【创新设计】高考数学(山东理)一轮复习练习：9.3圆的方程(含答案解析)
步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习9.3圆的方程(含答案详析)
第3讲圆的方程一、填空题1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为__________________．解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案x2＋(y＋2)2＝52．已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是________．解析依题意得，直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝10，因此圆的半径是5.答案 53．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．解析由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案y2＋4x－4y＋8＝04．已知圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0 相切，则圆O的方程是________．解析设圆心为(a,0)(a<0)，则|a|2＝5，∴a＝－10，∴圆O的方程为(x＋10)2＋y2＝5.答案(x＋10)2＋y2＝55．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN 的最小值是________．解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.答案 456．平移直线x －y ＋1＝0使其与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则平移的最短距离为________．解析 圆心(2,1)到直线的距离d ＝|2－1＋1|2＝ 2. 所以，平移的最短距离为2－1.答案 2－17．已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则 △ABP 面积的最小值为________．解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112. 答案 1128．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6.答案 (4,6)9．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝6，则圆C 的方程为________．解析 抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝1010．圆心在曲线y ＝3x (x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．解析 设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3a (a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋1≥35(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，圆的半径为3. 答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9 二、解答题11．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)．(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S .解 (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，有直线x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k ，|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k＝34.∴过点A 的圆的切线方程为：x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，l OA ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12d |AO |＝12.12．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12AM ·P A ＋12BM ·PB .又AM ＝BM ＝2，P A ＝PB ，所以S ＝2P A ， 而P A ＝PM 2－AM 2＝PM 2－4， 即S ＝2PM 2－4. 因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得PM 的值最小，所以PM min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形P AMB 面积的最小值为S min ＝2[(PM )min ]2－4＝232－4＝2 5.13．已知直线l ：x ＝4与x 轴相交于点M ，P 是平面上的动点，满足PM ⊥PO (O 是坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过直线l 上一点D (D ≠M )作曲线C 的切线，切点为E ，与x 轴相交点为F ，若DE →＝12DF →，求切线DE 的方程． 解 (1)依题意，知M (4,0)，设P (x ，y )(x ≠0且x ≠4)， 由PM ⊥PO ，得k PM ·k PO ＝－1，即y x －4·y x＝－1， 整理得，动点P 的轨迹C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0且x ≠4)．(2)DE 、DM 都是圆(x －2)2＋y 2＝4的切线，∴DE ＝DM .∵DE →＝12DF →，∴DF ＝2DE ＝2DM ，∴∠DFM ＝π6. 设C (2,0)，在△CEF 中，∠CEF ＝π2，∠CFE ＝π6，CE ＝2，∴CF ＝4，根据题意取F (－2,0)．切线DE 的倾斜角α＝π6或5π6，∴切线DE 的斜率k ＝33或－33，切线DE 的方程为y ＝±33(x ＋2)．14．已知圆C 通过不同的三点P (m,0)，Q (2,0)，R (0,1)，且CP 的斜率为－1.(1)试求圆C 的方程；(2)过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，且PC 的斜率为－1， 所以－E 2－0－D 2－m ＝－1. ①因为圆C 通过不同的三点P (m,0)，Q (2,0)，R (0,1)，所以⎩⎨⎧ 1＋E ＋F ＝0，②4＋2D ＋F ＝0，③m 2＋Dm ＋F ＝0.④联立①②③④，解得⎩⎨⎧ D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252. (2)圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，圆心到l 1，l 2的距离设为d 1，d 2，则d 21＋d 22＝OC 2＝132，又⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＋d 21＝252， ⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22＋d 22＝252， 两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF ·GH .所以 S ＝12EF ·GH ≤372，即(S 四边形EGFH )max ＝372.。
(山东专用)2020届高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2圆的方程教师用书(PDF,含解析)
解析 ∵ 直线 ｌ: ｘ＋ｍｙ＋ ２－ ３ｍ ＝ ０ 即 ｘ＋ ２＋( ｙ－ ３) ｍ ＝ ０ 过
定点 Ｍ( －２ꎬ３) ꎬ
圆 Ｃ:ｘ２ ＋ｙ２ －２ｘ－２４ ＝ ０ 即( ｘ－１) ２ ＋ｙ２ ＝ ２５ 的圆心为 Ｃ( １ꎬ０) ꎬ
半径 ｒ ＝ ５ꎬ
∴ 点 Ｍ 在圆 Ｃ 的内部ꎬ
∴ 当直线 ｌ 与线段 ＭＣ 垂直时ꎬ弦长最短ꎬ
(１)求圆 Ｍ 的方程ꎻ
(２)过点 Ｍ 且不与 ｘ 轴重合的直线与圆 Ｍ 相交于 ＡꎬＢ 两
点ꎬＯ 为坐标原点ꎬ直线 ＯＡꎬＯＢ 分别与直线 ｘ ＝ ８ 相交于 ＣꎬＤ 两
点ꎬ记△ＯＡＢ、△ＯＣＤ
的面积分别是
Ｓ１
、Ｓ２
.求
Ｓ１ Ｓ２
的取值范围.
２－３ 解析 (１) 由题可知ꎬ设圆 Ｍ 的方程为( ｘ－ａ) ２ ＋ｙ２ ＝ ｒ２ ꎬ
( ) (２) 当 Ｄ２ ＋Ｅ２ －４Ｆ ＝ ０ 时ꎬ方程表示点
－
Ｄ ２
ꎬ－
Ｅ ２
ꎻ
(３) 当 Ｄ２ ＋Ｅ２ －４Ｆ<０ 时ꎬ方程不表示任何图形ꎻ
(４) Ａ ＝ Ｃ≠０ 且 Ｂ ＝ ０ 是方程 Ａｘ２ ＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２ ＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ ＝ ０ 表
示圆的必要不充分条件.
对应学生用书起始页码 Ｐ１６２
１ ｋ２
≤ ＋２
１ ４
ꎬ当且仅当 ｜
ｋ｜
＝
１
时取
等号.
( ] 又 Ｓ１ >０ꎬ所以 Ｓ１ 的取值范围是
１ ０ꎬ
Ｓ２
Ｓ２
４
.
.
