数学文卷·2012届浙江省台州中学高三下学期第一次统练(2012.02)

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
若全集U ＝{－1，0，1，
2}
，P ＝{x ∈Z | x 2＜2}，则 U C P ＝
(A) {2}
(B) {0，2} (C) {－1，2} (D) {－1，0，2}
2． 已知i 为虚数单位，则i
1i
+＝
(A) 1i 2- (B) 1i 2+
(C) 1i
2
-- (D) 1i 2-+
3．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝1
2
”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4． 函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线
(A) 只有一条，不在平面α内 (B) 有无数条，不一定在平面α内
(C) 只有一条，且在平面α内
(D) 有无数条，一定在平面α内
6．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 （A ） 36 cm 3 （B ） 48 cm 3 （C ） 60 cm 3 （D ） 72 cm 3
7． 若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是
(A) 112 (B) 16 (C) 14 (D) 12
8． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin 2 B ＋sin 2 C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是
(A)
3
(B) 3
(C) (D) －
9． 如图，有4个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0，0)，O 2(2，0)， O 3(0，2)，O 4(2，2)．记集合M ＝{⊙O i ｜i ＝1，2，3，4}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称 (A ，B ) 为一个“有序集合对” (当A ≠B 时，(A ，B ) 和 (B ，A ) 为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对” (A ，B ) 的个数是
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8 10．已知点P 在曲线C 1：
22116
9
x y -
=上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2
＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是
（A ） 6 （B ） 8 （C ） 10 （D ） 12 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

正视图 (第6题) 侧视图 俯视图 (第12题)
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11． 在等比数列{a n }中，若a 5＝5，则a 3⋅a 7＝ ． 12． 若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是 ．
13． 某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度 (单位：mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图)．若规定长度在 [97，103) 内的元件是合格品，则根据频率分布直方图
估计这批产品的合格品率是 ．
14．若函数f (x )＝21,0,
,0,x x x x +>-≤⎧⎨⎩ 则不等式f (x )＜4的解集是 ．
15．已知直线ax ＋y ＋2＝0与双曲线22
14
y x -
=的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 ．
16．已知实数x ，y 满足10,
220.x y x y ++≥-+≥⎧⎨⎩
若 (－1，0) 是使ax ＋y
取得最大值的可行解，则实数a 的取值范围是 ． 17． 已知圆心角为120° 的扇形AOB 半径为1，C 为 »AB 中点．点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝2，则OD ＋OE 的最大值是 ．
(第13题) A
B
O E D
C
(第17题)
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台州中学2011学年第二学期第一次统练试题答题卷
高三 数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分．
11. 12. 13.
14. 15 16. 17.
三、解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
18． (本题满分14分) 设向量α＝x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α⋅β．(Ⅰ)
求f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ) 若f (θ)0＜θ＜π2，求cos(θ＋
π
6
)的值．
19． (本题满分14分) 设等差数列{a n }的首项a 1为a ，公差d ＝2，前n 项和为S n ．
(Ⅰ) 若S 1，S 2，S 4成等比数列，求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ) 证明：∀n ∈N*, S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列．
20． (本题满分14分) 已知正四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2 的正方
．M 为线段PC 的中点． (Ⅰ) 求证：PA ∥平面MDB ；
(Ⅱ) N 为AP 的中点，求CN 与平面MBD 所成角的正切值．
A
B
D
C
M
P
N (第20题)
班级_______________姓名_______________号次________考试号_____________ …*……………………装………………………订………………… 线 ……………………………
21．(本题满分15分) 已知函数f(x)＝1
3
x3＋ax2＋bx， a , b R．
(Ⅰ) 曲线C：y＝f(x) 经过点P(1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；
(Ⅱ) 已知f(x)在区间(1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．
22．(本题满分15分) 设抛物线C1：x2＝4y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称．
(Ⅰ) 求曲线C2的方程；
(Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P
作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |
是| FA | 与| FB | 的等差中项？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
台州中学2011学年第二学期第一次统练试题文科数学参考
答案
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分, 满分50分。

(1) A (2) B (3) C (4) B (5) C
(6) B (7) B (8) D (9) B (10)C
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

(11)25 (12)24 (13)80% (14) (－4
(15)
(16) a ≤－2 (17) 45
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

