高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略坐标系与参数方程课件理新人教版

4
心为直线 sin( ) 3 与极轴的交点,求圆C的极坐
32
标方程.
【解析】方法一:点 P(2，的 )直角坐标为(1,1),直线
4
sin( )的 直 角3 坐标方程为
3
2
x-y-
3=0,
3
令y=0,得x=1,
则圆心坐标为(1,0),故半径r=1,
则所求圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
【变式训练】(2016·重庆二模)在直角坐标系xOy中, 过点P( 3 , 3 )作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相
22
交于不同的两点M,N.
(1)写出直线l的参数方程. (2)求 1 1 的取值范围.
|PM| |PN|
【解析】(1)
x
3 tcos, 2
yLeabharlann 3 2tsin(t为参数).
(2)将直线参数方程代入x2+y2=1,
得t2+( 3cosα+3sinα)t+2=0,
由Δ>0,有 |sin( ,)|> 6
63
因为t1t2=2>0,
所以 1 1 1 1 | 1 1 || t1 t2 |
|PM| |PN| |t1| |t2| t1 t2 t1t2
| 3cos 3sin | 3|sin( )|( 2, 3］.
又因为x=
t2 t2
4 4
1
∈8[-1,1),
t2 4
所以C的普通方程为x2+y2 =1,x∈[-1,1).
4
(2)设直线l的参数方程为
x tcos, y 1 tsin,
(α为倾斜角，且 [0, 3)）(,3 ,)
44
代入曲线C得:(1+3cos2α)·t2+2sinα·t-3=0,
设两根为t1,t2,
|MN|= 2 .由于圆C2的半径为1,所以C2M⊥C2N,所以 △C2MN的面积为12 .
【规律方法】解决极坐标系问题的策略 (1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐 标方程,则可以统一转化到直角坐标系中,利用直角坐 标系的定理、公式解题.
(2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂,不方便化 成直角坐标方程或者极坐标系中的极角、极径关系比 较明显,比如已知两个点的极坐标,求两个点间的距离, 则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距 离.
坐标系与参数方程
1.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ),则
(ρ,θ)⇒(x,y) ρcosθ
x=________， y=__ρ__s_i_n_θ_
(x,y)⇒(ρ,θ) ρ2=_x_2+_y_2_， tanθ= __xy_(x___0_) _
2.常见圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为r的圆:_ρ__=_r_. (2)圆心为M(a,0),半径为a的圆:_ρ__=_2_a_c_o_s_θ__. (3)圆心为M( a, ),半径为a的圆:_ρ__=_2_a_s_i_n_θ__.
为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2 3 cosθ. (1)求C2与C3交点的直角坐标. (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最 大值.
【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成三个小题: ①把曲线C1的方程化为极坐标方程,由此写出点A,B的 极坐标; ②根据极径的几何意义将|AB|用含α的三角函数表示 出来; ③利用三角函数知识求最值.
sin，
所以kOA=2.
(2)设由题意知,tanθ=2,
则 sin 2 5，cos 5 ,
5
5
则
B(1
,
代入), ρ=2cosθ得
2
1
2cos(
2
)
2sin
45 5
,
C(2
,
代 )入, ρ=sinθ得
2
2
sin(
2
)
cos
5， 5
所以|BC|=ρ1+ρ2=4 5 5 5.
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【加固训练】在极坐标系中,已知圆C经过点 P( 2， ) ,圆
热点考向二 参数方程与普通方程的互化和应用 命题解读:主要考查参数方程与普通方程的互化公式、 参数方程的应用和直线参数方程中参数的几何意义.
【典例2】(2016·衡阳二模)已知曲线C的参数方程为
x
t2 t2
4 4
,
(t为参数).
(1)y求 曲t28线t 4，C的普通方程.
(2)过点P(0,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,求
2
3.常见直线的极坐标方程 (1)直线过极点,直线的倾斜角为α:_θ__=_α__(_ρ__∈__R_)_. (2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:_ρ__c_o_s_θ__=_a_. (3)直线过点M( a, ),且平行于极轴:_ρ__s_i_n_θ__=_a_.
2
4.直线、圆与椭圆的参数方程
【规范解答】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-
2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x23+y2-2 x=0.
联立
x 2
x
2
y2 y2
2y 0, 2 3x
0,
解得
x y
或0,
0
x
3, 2
y
3 2
.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和( 3 , 3 ).
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(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其 中0≤α<π.
|PA|·|PB|的取值范围.
【解题导引】(1)根据(t2-4)2+(4t)2=(t2+4)2消去参数. (2)写出直线的参数方程,根据参数t的几何意义求解.
【规范解答】
(1)因为 x2 y2 ( t2 4 )2 ( 4t )2 ( t2 4 )2 1,
4 t2 4
t2 4
t2 4
因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为
(2 3cosα,α).
所以|AB|=|2sinα-2 3cosα|=
4|sin( )|. 3
当α= 5时,|AB|取得最大值,最大值为4.
6
【母题变式】 1.若本例题的条件不变,试写出C2,C3的参数方程,并写 出C2,C3的极坐标. 【解析】曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0, 即x2+(y-1)2=1, 曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23 x=0, 即(x- )32+y2=3,
因此曲线C2的参数方程为xy
cos, 1 sin,
曲线C3的参数方程为
x
3
3cos,
y 3sin,
由本例题知曲线C2,C3交点的直角坐标为(0,0)和 ( 3 , 3 ),
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则它们的极坐标为(0,0)和 (3, ).