２－２ 答案 ４
解析 ∵ Ｃ１( －ａꎬ０)ꎬｒ１ ＝ ３ꎬＣ２( ０ꎬ２ｂ)ꎬｒ２ ＝ １ꎬ∴ ｜ Ｃ１Ｃ２ ｜ ＝
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题9.3 圆的方程(练)答案解析
1. 以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 【答案】2225(2)(1)2x y -++=【解析】由题意r 2225(2)(1)2x y -++=．【2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB 中点，若直线:l y kx =-上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________ 【答案】22k -≤≤3. 已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .【答案】1±【解析】设:(0)l y kx b b =+≠，代入圆的方程，化简得222(1)240k x kbx b +++-=：设()()1122,,,P x y Q x y ，得212122224,11kb b x x x x k k-+=-=++， 22121212121212op oq y y x x b b b k k k k k kb x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅=⋅=++=++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2222222222222222422(1)44444k b k b k b b kb b k b k k kb b b b b --+++-⎛⎫=+-+== ⎪----⎝⎭，由2op oq l k k k ⋅=得222244b k kb -=-解得1k =±4. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲ ．【答案】185. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B两点，若AB =，则k = ▲ ． 【答案】12【解析】圆心()2,0C ，半径为1，圆心到直线距离d =，而AB =，得221+=，解得12k = 6.已知圆C 过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y －2)2＝5【解析】由题意得圆心既在y ＝x 上，又在AB 的中垂线上x ＝2，由2y x x =⎧⎨=⎩得圆心坐标为(2,2)，r ＝|AC|.故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.7.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为_______． 【答案】()()22211x y -+-=【解析】圆()()22121x y -+-=的圆心坐标为()1,2，此点关于直线y x =的对称点的坐标为()2,1，由于两圆关于直线对称，它们的圆心关于直线对称，大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为()2,1，其半径长为1，即为()()22211x y -+-=.8.圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为_______． 【答案】(x －2)2＋(y －1)2＝29.能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是_______． A ．3()4f x x x =+ B ．5()15xf x n x-=+ C ．()tan 2x f x = D ．()x x f x e e -=+ 【答案】D【解析】只有D 答案是偶函数，这个圆的圆心是(0,0)O ，则奇函数会是该圆的“和谐函数”.10.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程_______． 【答案】03=--y x【解析】设圆心为1,0M （），由垂径定理知MP AB ⊥，∵1MP k =-，∴1AB k =，又直线AB 过点(2,1)-，所以直线方程为30x y --=．11过点()2,11A 作圆01644222=--++y x y x 的弦，其中弦长为整数的共有_______条．【答案】32【解析】圆的标准方程是：222(1)(2)13x y ++-=，圆心(1,2)-，半径13r =，过点(11,2)A 的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）还有长度为11,12,25的各2条，所以共有弦长为整数的221532+⨯=条.12.若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 【答案】(0，－1)【解析】方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准方程为(x ＋2k )2＋(y ＋1)2＝1－234k ，∵r 2＝1－234k ≤1，∴k ＝0时r 最大．此时圆心为(0，－1)．13. 已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程; （2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程.【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】（1）因为044222>-+a ，所以5<a .14. 如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG=50m.在观测点正前方10m 处（即PD=10m ）有一个高位10m （即ED=10m ）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧.(1)若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为X 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；(2)若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠）的正切值为3941,求该圆形标志物的半径.【答案】（1）22225)25(:=-+y x C ，020034=+-y x （2）40=r因为直线PF 与圆C 相切，所以r r =+-81160020009， .......................................13分化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r . 故40=r . .......................................................16分。
2024年高考数学一轮复习第8章第3讲：圆的方程(附答案解析)
第1页共27页2024年高考数学一轮复习第8章第3讲：圆的方程学生版考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.
能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系：
(1)|MC |>r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；
(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；
(3)|MC |<r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．
常用结论
1．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝a 2(a ≠0)表示以(2,1)为圆心，a 为半径的圆．(×
)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.(√)
(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.(
√)教材改编题。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.3 圆的方程
§9.3圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件． 3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ )(5)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) 题组二 教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B 解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1B ．0<a <1C．a>1或a<－1 D．a＝±4答案 A解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故选A.题型一 圆的方程例1 (1)已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. (2)(2018·鞍山模拟)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为____________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 方法一 所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a )． 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， 圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2，即(2a －3)22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝(a －b －3)22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① 由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ， ∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ， 即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为_____________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去， 所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.题型三 与圆有关的最值问题例3 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 C解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C.4．(2018·锦州调研)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 5．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.6．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]答案 D解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________. 答案3π4解析 由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.9．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2. 12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线， 连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1， |CQ |＝|5＋3|2＝42， 则|QM |的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________． 答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________． 答案 2 2 解析x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.15．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C.323 D.163答案 C解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号，故选C. 16．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C 的方程．解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.3圆的方程练习(含
