高中数学4.2曲线的极坐标方程单元测试苏教版选修4-4(2021学年)

高中数学4.2 曲线的极坐标方程单元测试苏教版选修4-4
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４.２ 曲线的极坐标方程
单元测试
1.已知点Ｐ(2，
32π)，若点P 的极角θ满足－π〈θ〈π,ρ∈R ,下列点中与点P 重合的是（ ）
A ．（2,
3
π),(2,34π）,(2-，35π) B 。

（2,38π）,（2，34π）,（2-,3
5π） C 。

(2-，34π）,（2-，35π）,(2,-3
4π) Ｄ．（2-，—3π) 解析:当—π≤θ≤π时,ρ≥0（或ρ≤0)时，除极点外,点极坐标唯一.当ρ∈R 时,一个点的极坐标只有两个形式(2-,－
3π）或（2,32π). 答案:D
2。

圆ρ=2（ｃo ｓθ+ｓinθ）的圆心的坐标是( ) A.(1,
4π） B 。

（21，4π) C.(2,4
π） Ｄ。

（2，4
π) 解析:圆的方程可化为ρ=2cos（θ-4π）. 这是ρ=2rｃos(θ—θ0)的形式,它的圆心为Ｏ1(r,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解. 答案:Ａ
3。

极坐标系中，方程ρ＝cosθ(θ∈[0,π]，ρ∈Ｒ）表示的曲线是( )
Ａ.以（2
1，０)为圆心,半径为2
1
的上半个圆 B ．以(21，０)为圆心，半径为2
1的圆 C.以(１,０）为圆心，半径为2
1的上半个圆 D 。

以(21，2π）为圆心,半径为21的圆 解析：当ρ≥０时,θ∈［0,
2
π],方程ρ=ｃo ｓθ表示上半个圆,半径为21；当ρ≤0时,θ∈[2π，π],方程表示下半个圆,半径为21．
答案：B
４。

方程ρ＝si ｎθ+cosθ+K 的曲线不经过极点,则K 的取值范围是（ ）
A.K≠０ Ｂ.K∈R
C 。

｜Ｋ｜〉2
D 。

|K ｜≤2
解析：当ρ=0时,sin θ+cosθ=—K ，若此方程无解，由|si ｎθ+cosθ｜≤2，
∴当|K|〉2时,方程无解。

答案：C
５。

在极坐标系中,点P （2,611π)到直线ρsin(θ-6
π)=1的距离等于（ ） A 。

1 B.2 C.３ D ．1+3
解析：∵ｘP =2cos 611π=3,y P =2si ｎ6
11π=—1， ∴P 点的直角坐标为(3,-1).
又直线ρsin(θ—6π）＝1化为直角坐标方程为2
3y —21x-1=0。

∴P 点到直线的距离为d=|23-—21·3—１|=1+3。

答案:D
6。

点M 在直线ρcoｓθ=ａ(a 〉0）上，O 为极点,延长ＯＭ到P 使｜ＭＰ｜＝ｂ（b 〉０),则Ｐ的轨迹方程是＿___＿_．
解析：设Ｍ(ρ0,θ0),Ｐ（ρ，θ),则ρ0cosθ０=ａ,ρ=ρ0+b,θ0=θ,代入即可。

答案:（ρ-b)c ｏsθ＝a
7。

证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2，θ2）两点的直线l 的极坐标方程是122112)
sin()sin()sin(ρθθρθθρθθ-+-=-.
证明:设M(ρ，θ)为直线AB 上一点,如图,
∵S △AOB =21ρ1ρ２sin （θ2—θ1)，
S △ＡＯM =2
1
ρρ1s ｉn(θ-θ1），
S △BＯM ＝21ρρ２sin （θ２—θ)， 又S △AOＢ=S △AOM ＋Ｓ△BOM ，
∴ρ1ρ2si ｎ(θ2—θ１)=ρρ1sin （θ-θ1)+ρρ2ｓin(θ２—θ)，
即122112)
sin()sin()sin(ρθθρθθρθθ-+-=-.
８。

