广东省湛江市雷州国营林业局中学高二数学理月考试题含解析

广东省湛江市雷州国营林业局中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则是成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
C
2. 在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
A
3. 若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为
（）
A．B．（y≠0）
C．（y≠0）D．（y≠0）
参考答案：
D
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的标准方程．
【分析】由△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10＞8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，
又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10．
∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，
则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，
∴顶点C的轨迹方程为．
故选：D．
4. 设F（x）=f（x）+f（﹣x），x∈R，若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，则一定是F （x）单调递减区间的是（）
A．[﹣，0] B．[，0] C．[π，π]D．[，2π]
参考答案：
B
【考点】3D：函数的单调性及单调区间．
【分析】根据条件先判断函数F（x）的奇偶性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵F（x）=f（x）+f（﹣x），
∴F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），
则函数F（x）是偶函数，
若[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，
则[，π]是函数F（x）的单调递递减区间，
∵[，0]?[，π]，
∴[，0]是函数F（x）的单调递递减区间，
故选：B．
5. 在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则角B的值为( )
A．B．C．或D．或
参考答案：
D
6. 在空间直角坐标系中，平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为=（3，1，2），则m等于（）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
参考答案：
C
【考点】平面的法向量．
【分析】先求出=（﹣m，m+2，2），由题意得，从而利用=0，能求出m的值．
【解答】解：∵平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，
平面α的一个法向量为=（3，1，2），
∴=（﹣m，m+2，2），
由题意得，则=﹣3m+m+2+4=0，
解得m=3．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．7. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（）
A、；
B、；
C、；
D、
参考答案：
A
略
8. 如右图,为正方体，棱长为2下面结论中正确的结论是________．(把你认为正确的结论都填上, 填序号)
①∥平面；②⊥平面；
③过点与异面直线AD和成90°角的直线有2条；
④三棱锥的体积．参考答案：
①②④
9. 从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）
A．B．C．1 D．
参考答案：
A
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n==15，再求出取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品包含的基本事件个数m==5，由此能求出取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率．
【解答】解：从五件正品，一件次品中随机取出两件，
基本事件总数n==15，
取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品包含的基本事件个数m==5，
∴取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率：
p=．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
10. 若
，则下列不等式①
；②
③
；④
中，正确的不
等式有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
参考答案： C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若等比数列
满足
,则公比=__________.
参考答案：
2
12. 已知
, 则
的最大值是 ；
参考答案：
10
13. 下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，
为实数集，
为复数集）；
①类比推出
②
类比推出
,若
③
类比推出
其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号） 参考答案：
①②
14. 从3男1女共4名学生中选出2人参加学校组织的环保活动，则女生被选中的概率为 ．
参考答案：
【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式．
【分析】基本事件总数n==6，女生被选中的对立事件是选中的两人都是男生，由此能求出女生被
选中的概率．
【解答】解：从3男1女共4名学生中选出2人参加学校组织的环保活动， 基本事件总数n=
=6，
女生被选中的对立事件是选中的两人都是男生，
∴女生被选中的概率p=1﹣=．
故答案为：．
15. 棱长为的正方体的外接球的表面积为 ▲ ． 参考答案：
16. 若
，则
的最小值为 ▲ ．
参考答案：
解法一：如图,
可看成（0，0）到直线
上的点的距离的平方，而
的最小值就是原点
到直线
的距离的平方，此时
，其平方即为.
解法二：由
得
，代入
中，则
=
，易知
的最小值为.
17. 设
、
分别是椭圆的左、右焦点，
是椭圆上任一点，点
的坐标为
，则
的最大值为 ．
参考答案：
15
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
参考答案：
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：排法.
19. 已知函数
.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数
.当
时，
，求a 的取值范围.
参考答案：
（1）
；（2）
．
试题分析：（1）当
时
；（2）由
等价于
，解之得
.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得. 因此，解集为.
（2）当
时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当
时，①等价于，无解. 当
时，①等价于
，解得
.
所以的取值范围是
.
考点：不等式选讲. 20. （本小题满分12分）
为提高学生的素质，学校决定开设一批选修课程，分别为“文学”、“艺术”、“竞赛”三
类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的
，现有3名学生从中任选一个科目参加学
习（互不影响），记为3人中选择的科目属于“文学”或“竞赛”的人数，求的分布列及期望。

参考答案：
略
21. （本小题满分12分） 已知函数
，
（Ⅰ）若函数 在 处的切线方程为 ，求
的值；
（Ⅱ）若
，函数
的图象能否总在直线
的下方？若能，请加以证明；若
不能请说明理由。

参考答案：
（Ⅰ）1,2（Ⅱ）见解析
（Ⅰ）
函数在处的切线方程为
，
（Ⅱ）当
时，
，
列表如下：
极大值
22. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n ，点（a n+1，S n ）都在直线2x+y ﹣2=0上． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =na n 2
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜
．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）（a n+1，S n ）都在直线2x+y ﹣2=0上．可得2a n+1+S n ﹣2=0，利用递推关系可得：a n+1=
．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b n =na n 2=
．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】（1）解：（a n+1，S n ）都在直线2x+y ﹣2=0上． ∴2a n+1+S n ﹣2=0，
∴n≥2时，2a n +S n ﹣1﹣2=0，可得：2a n+1﹣2a n +a n =0，∴a n+1=．
∴数列{a n }是等比数列，公比为，首项为1． ∴a n =
．
（2）证明：b n =na n 2=
．
∴数列{b n }的前n 项和为T n =1+
+
+…+，
∴=+…+（n ﹣1）×
+n
，
∴=++…+﹣n =﹣n ，
∴T n =﹣＜．。