课时作业43 圆的方程一、填空题1．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是__________．2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是__________．3．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，过点A(－1,0)的弦中，弦长的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.4．(2012江苏扬州模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为__________．6．(2012江苏南京高三模拟)已知圆C经过直线2x－y＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2＝8x的焦点，则圆C的方程为________．7．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．8．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程是__________．9．(2012江苏徐州高三质检)在平面直角坐标系中，已知点A(1，－2)，B(4,0)，P(a,1)，N(a＋1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过点A，P，N的圆的圆心坐标是__________．二、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，求实数c的取值范围．12．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍．已知A，B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P 地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？参考答案一、填空题 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113 解析：当点P 在圆的内部时，点P 到圆心的距离小于该圆的半径，即有(5a )2＋(12a )2＜1⇒a 2＜1132⇒|a |＜113⇒－113＜a ＜113.2．6 2 解析：所给圆的圆心坐标为(2,2)，半径为r ＝32，圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|2＝5 2.∴所求的最大距离与最小距离的差为(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝6 2. 3．10－27 解析：点A 在⊙C 内，过点A 的最大弦长为直径10， ∴M ＝10.∵弦长最小的弦与AC 垂直(即以A 为中点的弦)，∴m ＝252－CA 2＝27. ∴M －m ＝10－27.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，则r ＝|－2|2＝ 2.所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.5．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 解析：圆心在AB 中垂线y ＝－3上又在2x －y －7＝0上， ∴C (2，－3)，CA ＝ 5. 6．x 2＋y 2－x －y －2＝0 解析：方法一：直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (0,2)，抛物线y 2＝8x 的焦点为D (2,0)，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0.方法二：可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点，先求出圆心，并求出半径，再求．7．(x －3)2＋y 2＝2 解析：∵由已知得圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C .又∵圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1. ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)． ∴r ＝BC ＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.8．(x －1)2＋y 2＝2 解析：作图可知圆心(1,0)到点P 的距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.9.⎝⎛⎭⎪⎫3，－98 解析：因为AB ，PN 长已知，所以四边形PABN 的周长最小，即AP ＋NB 最小．AP ＋NB ＝a －12＋32＋a －32＋12，AP 可以看成点(a,0)到(1,3)的距离，NB 可以看成(a,0)到(3,1)的距离．因为点(1,3)关于x 轴的对称点的坐标为(1，－3)，当三点共线时，AP ＋NB 最小，即a ＝52.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1. 因为过A ，P ，N 的三点的圆的圆心就是AP ，AN 的中垂线的交点，求得圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，－98. 二、解答题10．解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点坐标为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心坐标为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①②，得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.11．解：如图，圆x 2＋y 2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，问题转化为原点(0,0)到直线 12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |122＋52＜1，|c |＜13，∴－13＜c ＜13.12．解：如图，以A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，∵AB ＝10，∴A (－5,0)，B (5,0)．设P (x ，y )，P 到A ，B 两地购物的运费分别是3a ，a 元/千米．当由P 地到A ，B 两地购物费用相等时，有价格＋A 地运费＝价格＋B 地运费， ∴3a ·x ＋52＋y 2 ＝a ·x －52＋y 2.化简整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542.当点P 在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A 地或B 地购货总费用相等； 当点P 在上述圆内时，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＜0.∴3x ＋52＋y 2＜x －52＋y 2.故此时到A 地购物合算；当点P 在上述圆外时， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＞0.∴3x ＋52＋y 2＞x －52＋y 2.故此时到B 地购物合算．。
高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：9.3 圆的方程
§9.3 圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，能结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．本节内容高考主要考查圆的标准方程和一般方程，多以选择题、填空题的形式出现．1．圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ．2．圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心， 为半径长的圆的标准方程．(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程．注：将上述一般方程配方得⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．3．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)， (1)点M 在圆上：_________________________； (2)点M 在圆外：_________________________； (3)点M 在圆内：_________________________.【自查自纠】1．定点 定长 集合 圆心 半径长 2．(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F 3．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2 (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r2若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，∵直线经过圆的圆心(－1，2)，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.故选B.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23解：∵方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，∴D 2＋E 2－4F >0，即a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.故选D.(2012·潍坊模考)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径长为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B. x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D. x 2＋y 2－2x －4y ＝0 解：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0变形得y －2＝(a －1)(x ＋1)，∴该直线恒过点C (－1，2)．∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.故选C.圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的方程是________________．解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二(数形结合法)：作图，根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故填x 2＋(y －2)2＝1.(2013·江西)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是____________．