已知圆ρ=2,直线ρcoｓθ=４，过极点作射线交圆于A,直线于Ｂ,求ＡB 中点M 的轨迹方程。

解:如图，
设M （ρ,θ)，A(ρ1,θ1)，Ｂ(ρ2,θ2)，
则有⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+===,4cos ,22,4cos )2(214
cos 2)(212222222212212121θρρρθθθρρρθθθθρρρρρθθθ ∴(2ρ－２）c ｏsθ=4⇒ρ=2secθ＋１。

9。

从极点O 作圆C:ρ=８c ｏsθ的弦ＯN,求ON 的中点M 的轨迹方程。

解法一：如图，圆C 的圆心C(4，0），半径r=|ＯC ｜=4,连结CM 。

∵M 为弦ＯN 的中点,
∴CM⊥ON。

故Ｍ在以ＯＣ为直径的圆上．
∴动点M 的轨迹方程是ρ＝4cosθ。

解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题:
设M 点的坐标是(ρ，θ),N（ρ1，θ1)。

Ｎ点在圆ρ=8cosθ上,
∴ρ1=8cosθ1,（＊）
∵M 是ＯＮ的中点,
∴⎩⎨⎧==,
,211θθρρ将它代入(*)式得2ρ＝８cosθ,故Ｍ的轨迹方程是ρ＝４cosθ.
1０．从原点O 引直线交直线2x+4y-1=0于点M,Ｐ为OM 上一点，已知|ＯP|·|OＭ|=1,求P 点的极坐标方程.
思路分析:先把直线化为极坐标方程,由于P 点的运动与M 点有关，可以利用转移法来解决问题。

我们可以根据长度之间的关系式找到点P 与点M 坐标之间的关系.
解：如图,以O 为极点,ｘ轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρｓinθ—1＝0。

设Ｍ(ρ0,θ０)，P(ρ,θ），
则2ρ0cosθ0+４ρ0si ｎθ0－1＝０。

又⎪⎩
⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==,1,1,0000ρρθθρρθθ知∴2ρ1cosθ+4ρ1ｓｉｎθ—１=０。

∴ρ=2cｏsθ+4sinθ，这是一个圆（ρ≠0)。

11。

Ｏ为已知圆外的定点，M 在圆上,以OM 为边作正△ＯMN,当点M 在圆上移动时,求点Ｎ的轨
迹方程（O 、M 、N 逆时针排列）。

解：以O 为极点,以O 和已知圆圆心O′所在射线为极轴，建立极坐标系，如图，设|OO′｜=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2—2ρ0ρcｏｓθ＋ρ02－r ２
=0,
设Ｎ(ρ,θ),M(ρ１，θ1）,
∵M 在圆上,
∴ρ１2—2ρ０ρ1co ｓθ１＋ρ02—r 2
＝0。

(1)
∵△OＭN 为正三角形，∴⎪⎩⎪
⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==.
3,
31111πθθρρπθθρρ
代入①得ρ2—2ρ0ρcos(θ—3π
)+ρ02-r ２
=0,这就是点N 的轨迹方程.
12.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程是( )
Ａ。

x 2+（y ＋2）2=１ B ．x 2＋(ｙ—２）2=４
C 。

(x-２)2+y ２=４
D 。

（x+2)2+y 2＝4
解析：在ρ＝4s ｉｎθ两边同时乘以ρ得ρ2=４ρ·sinθ．
再利用⎩⎨⎧=
=+.sin ,
222θρρy y x 可得x 2+y 2＝4y ，
即x 2+(y —2)2=4。

答案:B
13。

在极坐标系中,过(2,2π
)且平行于极轴的直线的极坐标方程是＿____＿＿＿＿___。

解析:如图所示，设P （ρ，θ）为直线上任一点,连结PO,作ＰA 垂直极轴于点A.
在Ｒt△ＰAO 中,｜P Ａ|=2,∠ＰOA ＝θ，∴ρsiｎθ=2。

∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.
答案:ρsｉnθ=２
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