湖南省长望浏宁四县2018届高三联合调研考试数学(文)试卷(含答案)

2018年长望浏宁高三调研考试
数学（文科）试卷
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=，若{}1A B =，则B =
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
2. 在复平面内，复数1
-=
i i
z （i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=102log a A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．
310π B ．320π C ．3110π- D ．3120
π
- 5. 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的
离心率等于 A.
54 B.53 C. 32 D. 4
3
6. 若
546sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+x 26sin π的值为 A ．
2524 B ．2524- C ．257 D ．257- 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A ．
16 B ．13 C ．2
3
D ．1 8. 在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13
项的和等于
A ．8
B ．13
C ．16
D ．26
9. 如图，给出的是计算111
1
14710
100
+++
+
的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 A ．100i >，1n n =+ B ．34i <，3n n =+ C ．34i >，3n n =+
D ．34i ≥，3n n =+
10. 函数1
()(1)
x x e f x x
e +=-（其中e 为自然对数的底数）的
图象大致为
11. 已知三棱柱111ABC A B C -
的侧棱与底面垂直，体积为
9
4
，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A ．
512
π B ．3π C ．4π D ．6π
12. 设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数
()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是
A ．11
22t -
≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或1
2
t ≤-或0t = D ．22t -≤≤
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知两个不相等的平面向量(2,1),(2,).a b x ==且(2)()a b a b +⊥-，则x = .
14. 若x 、y 满足约束条件20
240210x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为 .
15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3
:2
l
x =-
，点M 在抛物线C 上，点A 在
左准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率AF k =AFM 的面积为 .
16.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_________
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知7,2c ABC =∆的面积为2
，
又tan tan tan 1)A B A B +=-。

（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求a b +的值。

18. （本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF 中，
//,AD BC AB AD ⊥,FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且
222AB AD AF BC DE =====.
（Ⅰ）若M 为线段EF 中点，求证：//CM 平面ABF ；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.
19. （本小题满分12分）
交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 ，其范围为
，分别有五个级别： 畅通； 基本畅通；
轻度拥堵； 中度拥堵； 严重拥
堵．晚高峰时段 ，从某市交通指挥中心选取了市区 个交通路段，依据其交通拥
堵指数数据绘制的直方图如图所示．
（Ⅰ）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从交通指数在
，
，
的路段中共抽取6个路段，求依
次抽取的三个级别路段的个数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,1)P ，且离心率为2
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M 、N 满足OM NO =，直线PM 、PN 分别交椭圆于A 、B ．探求直线AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，
请说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知函数()e ln 1x f x m x =--.
（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()
11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.
(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程 22. （本小题满分10分）
在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αα
αα=+⎧
⎨
=-⎩
（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）在以o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l π1
sin()042
θ-+=，
已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AB ．
选修4-5：不等式选讲 23．（本小题满分10分）
设()||,.f x x a a =-∈R （Ⅰ）当5=a ，解不等式3≤)(x f ；
（Ⅱ）当1=a 时，若∃R x ∈，使得不等式(1)(2)12f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围．
2018年长望浏宁高三调研考试
数学（文科） 参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 1
2
- 14. 2 15.
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解：（1）因为tan tan tan 1)A B A B +-，
所以tan tan tan()1tan tan A B
A B A B
++=
=-,
又因为,,A B C 为ABC ∆的内角，
所以
2
3
A B
π
+=，所以
3
C
π
=。

6分
（Ⅱ）由
1
sin
2
ABC
S ab C
∆
==
3
C
π
=，得6
ab=，
又
22222
()217 cos,
2222
a b c a b c ab
C c
ab ab
+-+--
=====，
所以
11
2
a b
+=。