解：∵圆C 过原点，∴可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.又∵圆C 过点(4，0)，∴代入圆C 的方程得D ＝－4.由圆C 与直线y ＝1相切得方程x 2－4x ＋E ＋1＝0仅有一解，∴Δ＝(－4)2－4(E ＋1)＝0，解得E ＝3.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋3y ＝0，化为标准方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254(此题亦可用几何方法解)．故填(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254.类型一 求圆的方程已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并且判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．解法一(待定系数法)：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6. 再根据两点的距离公式，得圆的半径长是 r ＝|CP 1|＝（4－5）2＋（9－6）2＝10. 因此所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10. 解法二(轨迹法)：∵P 1P 2为直径，∴圆上任意一点与P 1，P 2的连线互相垂直． 设P (x ，y )为所求圆上任意一点，∵PP 1⊥PP 2，∴1PP k ·2PP k ＝－1，即y －9x －4·y －3x －6＝－1， 得x 2＋y 2－10x －12y ＋51＝0，其标准形式(x －5)2＋(y －6)2＝10即为所求方程． 分别计算点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)与圆心C (5，6)的距离，得|CM |＝10，|CN |＝13＞10，|CQ |＝3＜10.因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内． 【评析】(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点则可求出圆的方程．因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”等．(3)常见圆的方程的设法：标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点X 2＋y 2＝r 2 x 2＋y 2－r 2＝0过原点 (x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋b 2x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0 圆心在x轴上 (x －a )2＋y 2＝r 2 x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0圆心在y轴上x 2＋(y －b )2＝r 2 x 2＋y 2＋Ey ＋F ＝0与x 轴 相切 (x －a )2＋(y－b )2＝b 2x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋14D 2＝0 与y 轴相切(x －a )2＋(y －b )2＝a 2x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋14E 2＝0(2012·江西九校联考)已知一个圆同时满足下列条件：①与x 轴相切；②圆心在直线3x －y ＝0上；③被直线l ：x －y ＝0截得的弦长为27. 则此圆的方程为____________________．解：由①可设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由②知b ＝3a ，而圆心(a ，b )到直线l 的距离为d ＝|a －b |2，又由③知b 2－d 2＝7，联立⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ，d ＝||a －b 2，b 2－d 2＝7，解得a ＝1，b ＝3或a ＝－1，b ＝－3.故填(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.类型二 三角形的内切圆与外接圆已知三角形的三边所在直线分别为x ＋2y ＝5，2x －y ＝5，2x ＋y ＝5，求三角形的内切圆方程．解：设内切圆圆心I (a ，b )，半径长为r . 由点到直线的距离知r ＝||2a －b －55＝||2a ＋b －55＝||a ＋2b －55，又∵三角形的内心总在这三角形的内部， ∴根据线性规划的知识得r ＝2a －b －5－5＝2a ＋b －55＝a ＋2b －5－5.由2a －b －5＝a ＋2b －5，得a ＝3b ，①由2a －b －5＝－(2a ＋b －5)，得a ＝52.将a ＝52代入①式，得b ＝56.∴r ＝5＋56－55＝56.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －562＝536.【评析】设出圆的圆心坐标后，利用三角形内切圆的性质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的方程组，解此方程组得圆心坐标后再求圆的半径长．求解过程中需要注意：内切圆的圆心总在三角形的内部，因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代数式的符号，否则会求出多解(其他的解是三个旁切圆的圆心)．(2012·福建四地六校联考)△ABC 的三个顶点分别为A (－1，5)，B (－2，－2)，C (5，5)，求其外接圆的方程．解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为x ＝2，线段BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0，∴圆心是两中垂线的交点(2，1)， 半径r ＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 故所求圆的方程为()x －22＋()y －12＝25.类型三 与圆有关的轨迹问题已知点A (3，0)，点P 是圆x 2＋y 2＝1(x ≠1)上的一点，∠AOP 的角平分线交AP 于Q ，求点Q 的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x ′，y ′)． ∵OQ 是∠AOP 的平分线， ∴|AO ||OP |＝|AQ ||QP |.又|AO |＝3，|OP |＝1， ∴|AQ ||QP |＝3，即AQ →＝3QP →，有(x －3，y )＝3(x ′－x ，y ′－y )，⎩⎨⎧x ′＝4x －33，y ′＝4y 3.代入圆的方程得：（4x －3）29＋16y 29＝1，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝916⎝⎛⎭⎫x ≠32为所求方程．【评析】①此题运用了三角形内角平分线定理，从而使问题变得简单．经验告诉我们，在解析几何中，能成功运用几何定理，往往能使思维在“山重水复”的困境中豁然进入“柳暗花明”的境界．②向量工具具有简化运算的强大功能．已知A ，B 两点为定点，动点M 到A ，B 两点的距离比是常数λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：建立如图所示的坐标系，设M (x ，y )，||AB ＝2a (a >0)，则A (－a ，0)，B (a ，0)，由题意得||MA ||MB ＝λ，∴（x ＋a ）2＋y 2（x －a ）2＋y 2＝λ，化简得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋2a (1＋λ2)x ＋(1－λ2)a 2＝0.当λ＝1时，即||MA ＝||MB ，点M 的轨迹方程是x ＝0，其轨迹是直线(y 轴)；当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＋2a （1＋λ2）1－λ2x ＋a 2＝0，点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a （1＋λ2）1－λ2，0为圆心，2aλ||1－λ2为半径长的圆．1．注意应用圆的几何性质由于圆图形优美，具有丰富的性质，因此在复习中注意重温圆的平面几何的性质，注意一题多解．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式；②利用条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；③解②中的方程组，求得a ，b ，r 或D ，E ，F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程．。
圆的方程(高三数学第一轮复习)
C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=16
能力提高训练：
1、已知过点A(1,4),B(3-2)且圆心到直线AB的 距离为 10 , 求这个圆的方程. 2、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上,且 直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.
（A）5 2 （B）10 2 （C）15 2 （D）20 2
圆的方程(高三数学第一轮复习)
能力提高训练：
5、已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求: (1) y 的最大值和最小值;
x
(2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值与最小值.
6.若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-
例3. 已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y3=0相交于P, Q两点, 若yOP⊥OQ,求m的值.
P
O1
Q
O
x
解: 由方程组
x2 y2 x 6 y m 0,
x
2
y
3
0.
消x,得
5 y2 20 y 12 m 0.
设直线与圆的交点坐标为P(x1, y1) , Q(x2 , y2),
基础练习训练：
1、写出满足下列条件的圆的方程: (1)圆心在原点,半径为3 (2)经过点B(3,1),圆心在点C(-2,-4) (3)以A(2,5),B(0,-1)直径 (4)过三点A(1,12),(7,10),(-9,2)
基础练习训练：
2021年高考数学一轮总复习 9.3圆的方程课时作业 文(含解析)新人教版
