y ＝3
－x 2
＋4x －3
的值域为[1,3]．
16.已知函数f(x)＝a 2x －4
＋n(a>0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m ＋n ＝________。

解析 当2x －4＝0，即x ＝2时，y ＝1＋n ，即函数图象恒过点(2,1＋n)，又函数图象恒过定点P(m,2)，所以m ＝2,1＋n ＝2，即m ＝2，n ＝1，所以m ＋n ＝3 答案 3 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）
已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范
围。

17. （本小题10分） 解：
A B=∅
（1）当A=∅时，有2a+1a-1a -2≤⇒≤ （2）当A ≠∅时，有2a+1a-1a>-2>⇒ 又
A B =∅，则有2a+10a-11≤≥或1
a -a 22
⇒≤≥或
1
2a -a 22
∴-<≤≥或
由以上可知1a -a 22
≤≥或
19、（本小题12分）解下列不等式：⑴ ()()
122
3
02
132
9.63 1.548--⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
---+
⑵
7log 23
log lg 25lg 473
+++ 解（1）原式＝2
32
21
)2
3()827(
1)49(--+-- =2
32
3212)2
3()23(1)23(-⨯-⨯+-- =22)2
3()23(123--+-- =
2
1
（2）原式＝2)425lg(3
3log 4
33
+⨯+
＝210lg 3log 24
13++-
＝4
152241=++-
19．（本小题12分）m 为何值时，f(x)＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4。

(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大。

19．【解析】(1)f(x)＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2
－4(3m ＋4)＝0，即m 2
－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1。

(2)解法一：设f(x)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1 · x 2＝3m ＋4。

由题意，知⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4m 2
－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，
(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
－3m －4>0，3m ＋4－2m ＋1>0，－2m ＋2>0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m>4或m<－1，m>－5，m<1。

∴－5<m<－1。

故m 的取值范围为(－5，－1)。

解法二：函数f(x)图象的对称轴方程为x ＝－m ，由题意，知
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ>0，－m>－1，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
－3m －4>0，m<1，1－2m ＋3m ＋4>0。

∴－5<m<－1。

∴m 的取值范围为(－5，－1)。

20.（本小题12分）已知函数f(x)=㏒a 12-x
,0(>a 且
）
1≠a . （1）求f(x)函数的定义域; （2）求使f(x)>0的x 的取值范围。

解：（1）12-x >0且2x
-1）
，这个函数的定义域是（∞+⇒>⇒≥000x （2）
㏒a 12-x >0,当a>1时，12-x >1;1>⇒x 当0<a<1时，12-x <1且
x>010<<⇒x
21．（本小题12分）已知函数()f x =
[]1,5x ∈
（1）判断并证明)(x f 的单调性,并求出)(x f 的最值；
（2）)(x f y =的图象恒在5y x m =+图象的上方，试确定实数m 的范围。

解：（1）略
（2）当()y f x =的图象恒在5y x m =+图象上方 ∴实数m 的范围22m <-
22．（本小题12分）已知函数f(x)＝b ·a x
(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式(a b
)x
≥2m ＋1在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.
[解析] (1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ·
b ＝6
b ·a 3
＝24⇒a ＝2，b ＝3，
∴f(x)＝3·2x
(2)设g(x)＝(a b )x ＝(23
)x
，
则y ＝g(x)在R 上为减函数．(可以不证明) ∴当x ≤1时g min (x)＝g(1)＝2
3
，
因为(a b )x
≥2m ＋1在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即g(x)min ≥2m ＋1， 即2m ＋1≤23⇒m ≤－1
6
，
∴m 的取值范围为m ≤－1
6.。