2021年江西省上饶市信州中学高二数学文联考试卷含解析

2020-2021学年江西省上饶市信州中学高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
参考答案：
A
本题考查不等式,充分条件,必要条件,充要条件及判定.
所以有
则则是的充分但不必要条件.故选A
2. 在等差数列{a n}中，若，则等于 ( )
A．16 B．18 C．20 D．22
参考答案：
C
3. x>2是的
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
4. 已知集合，，则（）A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 已知函数，关于的方程有四个不等实数根，则的取值范围为（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
略
6. 下列命题中，真命题为（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
参考答案：
B
7. 抛物线的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
8. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
，，，，
，，选B.
9. 圆（x﹣2）2+（y+3）2=1的圆心坐标是（）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
参考答案：
D
【考点】圆的标准方程．
【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=1的圆心坐标是：（2，﹣3）．
故选：D．
10. 若焦点在y轴上的双曲线的焦距为4，则m等于（）（A）0 （B）4 （C）10 （D）－6
参考答案：
B
根据题意，焦点在轴上的双曲线，
则，即，
又由焦距为，即，
则有，
解得.
故选：B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长
为．
参考答案：
16
12.
若五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则这五个数的方差为．
参考答案：
10
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】根据题意，由五个数1、2、3、4、a的平均数为4，有==4，解可得a=10，进而由方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，五个数1、2、3、4、a的平均数为4，
则有==4，
解可得a=10；
这五个数的方差s2==10；
故答案为：10．
13. 四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，
，，则该球的体积为 _ ．
参考答案：
略
14. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为________．
参考答案： 6.42
15. 观察以下不等式：
①1+＜；
②1++＜；
③1+++＜，
则第六个不等式是 ．
参考答案：
1+
+
+
+…+
＜
【考点】归纳推理．
【分析】分析等式两边项数及分子、分母的变化规律，可得答案．
【解答】解：由①1+＜；
②1+
+
＜；
③1+
+
+
＜，
则第六个不等式是1+
+
+
+…+
＜
，
故答案为1+
+++…+＜．
16. 过抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交
点为A 并且点A 也在双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0
）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为
．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意画出图形，把A 的坐标用p 表示，代入双曲线的渐近线方程得到a ，b 的关系，结合a 2+b 2=c 2求得双曲线的离心率．
【解答】解：如图，设A （x 0，y 0），则|AF|=2（x 0﹣）， 又|AF|=x 0+，∴2（x 0﹣）=x 0+ 解得x 0=
，y 0=
|AF|=
p ，
∵点A 在双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上，
∴
p=
，解得：
，
由a 2
+b 2
=c 2
，得
=，∴e=．
故答案为
．：
17. 圆
被直线
分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 .
参考答案：
1∶3
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
的最小正周期为π，直线
为
它的图象的一条对称轴．
（1）当时，求函数f （x ）的值域；
（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，若，求b+c 的最大
值．
参考答案：
【考点】余弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．
（2），求出角A 的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6． 【解答】解：（1）∵函数的周期是π，
∴T=
，则ω=2，
则f （x ）=2cos （2x+φ），
∵为它的图象的一条对称轴，
∴2×（﹣
）+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+，
∵0＜φ＜
，
∴当k=0时，φ=
，
即f （x ）=2cos （2x+），
若时，2x∈，
2x+∈，
即当2x+=0时，函数f （x ）取得最大值此时f （x ）=2，
当2x+
=
时，函数f （x ）取得最小值此时f （x ）=0，
即函数的值域为．
（2）若
，
则2cos=2cos （﹣A+）=，
即cos （﹣A+
）=
，
额cos（A﹣）=，
∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，
即A﹣=，
即A=，
∵a=3，
∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2﹣bc=9，
即（b+c）2﹣3bc=9
即3bc=（b+c）2﹣9，
∵bc≤（）2，（b+c）2﹣9≤3（）2，
即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，
则（b+c）2≤36，
即0＜b+c≤6，
即b+c的最大值是6．
【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．
19. 方程在(－1,1)上有解．
（1）求满足题意的实数m组成的集合M；
（2）设不等式的解集为N，若，求a的取值范围．
参考答案：（1）；（2）或.
【分析】
（1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域，即可求解；
（2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N，结合集合关系进行求解，即可求解.
【详解】（1）由题意，方程在上有解，即在上有解，
设，
因为，所以函数最小值为，最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
（2）当时，解集N为空集，不满足题意．
当时，，此时集合，若，则，解得．
当时，，此时集合，若，则，解得
综上，或．
【点睛】本题主要考查集合的包含关系的应用，其中解答中结合方程与函数之间的关系以及不等式的解法是解决本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
20. 如图,给出了一个程序框图, 其作用是输入的值, 输出相应的的值
（1) 若视为自变量,为函数值,试写出函数的解析式;
（2）若要使输入的的值与输出的的值相等,则输入的值为多少?
参考答案：
（1）（5分）
（2）或或
解析：时,令,得或
时,令,得
时,令,得,不符题意,舍去
综上所述,输入的值为或或（10分）
21. 设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
参考答案：解：（Ⅰ）易知
所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即∴
故由①、②得或
22. 已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．
（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）
（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）
求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）
（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．
参考答案：
【考点】数列的应用；导数的运算．
【分析】（1）构造辅助函数?（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），求导，根据函数的单调性求得?（x）的极大值，?（x）≤?（x0）=0，即可得f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）；
（2）由（1）可知，两边分别同乘以λ1，λ2，λ3，…λn，采用累加法，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）?[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣
x0）]，由λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λn x n，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）=0，即可证明
λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）；
（3）分别求得f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，可得：=f[λx1+（1﹣λ）x2]，由n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2?a=1，可得f（a）=a．
【解答】解：（1）证明：设?（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），则?'（x）=f'（x）﹣f'（x0）
∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为?（x）的极大值点．
∵?（x）≤?（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（当且仅当在x=x0取到）
（2）证明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），
两边同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），
λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），
…
λn f（x n）≤λn f（x0）+λn f'（x0）（x n﹣x0），
上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤（λ1+λ2+…+λn）f（x0）+f'（x0）?[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）]，
因为λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λn x n，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）=0，
由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n））
等号当且仅当在x1=x2=…=x n时成立，
（3）证明：记公比为q，q＞0，则f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，
取x1′=a，，λ=∈（0，1），
则λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，
又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），
=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，
=λaq+（1﹣λ）aq3，
=aq3+λaq﹣λaq3，
=aq3+λaq（1﹣q2），
=aq3+aq（1﹣q2），
=aq2，
即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，
在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，
当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2?q=1，
∴f（a）=a．。