2021年高考数学一轮总复习 9.3圆的方程课时作业 文（含解析）新人教版一、选择题1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C2．(xx·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C4．(xx·东营模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A5．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：设圆心为O ，则O (0,0)，则以OP 为直径的圆为△ABP 的外接圆．圆心为(2,1)．半径r ＝|OP |2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：D6．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案：B 二、填空题7．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为__________．解析：方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆，设x －2y ＝m ，则圆心到直线x －2y －m ＝0的距离d ＝|5－m |5∈[0，5]，解得m 的最大值为10.答案：108．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________．解析：∵圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)， ∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上． 又已知圆心在2x －y －7＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，2x －y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即圆心C (2，－3)，半径r ＝|AC |＝22＋[－3－－4]2＝5，∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝59．圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________．解析：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.答案：x 2＋y 2＝36 三、解答题10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． 解析：(1)由(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，∴－17＜t ＜1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477.此时圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9＜0时，点P 在圆内， ∴8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜34.11．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 解析：由题意可知点(x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上， (1)方法一：圆x2＋(y －1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1， ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1， ∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c ， ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0， ∴c 的取值范围为c ≥2－1.12．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列得，x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2.由此得0≤y 2＜1，所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．39710 9B1E 鬞 ` l 29887 74BF 璿21042 5232 刲36138 8D2A 贪7D 21126 5286 劆DR。
高考数学(理)一轮复习讲练测：专题9.3圆的方程(测)答案解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是切合题目要求的 .）1.若坐标原点在圆( x - m)2 + ( y + m)2 = 4 的内部，则实数m 的取值范围是（）（ A ）- 1< m < 1（B）- 3 < m <3（ C）- 2 < m < 2（D）- 2 < m < 222【答案】 C2.【 2015-2016 学年辽宁省要点高中协作校】已知圆心(a, b)(a 0,b0)在直线 y 2x 1上的圆 ,其圆心到x轴的距离恰巧等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2 5 ,则圆的方程为A．B．C．D．( x3) 2( y5)225 ( x2) 2( y3)29 ( x 2 )2( y7)249 339 ( x 2 )2( y7)249 339【答案】 Br b a2【分析】设圆的方程为x222，则b2a 1，解得b 3，a y brr 2a2r32因此圆的方程为x2y 3229 .3.过三点 A(1,3) ， B(4,2) ， C (1, 7) 的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 | MN | ()A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】 C4.若圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，且与y 轴相切，则圆 C 的方程为 ()(A) ( x 2)2( y 2)23 (B) ( x 2)2 ( y 3) 2 3 (C) (x2)2 ( y 2)24(D) ( x2)2 ( y3) 2 4【答案】 D【分析】因为圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，因此圆心在直线 x 2 ，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2 ，2,b2 123 ， b 2 3,b3，选 D .设圆心坐标为，则 b 25.若点 P （11，）为圆 x 2 y 26x 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为 ( )A ． 2x y 3 0B ． x 2y 1 0C ． x 2y 3 0D ． 2x y 1 0【答案】 D【分析】x 2y 26 x 0 化 为 标 准 方 程 为（ x 2y 29 ，3）P （11，）为 圆（2 2的弦 MN 的中点，x ）y 93∴圆心与点 P 确立的直线斜率为1＝- 1，∴弦 MN 所在直线的斜率为 2，1 3 2∴弦 MN 所在直线的方程为， 即2x y 1 0，故 选D ．y 1 （2 x 1）6.已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 A(5, 2), B( 1,4) 两点，则圆 C 的方程是（）A. ( x 2)2y 217B. (x2)2y213C.( x 1)2y220D.(x 1)2y240【答案】 C7.已知圆C : x2y24x4 y0与 x 轴订交于A, B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为()A ．6B．C．2D．2 33【答案】 C【分析】令y0 ，得 x24x0 ，即圆与x轴的交点坐标为A( 0,0) B(4,0),即AB 4 ；而圆 C : x2y 2 4 x 4 y0,即x 2 2( y 2) 28 的半径为CA CB 2 2,则圆心角ACB.28.若P 2, 1 为圆 x12225的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是（）yA. x y 3 0B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2x y 5 0【答案】 A【分析】圆的圆心为 C (1,0) .由圆的性质知，直线PC垂直于弦 AB 所在的直线,则k AB =-1,kPC即 k AB= -1011)1.又由直线的点斜式方程得直线AB 的方程为：kPC(12 y(1)x 2 ,即 x y 3 0 .应选 A .9.在圆x2y22x6y0 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形 ABCD 的面积为()A．52B．102 C.152 D.20 2【答案】A10.【【百强校】 2017 届河北邯郸市高三 9 月联考】以( a,1)为圆心，且与两条直线2x y 40与2x y60 同时相切的圆的标准方程为（）A ．( x 1)2( y 1)25B．( x 1)2( y 1)25C．( x 1)2y25D．x2( y 1)25【答案】 A2x y 4 0 与 2x y6645【分析】因为两条直线0 的距离为d2，因此5所求圆的半径为r 5 ，因此圆心( a,1)到直线2x y40 的距离为2a142a34 ，又因为圆心(a,1) 到直线2x y60 的555即a 1或 a距离也为 r 5 ，因此 a 1 ，因此所求的标准方程为( x 1)2( y1)2 5 ，故应选 A .2y25,直线l :x cosy sin1 ( 0π11.已知圆O : x).设圆O上到直线l的距离等于21 的点的个数为k ,则 k（） .A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】圆心到直线的距离为d0 011.2y2 5 的半径r 5 ，圆 xcos2sin 2rl 的距离等于1，因此k4，1 ，联合图形可知，在直线l的双侧圆O上各有两个点到直线2选 D .12.已知圆C：( x a2 ) 2( y a) 21(a R) ，则以下命题：①圆C上的点到1,0的最64短距离的最小值为7；②圆 C 上有且只有一点P 到点1,0的距离与到直线 x3的距888离相等；③已知 A 3，在圆 C 上有且只有一点 P ，使得以AP 为直径的圆与直线x1 ,08 8相切 .真命题的个数为（）A ．0 B. 1 C.2 D. 3【答案】 D二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.3 圆的方程理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.3 圆的方程理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第九章解析几何 9.3 圆的方程理圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋（y－b）2＝r2（r〉0）圆心（a，b）半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F〉0圆心坐标：(－错误!,－错误!)半径r＝错误!错误!【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为（1)根据题意,选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；（3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋（y－b)2＝r2，点M（x0,y0）(1）点在圆上:（x0－a）2＋（y0－b)2＝r2；（2)点在圆外：(x0－a)2＋（y0－b)2>r2;(3)点在圆内：（x0－a)2＋（y0－b)2〈r2。
【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．( √）（2）已知点A（x1，y1)，B(x2，y2）,则以AB为直径的圆的方程是（x－x1)（x－x2）＋(y－y1)（y－y2)＝0.( √)（3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF〉0.( √）(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．（×）(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( √)1．（教材改编)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ）A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析圆心是(1，2），所以将圆心坐标代入检验选项C满足．2．已知圆C：(x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m,0)，B(m，0）（m〉0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )A．7 B．6 C．5 D．4答案B解析根据题意,画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为（3,4)，半径r＝1,且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP｜＝12|AB|＝m。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆的方程学案(文,含解析)新人教A版