(18) (Ⅰ)解：由题意得 f (x )x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )
x －cos 2x ＝2sin (2x －
π
6
)， 故 f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π． …………6分 (Ⅱ)解：若f (θ)＝3，则2sin (2θ－π
6
)＝3，
所以，sin (2θ－π
6)．
又因为0＜θ＜π2，所以θ＝π4或5π
12
．
当θ＝π4时，cos(θ＋π6)＝cos(π4＋π
6
)
当θ＝5π12时，cos(θ＋π6)＝cos(5π12＋π6)＝－cos 5π
12
………14分
(19) (Ⅰ)解：因为S n ＝na ＋n (n －1)，
S 1＝a ，S 2＝2a ＋2，S 4＝4a ＋12．由于S 1，S 2，S 4成等比数列，因此
22S ＝S 1⋅S 4，即得a ＝1．a n ＝2n －1． …………6分
(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m ∈N*，S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等
比数列，即2
12m m m S S S ++=⋅．因此
a 2＋2ma ＋2m (m ＋1)＝0，
要使数列{a n }的首项a 存在，上式中的Δ≥0．然而
Δ＝(2m )2－8m (m ＋1)＝－4m (2＋m )＜0，矛盾．
所以，对任意正整数n ，S n ，S n ＋1，S n ＋2都不构成等比数列． …………14分
(20) (Ⅰ)证明：在四棱锥P －ABCD 中，连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，PO ．由条件可得
PO
，AC ＝
，PA ＝PC ＝2，CO ＝AO
．
因为在△PAC 中，M 为PC 的中点，O 为AC 的中点，
所以OM 为△PAC 的中位线，得OM ∥AP ，
又因为AP ⊄平面MDB ，OM ⊂平面MDB ，
所以PA ∥平面MDB ． …………6分 (Ⅱ) 解：设NC ∩MO ＝E ，由题意得BP ＝BC ＝2，且∠CPN ＝90°． 因为M 为PC 的中点，所以PC ⊥BM ， 同理PC ⊥DM ，故PC ⊥平面BMD ．
所以直线CN 在平面BMD 内的射影为直线OM ，∠MEC 为直线CN 与平面BMD 所成的角，
又因为OM ∥PA ，所以∠PNC ＝∠MEC ．
在Rt △CPN 中，CP ＝2，NP ＝1，所以tan ∠PNC ＝2CP
NP
=， 故直线 CN 与平面BMD 所成角的正切值为2． …………14分
(21) (Ⅰ)解:
)(x f '＝2
2x ax b ++，
由题设知：1(1)2,3
(1)122,f a b f a b ⎧=++=⎪⎨⎪'=++=⎩ 解得2,3
7.3a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
…………6分 (Ⅱ)解：因为()f x 在区间(1,2)内存在两个极值点 ，
所以()0f x '=，即2
20x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．
故2(1)120,
(1)(2)440,(2)12,
(3)4()0.
(4)
f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨
<-<⎪⎪∆=->⎩
由 (1)+(3)得0a b +>.
由（4）得2
a b a a +<+，
(第20题)
因21a -<<-，故2
2
11
()22
4
a a a +=+-
<，从而2a b +<. 所以02a b <+<． …………15分
(22) (Ⅰ)解；因为曲线1C 与2C 关于原点对称，又1C 的方程2
4x y =，
所以2C 方程为2
4x y =-． …………5分
(Ⅱ)解：设20
0(,)4
x P x -，11(,)A x y ，22(,)B x y ,12x x ≠．
214y x =
的导数为12y x '=，则切线PA 的方程1111
()2y y x x x -=-， 又21114y x =，得111
2
y x x y =-，
因点P 在切线PA 上,故2010111
42
x x x y -=-．
同理, 2020211
42x x x y -=-．
所以直线20011
42
x x x y -=-经过,A B 两点，
即直线AB 方程为2001142x x x y -=-,即2
001124y x x x =+，
代入2
4x y =得220020x x x x --=，则1202x x x +=,2120x x x =-，
所以 ||AB ==， 由抛物线定义得1||1FA y =+，2||1FB y =+． 所以212012011||||()2()222
FA FB y y x x x x +=++=
+++，
由题设知，||||2||FA FB AB +=，即2222
0003(2)4(82)2
x x x +=+，
解得2
0x =
，从而20014y x =-=
综上，存在点P 满足题意，点P 的坐标为
1323- 或 13()23
-．
…………15分。