数学人教A版高中必修1简单的三角恒等变换优秀导学案

第五章三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
重点：能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用．
难点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
1．你能填写出下面我们学习了的公式吗？
；
；。

提出问题
学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富．
例７试以cosα表示sin2α
2, cos2α
2
, tan2α
2
例８求证：
（1）sinαcosβ=1
2
[sin(α+β)+sin(α−β)],
(2) sinθ+cosφ=2sinθ+φ
2cosθ−φ
2
.
例８的证明用到了换元的方法．如把α+β看作θ，α−β看作φ，从而把包含α,β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者，把sinαcosβ看作x ，cos αsinβ看作y ，把等式看作x ， y 的方程，则原问题转化为解方程（组）求x ．它们都体现了化归思想．
例９ 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（１） y =sinx +√3cosx ； （２） y =3sinx +4cosx ．
例10 如图5.5-2，已知OPQ 是半径为１，圆心角为π
2的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
1．若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos α
2的值为( )
A ．
66 B ．－66 C ．306 D ．－306
2．已知cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，则sin α
2等于( ) A ．
55 B ．－55 C ．45 D ．25
5
3．已知sin α－cos α＝－5
4
，则sin 2α的值等于( )
A ．716
B ．－716
C ．－916
D ．916
4．函数y ＝
3
2
sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 5．求证：4sin θcos 2θ
2
＝2sin θ＋sin 2θ.
6、如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？
1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．
2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式sin cos y a x b x =+化成sin()y A x ωϕ=+的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识。

参考答案：
一、 知识梳理 二、 学习过程
例７ 解：α是α
2的二倍角．在倍角公式cos2α=1−2sin 2α中，以α代替2α，以α
2代替α， 得cosα=1−2sin 2α2, 所以sin 2α2=
1−cosα
2
, ①
在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以α2
代替α， 得cosα=2cos 2α
2-1,
所以cos 2α2=
1+cosα
2
, ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan 2α2=1−cosα1+cosα
.
例８ 证明：（１）因为 sin (α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ, sin (α−β)= sinαcosβ−cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加，得
sin (α+β)+sin (α−β)= 2sinαcosβ ① 即sinαcosβ=1
2[sin (α+β)+sin (α−β)]
（2）由（1）可得sin (α+β)+sin (α−β)= 2sinαcosβ 设α=
θ+φ2
，β=
θ−φ2
.
把α，β代入①，即得sinθ+cosφ=2sin
θ+φ2
cos
θ−φ2
例９ 分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y =Asin(x +φ) ,利用和角公式将其展开，可化为） y =asinx +bcosx 的形式．反之，利用和（差）角公式，可将 y =asinx +bcosx 转化为y =Asin(x +φ) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了． 解：（1）y =sinx +√3cosx = 2（1
2sinx +√3
2
cosx ）① =2（sinxcos π
3+cosxsin π
3）=2sin (x +π3)
因此，所求周期为2π，最大值为２，最小值为－２． 你能说说①这一步变形的理由吗？
（２）设y =3sinx +4cosx =Asin (x +φ) , 则3sinx +4cosx =Asinxcosφ+Acosxsinφ 于是Acosφ=3．Asinφ=4 于是 A 2cos 2φ+A 2sin 2φ=25 所以A 2=25.
取A ＝５，则cosφ=3
5
, sinφ=4
5
．
由y =5sin (x +φ)
可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5
例10 分析:要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大, 可分二步进行. ①找出S 与α之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S 的最大值.
解：在OBC Rt ∆中,αcos =OB ,αsin =BC . 在OAD Rt ∆中,
360tan ==︒OA
DA
, 所以, αsin 3
33333===
BC DA OA , 所以, ααsin 3
3
cos -=-=OA OB AB . 设矩形ABCD 的面积为S ,则
αααsin )sin 3
3
(cos -
=⨯=BC AB S )2cos 1(6
32sin 21sin 33cos sin 2ααααα--=-
=
63
)2cos 212sin 23(31632cos 632sin 21-
+=-+=αααα 63
)62sin(3
1
-
+=πα. 对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 03
π
α<<
, 得
526
6
6
π
π
π
α<+
<
.
所以当 2
6
2
π
π
α+
=
, 即6
π
α=
时,max S =
= 因此,当6
π
α=
时, 矩形ABCD 的面积最大,最大面积为
3
6
. 注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “03
π
α<<
”这一隐含条件;
（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题. 三、达标检测
1．【解析】 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α
2＝1＋cos α2＝30
6
. 【答案】 C
2．【解析】 由题知α2∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55. 【答案】 A
3．【解析】 由sin α－cos α＝－54，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝25
16，
所以sin 2α＝－9
16.
【答案】 C 4．【解析】 ∵y ＝
32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， ∴函数的最小正周期T ＝2π
2＝π.
【答案】 π
5．【证明】 法一：左边＝2sin θ·2cos 2θ
2＝2sin θ(1＋cos θ)
＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ＝右边， 所以原式成立．
法二：右边＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ) ＝2sin θ·2cos 2 θ2＝4sin θcos 2θ
2
＝左边，
所以原式成立．
6、【精彩点拨】 设∠AOB ＝α→建立周长l α→求l 的最大值
【解答】 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，
则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π
4
，
∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π
4，
即当α＝π
4时，△OAB 的周长最大．。