12分
18. 解：（Ⅰ）取AD中点N，连接CN和MN,
MN
为梯形ADEF的中位线
MN
∴∥AF 1分
∵FA⊂平面FAB,MN⊄平面FAB
∴MN∥平面FAB 2分
∵四边形ABCN为矩形
∴CN∥AB 3分
∵FA⊂平面FAB,CN⊄平面FAB
∴CN∥平面FAB 4分
∵MN⋂CN=N
∴平面//
CMN平面ABF
∵CM⊂平面CMN 6分
∴//
CM平面ABF
（Ⅱ）
8分
10分
12分
19. 解：（Ⅰ） 由直方图可知：
，
，
．
所以这 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为
个， 个， 个． 3分
（Ⅱ） 由（1）知拥堵路段共有
个，按分层抽样从 个路段中选出 个，
每种情况：，，，
即这三个级别路段中分别抽取的个数为 ，， 个． 6分
（Ⅲ） 记（Ⅱ）中选取的 个轻度拥堵路段为 ，
，
选取的 个中度拥堵路段为
，
，
，选取的 个严重拥堵路段为
，
则从 个路段选取 个路段的可能情况如下：
，，，，，，，
，
，
，
，，，， 共 种可能，
其中至少有 个轻度拥堵的有：
，
，
，
，，
，
，
，
共 种可能．
所以所选 个路段中至少 个路段为轻度拥堵的概率为 ． 12分
20. 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e =2
3122=-=a b a c ，则a 2=4b 2
， 2分
将P （2，1）代入椭圆142222=+b
y b x ，则11
122=+b b ，
解得：b 2=2，则a 2
=8， 4分
∴椭圆的方程为：12
82
2=+y x ； 5分 （Ⅱ）当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y 轴上，
当M ，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y =kx +t ，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），
由⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 1282
2消去y 得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣8=0，·则△=16（8k 2﹣t 2
+2）＞0， x 1+x 2=1482+-k kt
，x 1x 2=1
48422+-k t ， 7分
又直线PA 的方程为y ﹣1=
2
1
11--x y （x ﹣2）， 即y ﹣1=
2
1
11--+x t kx （x ﹣2）， 8分
因此M 点坐标为（0，
2
2)21(11---x t
x k ），
同理可知：N （0，
22)21(22---x t
x k ） 9分
由=，则
22)21(11---x t x k +2
2)21(22---x t
x k =0，
化简整理得：（2﹣4k ）x 1x 2﹣（2﹣4k +2t ）（x 1+x 2）+8t =0，
则（2﹣4k ）×1
48422+-k t ﹣（2﹣4k +2t ）（1482+-k kt
）+8t =0， 10分
化简整理得：（2t +4）k +（t 2
+t ﹣2）=0，·
当且仅当t =﹣2时，对任意的k 都成立，直线AB 过定点Q （0，﹣2）. 12分
21. 解：（Ⅰ）当1m =时，()e ln 1x
f x x =--，
所以1
()e x
f x x
'=-
1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. 2分
所以曲线()y f x =在点()()
11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-. 3分
（Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x x f x m x x =--≥--.
要证明()1f x >，只需证明e ln 20x x -->. 4分 以下给出三种思路证明e ln 20x x -->.
思路1：设()e ln 2x g x x =--，则1()e x g x x
'=-
. 设1()e x
h x x =-
，则21()e 0x
h x x
'=+>， 所以函数()h x =1()e x
g x x
'=-在0+∞（，）上单调递增． 6分 因为1
21e 202g ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭
，(1)e 10g '=->，
所以函数1()e x
g x x '=-
在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 8分 因为0()0g x '=时，所以0
1
e
x x =
，即00ln x x =-. 9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.
所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ． 10分 故()00000
1
()=e ln 220x
g x g x x x x ≥--=
+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >. 12分 思路2：先证明e 1x
x ≥+()x ∈R ． 5分 设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．
因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>， 所以当0x <时，函数()h x 单调递减，
当0x >时，函数()h x 单调递增．所以()()00h x h ≥=．
所以e 1x
x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 7分 所以要证明e ln 20x x -->，
只需证明()1ln 20x x +-->． 8分 下面证明ln 10x x --≥．设()ln 1p x x x =--，则()11
1x p x x x
-'=-=
． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>， 所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，
当1x >时，函数()p x 单调递增．所以()()10p x p ≥=．
所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）． 10分 由于取等号的条件不同， 所以e ln 20x x -->． 综上可知，当1m ≥时，
()1f x >. 12分
（若考生先放缩ln x ，或e x
、ln x 同时放缩， 请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2x x ->.
因为曲线e x
y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称， 设直线x t =()0t >与曲线e x
y =，ln y x =分别交于点A ，B ， 点A ，B 到直线y x =的距离分别为1d ，2d ，
则)
12AB d d +．其中1
t d =
2d ()0t >．
①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-．因为0t >，所以()e 10t h t '=->．
所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以
1t d =>
． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()11
1t g t t t
-'=-=．
因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>， 所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减； 当1t >时，()ln g t t t =-单调递增．
所以()()11g t g ≥=．所以
2d =
≥
所以)122AB d d +=⎭
． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >. 12分 证法二：因为()e ln 1x
f x m x =--，
要证明()1f x >，只需证明e ln 20x m x -->. 4分 以下给出两种思路证明e ln 20x m x -->.
思路1：设()e ln 2x
g x m x =--，则1()e x g x m x
'=-
. 设1()e x
h x m x =-
，则21()e 0x
h x m x
'=+>． 所以函数()h x =()1e x
g x m x
'=-在()0+∞，上单调递增． 6分
因为11
221e 2e 202m m g m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1
()e x
g x m x
'=-
在()0+∞，上有唯一零点0x ， 且01,12x m ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
. 8分
因为()00g x '=，所以00
1
e x
m x =
，即00ln ln x x m =-- 9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.
所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x 10分 故()()00000
1
e ln 2ln 20x
g x g x m x x m x ≥=--=
++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >． 12分 思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>． 5分 设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．
因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．
所以()(0)0F x F ≥=，即e 1x
x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 7分 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e
x x -≥（当且仅当1x =时取等号）． 8分
所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）． 9分 再证明e ln 20x m x -->．
因为0x >，1m ≥，且e 1x
x ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号， 所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---
()()11m x =-+0≥．
综上可知，当1m ≥时，()1f x >． 12分
22. 解：（Ⅰ）由已知sin ,cos 22
x y x y
θθ+-=
=， 由1cos sin 22=+θθ，消去θ得：
普通方程为1222
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ， 化简得222=+y x 5分
（Ⅱ）由2ρsin(4π
-θ)+
2
1=0知021
)sin (cos =+-θθρ，
化为普通方程为x-y+2
1
=0
圆心到直线l 的距离h =42，由垂径定理2
30
=AB 10分
23.解：解：（Ⅰ）5a =时原不等式等价于53x -≤
即353,28x x -≤-≤≤≤，所以解集为{}28x x ≤≤． 3分
（Ⅱ）当1a =时，|1|)(-=x x f ，令133()21()(1)(2)2211(2)233(2)x x g x
f x f x x x x x x x ⎧
-+≤⎪⎪
⎪
=-+=-+-=+<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
，
由图像知：当12x =
时，()g x 取得最小值3
2
,由题意知：3122m ≤-，
所以实数m 的取值范围为1
4
m ≤-. 10分。