学习资料9.3 圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1。
圆的定义及方程圆心：-D2，-E2注意:当D 2+E 2—4F=0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D2,-E 2)；当D 2+E 2-4F<0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形。
2。
点与圆的位置关系圆的标准方程(x —a ）2+(y-b )2=r 2(r>0),点M （x 0，y 0）， (1)（x 0-a )2+(y 0—b ）2 r 2⇔点M 在圆上； （2)(x 0-a )2+(y 0-b ）2 r 2⇔点M 在圆外； (3）（x 0—a ）2+(y 0—b )2 r 2⇔点M 在圆内.以A （x 1,y 1)，B （x 2，y 2）为直径的两端点的圆的方程是（x-x 1)（x-x 2)+（y —y 1)（y —y 2)=0(公式推导：设圆上任一点P （x ，y )，则有k PA ·k PB =—1,由斜率公式代入整理即可)。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）已知圆的方程为x2+y2—2y=0,过点A(1，2）作该圆的切线只有一条.(）（2）方程(x+a）2+(y+b)2=t2(t∈R）表示圆心为（a,b),半径为t的一个圆。
（)（3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为—a2，—a，半径为12√-3a2-4a+4的圆。
（）（4)已知点A（x1，y1)，B（x2,y2）,则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)（x—x2）+(y—y1)(y-y2）=0.（）(5）若点M（x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0。
()2.已知圆C经过点A（1，5），且圆心为C(-2,1），则圆C的方程为()A。
（x—2)2+(y+1)2=5 B。
（x+2)2+（y—1)2=5C.(x-2)2+（y+1)2=25 D。
2022版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程练习苏教版
9.3 圆的方程考点一求圆的方程1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=22.(2022·长沙模拟)三点A(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B. C. D.3.以(a,1)为圆心,且与两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( )A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=54.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是 ( )A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=45.圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,那么圆C的方程为________.【解析】1.选D.由题意可得圆的半径为r=,那么圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.选B.圆心在直线BC的垂直平分线,即x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d==.3.选A.因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为d==2.故所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2x-y+4=0的距离为=,即a=1或a=-4.又因为圆心(a,1)到直线2x-y-6=0的距离也为r=,所以a=1.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.4.选D.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),那么有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.5.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0. ③设x1,x2是方程③的两根,由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0求圆的方程的两种方法(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的根本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解:①假设条件与圆心(a,b)和半径r有关,那么设圆的标准方程,依据条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.②假设条件没有明确给出圆心或半径,那么选择圆的一般方程,依据条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.【秒杀绝招】第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30°,所以圆心M(2,0)的对称圆心M′,和原点O构成等边三角形,所以x M ′=2cos 60°=1,y M ′=2sin 60°=.考点二与圆有关的轨迹问题【典例】1.(2022·贵阳模拟)圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,那么这些弦的中点P的轨迹方程为________.2.直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程.(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【解题导思】序号联想解题1 看到中点想到中点坐标公式看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1或者2向量的数量积为0【解析】1.方法一:设P(x,y),圆心C(1,1).因为P点是过点A的弦的中点,所以⊥.又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.所以P点的轨迹方程为+(y-2)2=.方法二:由得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|==,所以半径为.所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.答案:+(y-2)2=2.(1)方法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,又k AC=,k BC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y ≠0).求与圆有关的轨迹问题的方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与点的关系,代入点满足的关系式等.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.【解析】如下图,设P(x,y),N(x0,y0),那么线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,故=,=.从而又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和(点P在直线OM 上时的情况).考点三与圆有关的最值问题命题精解读考什么:(1)圆的几何性质;(2)根本不等式;(3)函数的单调性. 怎么考:以选择题或填空题的形式考查新趋势:(1)借助几何性质求解.(2)建立函数关系求解.学霸好方法方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0.1.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题.2.过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2.利用几何法求最值【典例】1.(2022·南宁模拟)在平面直角坐标系xOy中,(x1-2)2+=5,x2-2y2+4=0,那么(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选B.由得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.2.(2022·聊城模拟)M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,(1)求m+2n的最大值.(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2,所以,所求的最大值为16+2.(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,那么=k.由直线MQ与圆C有公共点,所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.用代数法求最值【典例】1.假设点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,那么|PA|+|PB|的最大值为( )A.2B.2C.4D.4【解析】选B.由得,线段AB为圆的直径.所以|PA|2+|PB|2=4,由根本不等式得≤=2,当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤2.2.圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程.(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.【解析】(1)设圆心C(a,b),由得M(-2,-2),那么解得那么圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x,y),那么x2+y2=2,·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos θ,y=sin θ,所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2=2sin-2,又=-1,所以·的最小值为-4.1.(2022·厦门模拟)两点A(0,-3),B(4,0),假设点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,那么△ABP 的面积的最小值为( )A.6B.C.8D.【解析】选B.x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,那么圆C为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,连接BP,AP,这时△ABP的面积最小,直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=,又|AB|==5,所以△ABP的面积的最小值为×5×=.2.点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,那么的最大值与最小值分别为________.【解析】设=k,那么k表示点P(x,y)与点A(2,1)连线的斜率.当直线PA与圆相切时,k取得最大值与最小值.设过(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由=1,解得k=±.答案:,-1.点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,那么|PN|-|PM|的最大值是 ( )A.-1B.2C.3D.【解析】选B.易知圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),P(t,t)在直线y=x上,A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0),那么|PN|-|PM|≤-=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.(此时|PN|最大,|PM|最小)2.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),那么·的最大值为________.【解析】由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.答案:123.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),那么|PQ|的最小值为________.【解析】函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的局部,令点Q的坐标为(x,y),那么得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如下图,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.答案:-2。
