基于欠采样数字正交解调的误差分析及校正

第38卷 第3期2006年3月
哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报
J OURNAL OF HARBI N I NSTI TUTE OF TECHNOLOGY
Vo l 138N o 13M ar .2006
基于欠采样数字正交解调的误差分析及校正
吴 丹,吴芝路
(哈尔滨工业大学电子与信息技术研究院,黑龙江哈尔滨150001,E-m a i:l wudanadress @hit .edu .cn)
摘 要:分析了软件无线电常用的基于欠采样数字正交解调系统中可能产生的各种误差,给出了这些误差对信号的影响,并利用高斯-牛顿迭代法校正系统中由误差产生的幅度和相位的不平衡,最后给出了仿真结果.关键词:软件无线电;欠采样;正交解调;滤波器中图分类号:TN76313
文献标识码:A
文章编号:0367-6234(2006)03-0379-03
Errors analysis and cli bration of subsa mpli ng digital quadrature de modulati on
WU Dan ,WU Zh-i lu
(Institute of E l ectron i cs and Infor m ation T echno logy ,H arb i n Instit ute o f T echno logy ,H a rbin 150001,Ch i na ,
E-m a i:l wudanadress @h it .edu .cn)
Abst ract :The thesis analyzes i n deta il possible errors of subsa m p ling d i g ital quadrature syste m w ide l y applied i n soft w are -defined rad i o (SDR).The effects of possi b le errors on si g na ls are sho w ed and G auss -N e w ton inter -ative m ethod is used to ca li b rate the a m plit u de and phase i m balances caused by the errors .Lastly ,the si m u la -ti o n resu lts are g iven .
K ey w ords :soft w are -defined rad i o ;sub -sa m pli n g ;quadrature de m odu lation ;filter 收稿日期:2004-05-26.
作者简介:吴 丹(1979-),女,博士研究生.
软件无线电(SDR )通常采用数字正交解调的方法代替传统的模拟解调方法来恢复原信号.图1为基于欠采样数字正交解调方法的框图,原理
见文献[1],本文以正交解调方案为例讨论正交解调系统中的误差及其校正.欠采样数字正交解调方法是先对接收进来的信号进行欠采样,再利用抽取方法分离成正交的两个通道,虽然与模拟正交解调相比较正交误差已经大为减少,但仍不能满足对信号质量要求较高的场合.本文对信号处理的过程中可能产生的各种误差进行分析,采用牛顿-高斯算法进行校正,给出M atlab 仿真结果.
图1 欠采样正交解调方框图
1 基于欠采样的正交解调的误差分析
设输入信号为x (t)=a(t)cos [2P f 0t +
U (t)],根据欠采样原理,采样频率为f s =4f 0/(2m +1),m =0,1,2,且f s >2B.
(1)
B 为信号的带宽.经A /D 采样后要得到的两路正交信号可表示为
[1]
x B I =a (n)co s U (n ),(2)x B Q =a(n )sin U (n ).
(3)
通过式(2)、(3)就可用相应算法得到信号的幅度信息、相位信息或频率信息.用相位图来分析误差的产生和误差对信号的影响,如图2所示.为了便于说明,把时间设为连续的,这对离散信号的误差分析并没有影响.图2中假设I 和Q 通道的幅度值相等且为常数a ,在任意时刻t ,若两个通道完全正交,其合成信号可以用半径为a 、角度为U (t)的向量来表示.逆时针表示信号输出频率为
正,向量的旋转速度与输出信号频率成正比
[2]
.
111 A /D 偏移量和采样率误差对信号的影响
A /D 模数转换器通常有一些偏移量误差,模拟量的零点和数字量的零点不能精确的对应,这便使图2中圆的零点发生了移动,图1中只用了一个A /D ,所以,零点的横坐标和纵坐标的偏移
量相同设为E e a.另外,图1的欠采样正交方法对信号采样率是有要求的,要满足式(1).只有f s 严格地满足式(1),通过图1的处理才能得到获得完全正交的两路通道.式(1)有时不能够除尽,所选的采样频率就会带有误差,下面推导这种采样误差对所求信号的影响.f s 为理想采样频率,$X 为载波f 0和实际采样频率运算以后的误差分量x (n)=a (n )co s [2P f 0n /f s +$X n +U (n)]=a(n )cos [P (2m +1)n /2+$X n +U (n )]=a(n )cos ($X n +U (n ))cos ((2m +1)P n /2)-a(n )sin ($X n +U (n ))sin ((2m +1)/P n /2),
x B I S E =a (n)cos ($X n +U (n )),(4)x B Q S E =a (n)si n ($X n +U (n )).