3
2.若本例题条件改为“已知平面直角坐标系xOy中,以O
为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的
化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
方法二:因为圆C圆心为直线 sin( )与 极轴3 的
32
交点,所以在 sin( )中令 θ3=0,得ρ=1.
32
所以圆C的圆心坐标为(1,0).
因为圆C经过点P(2，, )
4
所以圆C的半径为PC=( 2)2 12 2 1 2cos 1.
4
所以圆C经过极点.所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
2 12
4
(2)把极坐标 A(1，6 )，B代(2入，23曲 )线C的极坐标方
程1
2
cos2中 s,in2
12 4
得 12 cos2 1 sin2 8,
6 6
12
4
22
cos2
2
1
sin 2
2
24 , 5
3 3
12
4
所以|AB|=
12
22
212cos(
2 3
6
)
8 24 8 5 . 55
参数方程为
x y
2 3cos, 2sin，
(α为参数),A,B在曲线C上,且
A,B两点的极坐标分别为 A(1，6 )，B(2，23 )．”试求:
(1)把曲线C的参数方程化为普通方程和极坐标方程.
(2)求线段AB的长度.
【解析】(1)曲线C的普通方程为 x2 y2 1,
12 4
化为极坐标方程为 1 cos2 sin2 .
所以|PA|·|PB|=|t1t2|=
1
3 3cos2
,
因为α∈ [0, 3) (,3故 ,|P)A|·|PB|∈
44
[ 3 ,3]. 4
【规律方法】 1.参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参 数,直线的参数方程通常用代入消参法. (2)三角恒等式法:利用sin2α+cos2α=1消去参数,圆 的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.
2
6
【加固训练】已知直线l:
x
5
3 t,
2 (t为参数),以坐
标原点为极点,x轴的正半轴y为 极3 轴 12建t 立极坐标系,曲
线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)设点M的直角坐标为(5, 3 ),直线l与曲线C的交点 为A,B,求|MA|·|MB|的值.
【解析】(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ①, 将ρ2=x2+y2, ρcosθ=x代入①, 得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,②.
(2)将
x
5
3 t,
代2入②,
y
31t 2
得t2+5 3t+18=0,
设这个方程的两个实数根分别为t1,t2, 则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1·t2|=18.
【变式训练】(2016·乌鲁木齐二模)在平面直角坐标 系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极 坐标系.圆ρ=2cosθ与圆ρ=sinθ交于O,A两点. (1)求直线OA的斜率. (2)过O点作OA的垂线分别交两圆于点B,C,求|BC|.
【解析】(1)由
2c得os2,cosθ=sinθ,tanθ=2,
特征
直线过点 M0(x0,y0),倾斜 角为α
普通方程
x=x0(α=90°) y-y0=tanα(x-x0) (α≠90°)
圆心(a,b),半径 为r
(x-a)2+(y-b)2=r2
参数方程
x x0 tcos，
__y__y_0__t_s_in___ _(_t_为__参__数__)_
x a rcos，
【规范解答】(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的 极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-
2ρcosθ-4ρsinθ+4=0. (2)将θ= 代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-
4
3 2ρ+4=0,解得ρ1=2 ,2ρ2= .故2ρ1-ρ2= ,即 2
热点考向三 极坐标与参数方程的综合应用 命题解读:主要考查极坐标方程、参数方程和普通方程 的互化,以及极坐标方程与参数方程的应用,同时考查 转化与化归能力.
【典例3】(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线
C1:
x y
tcos, tsin,
(t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O
___y__b___rs_in___ _(_θ__为__参__数__)_
特征 焦点在x轴上,长 轴长为2a,短轴 长为2b
普通方程
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)
参数方程
x acos，
___y___b_si_n___ _(_θ__为__参__数__)_
【易错提醒】 1.忽略条件致误:极坐标与直角坐标互化的前提条件是 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴且 在两坐标系中取相同的长度单位,否则两者不能互化.
【规律方法】解决极坐标方程、参数方程综合问题的 方法 与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、 圆、椭圆,处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程 或普通方程,利用直角坐标方程或普通方程解决实际问 题,另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数 方程,化为三角函数的最值问题处理.
C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程.
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=
4
(ρ∈R),设C2与C3的
交点为M,N,求△C2MN的面积.
【解题导引】(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式求 解. (2)利用极坐标方程和极径的几何意义求出|MN|即可.
(3)常见消参数的关系式:
①t 1 1; t
②(t 1)2 (t 1)2 4;
t
t
③( 1
2t t
2
)2
(1 1
t2 t2
)2
1.
2.参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路 (1)可以统一成普通方程处理. (2)利用参数方程中参数解决问题,如利用直线参数方 程中参数的几何意义解决与距离有关的问题,利用圆锥 曲线参数方程中的参数角θ解决与最值相关的问题.
2.忽略范围致误:在将曲线的参数方程化为普通方程时, 不仅要把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围,即 在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程 的等价性.
热点考向一 极坐标与直角坐标的互化 命题解读:主要考查极坐标与直角坐标的互化公式和极 坐标的几何意义,同时考查了转化与化归思想.
【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线