最新江苏高考数学文科一轮创设计总复习训练9.3圆的方程(含答案解析)
第3讲圆的方程基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．(2014 ·南京模拟 )已知点 A(1，－ 1)， B(－1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是 ________．分析AB 的中点坐标为 (0,0)，|AB|＝[1－－1 ] 2＋－1－1 2＝22，∴圆的方程为 x2＋y2＝ 2.答案x2＋y2＝22．若圆 x2＋y2－ 2ax＋3by＝0 的圆心位于第三象限，那么直线x＋ ay＋b＝0 必定不经过第 ________象限．分析圆 x2＋y 2－＋＝的圆心为 a，－3b ，2ax 3by21b1b则 a＜0，b＞ 0.直线 y＝－a x－a，k＝－a＞0，－a＞0，直线不经过第四象限．答案四3．(2014 ·银川模拟 )圆心在 y 轴上且过点 (3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是________．分析设圆心为 (0， b)，半径为 r ，则 r＝ |b|，∴圆的方程为 x2＋(y－ b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得 b＝ 5，22∴圆的方程为 x ＋y － 10y＝ 0.4．两条直线 y＝ x＋ 2a，y＝2x＋ a 的交点 P 在圆 (x－1)2＋(y－1)2＝ 4 的内部，则实数 a 的取值范围是 ________．y＝x＋2a，解得 P(a,3a)，分析联立y＝2x＋a，221∴(a－1)＋(3a－1)＜4，∴－5＜a＜1.1答案－5，15．(2014 ·东营模拟 )点 P(4，－ 2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ________．x＝4＋x0分析设圆上任一点为 Q(x0，0，的中点为，，则 2，y ) PQ M(x y)－2＋yy＝2，x0＝2x－4，2222解得2(2x－4)因为点 Q 在圆 x＋y ＝ 4上，所以 x ＋ y ＝4，即00y0＝2y＋2.＋(2y＋ 2)2＝4，22化简得 (x－2) ＋(y＋ 1) ＝1.6．已知点 M(1,0)是圆 C：x2＋y2－ 4x－2y＝ 0 内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是 ________．分析过点 M 的最短弦与 CM 垂直，圆 C：x2＋y 2－－2y＝的圆心为C(2,1)，4x01－0∵k CM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝2－10.答案x＋y－1＝07．(2014 ·南京调研 )已知直线 l ：－＋＝与圆C： (x－1)2＋ (y－1)2＝2，则圆x y 4 0C 上各点到 l 的距离的最小值为 ______．分析由题意得 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线 l 的距离减去半径，即|1－ 1＋ 4|－2＝ 2.2答案2228．若圆 x ＋ (y－1) ＝ 1 上随意一点(x， y)都使不等式x＋y＋m≥ 0 恒建立，则实数 m 的取值范围是 ________．分析据题意圆 x2＋－2＝1上全部的点都在直线x＋＋＝的右上方，(y 1)y m1＋m≥0，所以有|1＋m|≥1.2解得 m≥－ 1＋ 2.故 m 的取值范围是 [ －1＋2，＋∞ )．答案[－1＋2，＋∞ )二、解答题9．求合适以下条件的圆的方程：(1)圆心在直线 y＝－ 4x 上，且与直线l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－ 2)；(2)过三点 A(1,12)，B(7,10)， C(－9,2)．解 (1)法一设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r 2，b＝－ 4a，3－a 2＋－2－b 2＝ r2，则有|a＋b－1|＝r ，2解得 a＝1，b＝－ 4，r ＝2 2.∴圆的方程为 (x－1)2＋(y＋ 4)2＝8.法二过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－ 3，与 y＝－ 4x 联立可求得圆心为 (1，－ 4)．∴半径 r＝1－ 3 2＋－4＋2 2＝22，∴所求圆的方程为 (x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋ F＝0(D2＋ E2－4F＞0)，1＋ 144＋ D＋12E＋F＝ 0，则 49＋100＋7D＋10E＋ F＝0，81＋4－9D＋2E＋F＝0.解得 D＝－ 2， E＝－ 4，F＝－ 95.22∴所求圆的方程为x ＋y － 2x－4y－95＝0.1得 AB 的中点坐标为 (4,11)，k AB＝－3，则 AB 的垂直均分线方程为3x－y－1＝0.同理得 AC 的垂直均分线方程为x＋ y－3＝0.3x－y－1＝0，x＝ 1，联立得x＋y－3＝0y＝ 2，即圆心坐标为 (1,2)，半径 r＝1－1 2＋ 2－12 2＝10.∴所求圆的方程为 (x－1)2＋(y－2)2＝100.．设定点M(－3,4)，动点 N 在圆x2＋y2＝4 上运动，以 OM，ON 为邻边作平10行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．解如下图，设 P(x，y)， N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x y，线段 MN 的中点坐标为0－30 ＋4.因为平行四边形的对角线相互，2x，y222均分，x x0－3 y y0＋4故2＝2，2＝2.x0＝x＋ 3，进而y0＝y－ 4.N(x＋3，y－4)在圆上，故 (x＋3)2＋ (y－4)2＝4.所以所求轨迹为圆： (x＋3)2＋(y－ 4)2＝4，9122128但应除掉两点－5，5和－5 ，5 (点 P 在直线 OM 上时的状况 )．能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．(2014 ·东莞调研 )已知圆 C ：x 2＋y 2＋ mx －4＝0 上存在两点对于直线 x －y ＋3＝ 0 对称，则实数 m 的值为 ________．分析 圆上存在对于直线 x －y ＋ 3＝ 0 对称的两点，则 x －y ＋3＝0 过圆心－m，0 ，即－m＋ ＝ ，∴ ＝223 0 m 6.答案6． ·烟台二模 已知抛物线 y 2＝ 2px(p ＞0)上一点 M(1，m)(m ＞0)到其焦点 F 2 (2014 )的距离为 5，则以 M 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程为 ________．p p p分析抛物线的焦点为 F 2，0 ，准线方程为 x ＝－ 2，所以 |MF|＝1－ －2 ＝5，解得 p ＝8，即抛物线方程为 y 2＝16x ，又 m 2＝16，m ＞0，所以 m ＝4，即M(1,4)，所以半径为 1，所以圆的方程为 (x －1)2＋(y － 4)2＝1.答案 (x －1)2＋(y － 4)2＝1x ≥0，恰巧被面积最小的圆 C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r2．已知平面地区 y ≥0，3x ＋2y － 4≤ 0及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为 ________．分析 由题意知，此平面地区表示的是以 O(0,0)，P(4,0)， Q(0,2)所组成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角|PQ|三角形，故其圆心为斜边 PQ 的中点 (2,1)，半径为 2 ＝ 5，∴圆C 的方程为(x － 2)2＋(y － 1)2＝ 5.22答案(x －2) ＋(y － 1) ＝54．已知圆 x 2＋y 2＋x －6y ＋ m ＝0 和直线 x ＋2y － 3＝ 0 交于 P ， Q 两点，且 OP ⊥OQ(O 为坐标原点 )，求该圆的圆心坐标及半径．解 法一将 x ＝3－2y ，代入方程 x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得 5y 2－20y ＋12＋ m ＝0.设 P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 y 1，y 2 知足条件：12＋my 1＋ y 2＝4，y 1y 2 ＝.5∵ OP ⊥ OQ ，∴ x 1x 2＋y 1y 2＝ 0.而 x 1＝3－2y 1，x 2＝ 3－2y 2.－27＋4m∵ x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝.5故 －27＋4m ＋12＋m ＝0，解得 m ＝3，55此时 ＝202－4×5×(12＋m)＝20(8－ m)＞0，圆心坐标为 － 1， 3 ，半径 r25 ＝ 2.法二如下图，设弦 PQ 中点为 M ，且圆 x 2＋ y 2 ＋x －6y ＋m ＝ 0 的圆心为1O 1 －2，3 ，设 M(x 0， y 0)， P(x 1，y 1)，Q(x 2， y 2)，由法一知， y 1＋y 2＝4，x 1＋ x 2 ＝－ 2，1＋x 2 1＋y 2∴ x 0＝x 2 ＝－ 1， y 0＝y2 ＝2.即 M 的坐标为 (－1,2)．则以 PQ 为直径的圆可设为 (x ＋1)2＋(y －2)2＝r 21.∵ OP ⊥ OQ ，∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上． ∴ (0＋1)2＋ (0－2)2＝r 21，即 r 21＝5，|MQ|2＝r 21.在 Rt △O 1MQ 中， |O 1Q|2＝|O 1M|2＋|MQ|2.＋ － 6 2－4m1 ＝ －1＋1 2＋(3－2)2＋5.∴4215∴ m ＝ 3，∴圆心坐标为 －2，3 ，半径 r ＝ 2.。
第3节 圆的方程山东新高考数学一轮复习资料