(5)
式(4)、(5)与式(2)、(3)相比较两路信号仍然是正交的,但相位信息已经产生了误差.A /D 产生的总误差对图2的影响如图3
.
112 幅度误差对信号的影响
在这里幅度误差的产生主要是由图1中的低通滤波器造成的.图1中两路信号要分别经过低通滤波器来纠正2倍奇偶抽取所造成的时域上相
差的半个采样[1]
.设两个低通滤波器分别为H I (e j
X )=Z I e j k I X
,H Q (e j X
)=Z Q e j
k Q X .如果Z I =Z Q ,两路正交通道获得了相同的幅度增益,这并不影响信号的质量,相反,如果Z I X Z Q ,两个通道的合成信号的幅值就会产生明显的畸变.设滤波后I 通道的幅值为A,Q 通道为Q A,则合成信号的相位图见图4.可见,相位图由圆形变成了椭圆形,合成信号的恒定幅值随时间发生了变化.113 相位误差对信号的影响
正交解调要保证两个通道的基带信号的相位相差90b 才能正确获得信号中的幅值信息、相位信息或频率信息.图1中两个低通滤波器的作用就是对两个通道信号进行校正,使其保持90b 的相位差.这两个滤波器应满足条件
[1]
:
H Q (e j
X )/H I (e j X
)=e -j X /2
.(6)
在实际中两个滤波器不能严格保持式(6),这就造成两路信号的相位差产生一定误差,这对合成信号的影响是很大的.假设Q 通道滞后I 通道m 弧度,下面推导这个误差给图2带来的影响.
图2中圆的数学表达式为
a 2co s 2(U (t))+a 2si n 2(U (t))=a 2
.Q 通道滞后I 通道m 弧度数学表达式为
a 2
cos 2
(U (t))+a 2
si n 2
(U (t)+m )=
a 2co s 2(U (t))+a 2
(sin (U (t))cos m +cos (U (t))si n m )2
=a 2
(1+si n 2
m )cos 2
(U (t))+
2a 2
si n m cos m si n (U (t))cos (U (t))+a 2
cos 2
m sin 2
(U (t))=a 2
.(7) 由式(7)画出图5.相位误差使相位图发生了很大的变化,不仅变成了椭圆形,椭圆形还发生了45b 的旋转,m <0时逆时针方向旋转,m >0时顺时针方向旋转.当m =P /2时,相位图畸变成为一条直线.
2 基于欠采样数字正交解调误差校正
通过对基于欠采样正交解调误差的分析,整个系统的误差大致分为幅度误差和相位误差.可以假
设系统是理想的,误差是在I 、Q 通道后分别加入了
误差滤波器产生的,设误差滤波器为H I e (X )=G I (X )e
-j W I (X )
,H Q e (X )=G Q (X )e
-j W Q (X )
.
为校正幅度误差和相位误差,用一个标准正
弦信号来对一个待校正系统进行测试.已知正弦信号的载波为X c ,幅度G c 和相位W c 是未知的.则测试信号经过正交解调系统所得的两路信号为
x c B I (n )=G c G I ($X )co s ($X n +W c +
W I ($X ))+E I (n),(8)
x c B Q (n )=G c G Q ($X )si n ($X n +W c +
W Q ($X ))+E Q (n).
(9)$X 的获得见111.式(8)、(9)另写为
x c B I (n)=A ($X )cos ($X n +A ($X ))+
E I (n ),
(10)
x c B Q (n)=B ($X )sin ($X n +B ($X ))+
E Q (n).
