高考数学高三模拟试卷试题压轴押题章末综合测评数系的扩充与复数的引入184

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题章末综合测评数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.
【答案】A
2．(·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.
【答案】A
3．(·衡阳高二检测)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi 的模是( ) A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】由i(x＋yi)＝3＋4i，得－y＋xi＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x ＋yi的模为42＋－32＝5.
【答案】D
4．(·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝
25
3－4i
＝
253＋4i
3－4i3＋4i
＝3＋4i，故选D.
【答案】D
5．(·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋mi)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】z ＝(1＋mi)(1＋i)＝1＋i ＋mi －m ＝(1－m)＋(1＋m)i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.
【答案】C
6．设z ∈C ，若z2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )
【导学号：1924】
A ．实轴上
B ．虚轴上
C ．直线y ＝±x(x ≠0)上
D ．以上都不对
【解析】设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)， ∵z2＝a2－b2＋2abi 为纯虚数，∴
{ a2－b2＝0，ab ≠0.
∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x(x ≠0)上． 【答案】C
7．设复数z 满足1－z
1＋z ＝i ，则|1＋z|＝( )
A ．0
B ．1 C. 2 D ．2
【解析】∵
1－z
1＋z
＝i ， ∴z ＝1－i
1＋i
＝
1－i 21＋i 1－i
＝－i ，
∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】C
8．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i
D ．－1－i
【解析】设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋bi)(a －bi)i ＋2＝2(a ＋bi)，即(a2＋b2)i ＋2＝2a ＋2bi ，由复数相等的条件得{ a2＋b2＝2b ，
2＝2a ，得
{ a ＝1，b ＝1，
∴z ＝1＋i. 【答案】A
9．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( ) A.π6B.π4
C.π3
D.π2
【解析】z2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，
∴
{ sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1，
∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)，
∴θ＝k π＋π
2(k ∈Z)，令k ＝0知选D.
【答案】D
10．当z ＝－1－i
2时，z100＋z50＋1的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－
i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.
【答案】D
11．在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．1－3i
D ．－1＋3i
【解析】∵正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(－2,1)，O(0,0)， ∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y)， 则BC →＝OA →
，
∴(x ＋2，y －1)＝(1,2)． ∴{ x ＋2＝1，y －1＝2， ∴
{ x ＝－1，
y ＝3，
∴第四个顶点C 的坐标为(－1,3)． 【答案】D
12．复数z ＝(x －2)＋yi(x ，y ∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】由于|z|＝2，所以
x －2
2＋y2＝2，即(x －2)2＋y2＝4，故点(x ，y)在
以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋yi|＝x2＋y2，它表示点(x ，y)与原点的距离，结合图形易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.
【答案】B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．) 13．(·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．
【解析】由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a)i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.
【答案】 －2
14．复数z1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－i 1＋i 2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →
对应的复
数是________．
【解析】∵z1＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z2＝2－i3＝2＋i ，
∴P(－1,0)，Q(2,1)，
∴PQ →＝(3,1)，即PQ →
对应的复数为3＋i. 【答案】3＋i 15．定义运算||ab
cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)符合条件
||z
1
z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于_________________________________．
【导学号：1925】
【解析】由定义运算，得||z 1z 2i ＝2zi －z ＝3＋2i ，则z ＝
3＋2i
－1＋2i
＝
3＋2i －1－2i －1＋2i
－1－2i
＝15－85
i. 【答案】15－8
5
i
16．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
【解析】复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，
所以{ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2. 由条件得|z|＝a －2
2＋
a ＋1
2
＝2a2－2a ＋5
＝
2⎝
⎛⎭⎪⎫a2－a ＋14＋92 ＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋9
2
， 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
322，3. 【答案】⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
322，3 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知复数x2＋x －2＋(x2－3x ＋2)i(x ∈R)是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．
【解】∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x2＋x －2＋(x2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， ∴
{ x2＋x －2＝4，x2－3x ＋2＝20，
∴x ＝－3.
18．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m2－6m
1－i －2(1－i)，当实数m 取什么值
时，复数z 是：
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】z ＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m －2)＋(m2－3m ＋2)i ， (1)当m2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数． (2)当{ 2m2－3m －2＝0，
m2－3m ＋2≠0，
即m ＝－1
2时，z 为纯虚数．
19．(本小题满分12分)设复数z ＝1＋i
2＋31－i
2＋i
，若z2＋az ＋b ＝1＋i ，
求实数a ，b 的值．
【解】z ＝1＋i 2＋31－i
2＋i ＝
2i ＋31－i 2＋i
＝3－i
2＋i
＝3－i 2－i 2＋i
2－i
＝1－i.
将z ＝1－i 代入z2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a(1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b)－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以{ a ＋b ＝1，
－
a ＋2
＝1.
所以{ a ＝－3，b ＝4.
20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC.求顶点C 所对应的复数z.
【解】设z ＝x ＋yi ，x ，y ∈R ， 因为OA ∥BC ，|OC|＝|BA|， 所以kOA ＝kBC ，|zC|＝|zB －zA|，
即⎩⎨⎧ 21＝
y －6
x ＋2
，x2＋y2＝32＋42，
解得{ x1＝－5，y1＝0或{ x2＝－3，
y2＝4.
因为|OA|≠|BC|，
所以x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故z ＝－5.
21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z|＝2，z2的虚部为2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z2，z －z2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 【解】(1)设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi ， ∴2ab ＝2.
∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z2＝(1＋i)2＝2i ，z －z2＝1－i. ∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC|×1＝1
2
×2×1＝1.
当z ＝－1－i 时，z2＝(－1－i)2＝2i ，z －z2＝－1－3i. ∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC|×1＝1
2×2×1＝1.
即△ABC 的面积为1.
22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x2－(6＋i)x ＋9＋ai ＝0(a ∈R)有实数根b.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若复数z 满足|z －a －bi|－2|z|＝0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.
【导学号：1926】
【解】(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
∴{b2－6b＋9＝0，a＝b，
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示．
当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|＝2，半径r＝22，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝ 2.
高考数学模拟试卷复习试题高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
3．（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）
A．[﹣3，1] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4．（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
6．（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）
A．B．C．D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）
A．B．C．D．
9．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，
A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）
A．±B．±C．±1 D．±
10．（5分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则
m的值为（）
A．﹣3 B．1 C．D．3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）复数（1+2i）i的实部为．
12．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．
13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=．
14．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为．
15．（5分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
17．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10 （Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程=t+中
．
18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
19．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
21．（13分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．
重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案．
【解答】解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1，
故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件，
故选：A．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可．
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．
3．（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）
A．[﹣3，1] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．
【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0
解得x＞1或x＜﹣3
所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型．
4．（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为，
故选：B．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，
几何体的体积为：=．
故选：B．
【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．
6．（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）
A．B．C．D．
【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，
故选：A．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7．（5分）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）
A．B．C．D．
【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．
【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，
所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；
故选：C．
【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）
A．B．C．D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k ＜8，退出循环，输出s的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，k=0
满足条件k＜8，k=2，s=
满足条件k＜8，k=4，s=+
满足条件k＜8，k=6，s=++
满足条件k＜8，k=8，s=+++=
不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，
A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）
A．±B．±C．±1 D．±
【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用
A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），
∵A1B⊥A2C，
∴，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则
m的值为（）
A．﹣3 B．1 C．D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由，得，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由，解得，即B（1﹣m，1+m），
由，解得，即C（，）．
则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC
=|AD||yB﹣yC|
=（2+2m）（1+m﹣）
=（1+m）（1+m﹣）=，
即（1+m）×=，
即（1+m）2=4
解得m=1或m=﹣3（舍），
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）复数（1+2i）i的实部为﹣2．
【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i2=﹣1．
【解答】解：（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=﹣1．属于基础题．
12．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0．
【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．
【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，
故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即 x+2y﹣5=0，
故答案为：x+2y﹣5=0．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方
程，属于基础题．
13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．
【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．
【解答】解：∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为3．
【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．
【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．
15．（5分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为．
【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．
【解答】解：方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于，
解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，
∴所求概率P==
故答案为：
【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
，解得．
代入等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设{bn}的公比为q，则，从而q=2，
故{bn}的前n项和．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n
项和，是中档题．
17．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10 （Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程=t+中
．
【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区的人民币储蓄存款．
【解答】解：（Ⅰ）
由题意，=3，=7.2，
=55﹣5×32=10，=120﹣5×3×7.2=12，
∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，
∴y关于t的回归方程=1.2t+3.6．
（Ⅱ）t=6时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，
∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣
当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin （x﹣）﹣的值域为：[，]，
故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
19．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．
∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，
∴f′（﹣）=0，
∴3a•+2•（﹣）=0，
∴a=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，
∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，求得S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积VP﹣DFBC=SDFBC•PE=7，即可解得线段BC的长．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．
因为∠ABC=，EF∥BC，
故AB⊥EF，
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，
从而S△ABC=AB•BC=x，
由EF∥BC知，得△AFE∽△ABC，
故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，
由AD=AE，S△AFD==S△ABC=S△ABC=x，
从而四边形DFBC的面积为：SDFBC=S△ABC﹣SAFD=x﹣x=x．
由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．
在直角△PEC中，PE===2，
故体积VP﹣DFBC=SDFBC•PE=x=7，
故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．
所以：BC=3或BC=3．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．
21．（13分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．
【分析】（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF1，利用勾股定理可得2c=|F1F2|=，解得c．利用b2=a2﹣c2．即可得出椭圆的标准方程．
（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=，由椭圆的定义
可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=2a﹣|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简．令t=1+λ，则上式化为e2=，解出即可．
【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+）+（2﹣）=4，解得a=2．
设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF1，
∴2c=|F1F2|===2，
∴c=．
∴b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆的标准方程为．
（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，
∴|QF1|==，
由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，
∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，
∴|PF1|=4a，解得|PF1|=．
|PF2|=2a﹣|PF1|=，
由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，
∴+=4c2，
∴+=e2．
令t=1+λ，则上式化为=，
∵t=1+λ，且≤λ＜，
∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴，
∴，解得．
∴椭圆离心率的取值范围是．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则
|AB|=．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
一等奖3红1蓝200元
二等奖3红0蓝50元
三等奖2红1蓝10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．
重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）={4}．
故选：D．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，
即可得到所求式子的最大值．
【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，
由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫
做中位数．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．
【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到
一个四棱柱，
由图知V==200．
故选：C．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．
【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；
又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．
【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，
考查转化思想与计算能力．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环 log23 3
第二次循环log23•log34 4
第三次循环log23•log34•log45 5
第四次循环log23•log34•log45•log56 6
第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．
故选：B．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出。