第3节 圆的方程1． D 2． A 3． D 4． C 5． A 6． D 7． ABC分别求轨迹可得，也可由几何意义可得ABC 为圆，而D 为两段圆弧． 8． AB设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为2r ． 故2|b |＝2r ，得r 2＝2b 2．又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，得2b 2－a 2＝1． 由P (a ，b )，到直线x －2y ＝0的距离为55，得d ＝|a －2b |5＝55，即有a －2b ＝±1， 综上得⎩⎨⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝1或⎩⎨⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.于是r 2＝2b 2＝2．所求圆的方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，或(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选AB ． 也可逐一验证可得9． 22(1)(3)25x y -+-=或22(+1)(+1)25x y +=．根据题意，设所求圆的标准方程为22()()25x a y b -+-=，则由方程组22(4)(3)25210a b a b ⎧--+-=⎨-+=⎩，解得1,3a b =⎧⎨=⎩或1,1.a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求圆的方程为22(1)(3)25x y -+-=或22(+1)(+1)25x y +=．10．3解法一：由题意可得d ===（其中cos =ϕ，sin =ϕ），因为1sin()1--θϕ≤≤,d 1=+所以当0m =时，d 取得最大值3．解法二：点P 为圆221x y +=上的动点，直线20x my --=为经过(2,0)的动直线，所以最大距离为213+=． 11．3－1≤a ＜1点A (0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1． 圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则AM2≤r ＝2a ，即A M ≤2a ，a 2＋(a －2)2≤4a 2(a ＞0)，解得3－1≤a ．综上，实数a 的取值范围是3－1≤a ＜1． 12． 3．86建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆心在y 轴上，所以D ＝0，那么方程即为220x y Ey F +++=．下面用待定系数法来确定E 、F 的值．因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)、(10，0)都是这个圆的方程的解，于是有方程组⎩⎨⎧42＋4E ＋F ＝0，102＋F ＝0，解得F ＝－100，E ＝21．所以 这个圆的方程是x 2＋y 2＋21y －100＝0．把点P 2的横坐标x ＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋y 2＋21y －100＝0，y 2＋21y －96＝0．因为 P 2的纵坐标y >0，故应取正值，所以 y ＝－21＋212＋4×962≈3．86(米)．所以支柱A 2P 2的高度约为3．86米． 13． C将等式y ＝－4－（x －1）2两边平方，得y 2＝4－(x －1)2，即(x －1)2＋y 2＝4． 由于y ＝－4－（x －1）2≤0，故函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆，如图所示．设点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0．因此点Q 是直线x －2y －6＝0上的动点，如图所示．由于圆(x －1)2＋y 2＝4的圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2．故选C ．14． (x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点：912()55-，和2128()55-，．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为()22x y，，线段MN 的中点坐标为0034()22x y -+，．因为平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4．因此所求P 点的轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点：912()55-，和2128()55-，(点P 在OM 所在的直线上时的情况)． 15． （1）不能 （2）略解 （1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以122x x =-． 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况. （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-． 联立2221()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径29m r +=．故圆在y 轴上截得的弦长为222()32mr -=，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值．16． （1）150 m （2） 10 m解 （1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ． 由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan∠BCO =－43. 又因为AB ∠BC ， 所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )， 则k BC =04,1703b a -=--k AB =60304b a -=- ， 解得a =80，b=120.所以BC =22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM =d m ，(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二: （1）如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan∠BCO =43.所以sin∠FCO =45，cos∠FCO =35． 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ∠OC ，所以cos∠AFB =sin∠FCO =45， 又因为AB ∠BC ，所以BF =AF cos∠AFB =4003，从而BC =CF －BF =150. 因此新桥BC 的长是150 m.（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ∠BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60). 因为OA ∠OC ，所以sin∠CFO =cos∠FCO ， 故由(1)知，sin∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.。
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基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.圆(x －1)2＋(y －3)2＝1关于直线2x ＋y ＋5＝0对称的圆的方程是( ) A.(x ＋7)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x ＋7)2＋(y ＋2)2＝1 C.(x ＋6)2＋(y ＋1)2＝1D.(x ＋6)2＋(y ＋2)2＝1解析 圆心(1，3)关于直线2x ＋y ＋5＝0的对称点为(－7，－1)，故选A. 答案 A3.若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A.(x －5)2＋y 2＝5B.(x ＋5)2＋y 2＝5C.(x －5)2＋y 2＝5D.(x ＋5)2＋y 2＝5解析 设圆心为(a ，0)(a<0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5， 所以圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 答案 D4.已知点A(－2，0)，B(0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( ) A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22D.3－22解析 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1. 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2＝322，则点C 到直线AB 的最短距离为322－1.又|AB|＝22，∴S △ABC 的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2.答案 A5.(2016·东营模拟)点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋x02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b|＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝2547.已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________. 解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大. 答案 (0，－1)8.已知点M(1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C(2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝0 三、解答题9.一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程.解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0). 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D. 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E. 由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.①又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0.② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.1B.5C.4 2D.3＋2 2解析 由题意知圆心C(2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b)＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案 D12. (2016·济宁一中模拟)已知圆心(a ，b)(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( ) A.(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 B.(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C.(x ＋6)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋732＝499 D .⎝⎛⎭⎫x ＋232＋⎝⎛⎭⎫y ＋732＝499解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上， 得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝73(舍去).所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选A. 答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.d ＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P(x 0，y 0)，d ＝|PB|2＋|PA|2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2，∴d max ＝74.答案 7414.求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2).解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4).∴半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.法二 由A(1，12)，B(7，10)，得AB 的中点坐标为(4，11)，k AB ＝－13，则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即圆心坐标为(1，2)， 半径r ＝（1－1）2＋（2－12）2＝10. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.。