(11)E I 和E Q 为I 通道和Q 通道的加性噪声,假设为零均值的白高斯过程.分析式(10)、(11),相对幅度误差为A (X )/B (X ),相对相位误差为A (X )-B (X ),
只要x c B Q 通过H (X )=A (X )e j (A (X )-B (X ))
/B (X ),误差就得以校正了.A (X )、B (X )、A (X )和B (X )是频率独立的,即不同的频率值它们的值也不同,但在小范围频率内可以看作常数.式(10)、(11)是由欠采样正交解调方法推导得到的,但它也是正交通道存在误
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差时的一般公式.首先将同向分路式(10)分解,得x c B I(n)=A cos A cos($X n)-
A si n A si n($X n)+E I.(12)
假设x c B I有N个采样点,上式可以写成
X c BI N=SU+N e.(13)
式中:X c B I N=
x c BI(0)
,
x c B I(N-
1)
;N e=
E I(0)
,
E I
(N-1)
;
S=
1
cos$X
,
c os$X(N-1)
sin$X
,
si n$X(
N-1)
;U=
A cos
A
-A si n A
.
U为待求矩阵.
借助最小二乘法中的高斯-牛顿迭代法求U.设一个非线性系统为Y n=f(X n,G)+E n.式中: Y n为观察值;f(#)为非线性方程;X n为已知;G为所估计的参数;E n为加性,零均值,不相关的噪声.
高斯-牛顿的迭代公式为G i+1=G i+ ((D i)c D i)-1(D i)c(Y-f i),式中:i为迭代的次
数;G i为长度为P的未知参数矩阵的估计值;D i 为N@P的雅克比行列式,D i np=[5f(X n, G)/5G p]G=G i;f i为由估计参数值G i得到的长度为N的估计响应矩阵f i n=f(X n,G i).
式(13)满足高斯-牛顿迭代公式的条件,将其对号入座即可.当U趋于稳定值时迭代既可以停止.但值得注意的是高斯-牛顿法的收敛与初始值的选取有很大的关系,如果初始值选取得不好,迭代的结果很可能发散.为了较少这种情况发生的可能性,也可以用修正的高斯-牛顿方法,如H artley方法,M arquardt方法,这些方法使初始值的选取范围有了一定程度上的扩大.
可以做一下区间估计[3],以一定概率说明估计量处于真实参数周围2~3个标准差范围内,来表示估计量的可靠程度.假设噪声项是互相独立的且成高斯分布,而且采样点足够大.在这种条件
下可以认为G p是近似高斯分布的,均值为G p,方
差为s2{G p},方差可用s2{G}=M SE.(D c D)-1计
算.式中:M SE=(1/(N-P))E N n=1[Y n-f(X n, G p)]2,D为最终估计值所得的雅克比行列式.则显著水平为S的置信区间为[G p-t N-P(1-S/2)s{G p},G p+t N-P(1-S/2)s{G p}],t N-P(1-S/2)为T-分布、自由度为N-P的(1-S/2)分位点,查表可得.同理,也可以获得正交分路中所要估计的参数.
3仿真及其结果
假设一个误差检测信号经过一个正交系统后所得的两路信号为y I(n)=21215cos(013n+ 21368)+E I(n),y Q(n)=21001sin(013n+ 21155)+E Q.E I,E Q均为均值为零高斯白噪声信号.假设A(X)、B(X)、A(X)和B(X)为所要估计的参数,取45个采样点,经过高斯-牛顿迭代法的结果如表1.
表1高斯-牛顿方法迭代结果
参数真实值估计值置信区间
A2.21502.2157[2.2002,2.2312]
B2.00102.0009[1.9892,2.0126]
A1.36801.3694[1.3628,1.3760]
B1.15501.1542[1.1480,1.1604]
可知用高斯-牛顿迭代法所得的估计值与真值十分的接近,这样用估计值来设计校正滤波器就可以降低两个通路的不平衡性,提高了合成信号的质量.若原信号是调相或调频信号,要获得相位或者频率信息,可令检测信号的相位W c=0,可估测出给定频率下的W I和W Q,又因为$X n也可知,在所合成的信号中减去这些误差成分即可.如果要得到原信号精确幅度信息可令G c=1.另外,估计值的精确度与采样点数也有很大的关系,在相同的迭代次数下,采样点数越大,精确度越高.
4结语
高斯-牛顿法可很好矫正正交两路通道幅度和相位上的不一致,可大大提高解调后信号质量.
参考文献:
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